二阶Emden-Fowler型非线性变时滞微分方程的振荡准则

杨 甲 山

(1.梧州学院 信息与电子工程学院， 广西 梧州 543002; 2.梧州学院 复杂系统仿真与智能计算实验室， 广西 梧州 543002)

二阶Emden-Fowler型非线性变时滞微分方程的振荡准则

杨 甲 山1,2

(1.梧州学院 信息与电子工程学院， 广西 梧州 543002; 2.梧州学院 复杂系统仿真与智能计算实验室， 广西 梧州 543002)

研究了一类具有变时滞的二阶Emden-Fowler型非线性中立型泛函微分方程的振荡性. 借助Riccati变换、积分平均技术和微分不等式等技巧，获得了该类方程振荡的新判别准则和比较判别定理，推广、改进并丰富了现有文献中的结果.

振荡性；变时滞；泛函微分方程；Riccati变换

近来，中立型变时滞泛函方程的振荡性研究引起了国内外学者的广泛兴趣[1-25]. 本文考虑如下形式的二阶非线性中立型变时滞微分方程

[a(t)φ1(z′(t))]′+q(t)f(φ2(x(δ(t))))=0，t≥t0

(1)

的振荡性.式(1)中，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),φ1(u)=|u|λ-1u,φ2(u)=|u|β-1u(λ>0,β>0为实常数)；而函数a,p,q∈C([t0,+∞),R)；函数f∈C(R,R)，当u≠0且uf(u)>0时，有

(H1)a∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，且q(t)>0，p(t)≥0.

(H3) 存在常数L>0使得当u≠0时，f(u)/u≥L.

若函数x(t)满足a(t)φ1(z′(t))∈C1([Tx,+∞),R)且在区间[Tx,+∞)上满足方程(1)，则称函数x(t)∈C1([Tx,+∞),R)(Tx≥t0)是方程(1)的一个解. 本文只讨论方程(1)的非平凡解. 若方程(1)的解x(t)既不最终为正也不最终为负，则称解x(t)是振荡的，否则是非振荡的；若方程(1)的所有解都是振荡的，则称方程是振荡的.

{a(t)|[x(t)+p(t)x(τ(t))]′|β-1× [x(t)+p(t)x(τ(t))]′}′+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0

(E)

的振动性，得到了方程(E)的若干振动准则，推广、改进并丰富了现有的一些结果. 但文献[14]有限制条件“a′(t)≥0且0≤p(t)<1”，而且当β<λ时没有得到方程(E)的振动准则. 笔者将在条件

(2)

成立的情况下研究方程(1)的振荡性，建立了方程(1)振荡的一个较为精准的判别准则和比较判别定理，改善了对中立项系数函数的限制条件0≤p(t)<1，去掉了条件a′(t)≥0,且β>γ和β<λ2种情形均有方程的振荡准则, 所得准则在β=λ的特殊情形下推广并改进了现有文献中的一系列结果.

引理1[18]设X,Y为非负实数,则

(1)当0<λ≤1时，Xλ+Yλ≥(X+Y)λ,当且仅当X=Y时等号成立.

(2)当λ>1时，Xλ+Yλ≥21-λ(X+Y)λ,当且仅当X=Y时等号成立.

1 主要结果及其证明

为了叙述方便，引入下列3个记号：

Q(t)=min{q(t),q(τ(t))}，

φ+(t)=max{0,φ(t)}，

定理1 设条件(2)成立且0≤p(t)≤p0<+∞(p0为常数)，如果存在函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得当λ≤β时，有

(3)

当λ>β时，有

(4)

证明 反证法.设方程(1)存在一个非振荡解x(t)，不妨设x(t)为最终正解(当x(t)为最终负解时类似可证)，则∃t1≥t0，使得当t≥t1时，有x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0，于是由z(t)的定义知，z(t)>0且(t≥t1).由方程(1)得

[a(t)φ1(z′(t))]′=-q(t)f(φ2(x(δ(t))))≤

-Lq(t)(x(δ(t)))β<0，

(5)

注意到条件(2)，于是由式(5)不难推出z′(t)>0(t≥t1).应用式(5)，当t≥t1时，有

Lq(τ(t))(x(δ(τ(t))))β≤0，

(6)

于是，综合式(5)及(6)，当t≥t1时，可得

[a(t)φ1(z′(t))]′+Lq(t)(x(δ(t)))β+

当0<β≤1时，注意到τ′(t)≥τ0>0，τ°δ=δ°τ及z(t)≤x(t)+p0x(τ(t))以及引理1，则上式可进一步写成

-LQ(t)[x(δ(t))+p0x(δ(τ(t)))]β≤

-LQ(t)zβ(δ(t))≤0.

当β>1时，注意到引理1，类似地，有

-L21-βQ(t)[x(δ(t))+p0x(δ(τ(t)))]β≤

-L21-βQ(t)zβ(δ(t))≤0.

-L0Q(t)zβ(δ(t))≤0.

(7)

考虑到γ和β的取值范围，下面分2种情形进行讨论.

情形1λ≤β.

做Riccati变换：

(8)

则w(t)>0(t≥t1)，注意到τ′(t)≥τ0>0，由式(8)有

(9)

由z(t)>0，z′(t)>0知，存在常数η>0使得当t≥t1时，有z(τ(t))≥η.于是，综合式(9)和(8)，并注意到引理2的不等式，得

(10)

再做Riccati变换：

(11)

则v(t)>0(t≥t1)，类似于上面的推导过程，可得

(12)

综合式(10)和(12)，并注意到式(7)及z′(t)>0，有

(13)

由式(5)知，a(t)[z′(t)]λ(t≥t1)是单调减小的，因此有

即

(14)

将式(14)代入式(13)，得

于是有

与式(3)矛盾.

情形2λ>β.

(15)

再做如式(11)所示的Riccati变换，与式(12)的推导过程类似，可得

(16)

综合式(15)、(16)，z′(t)>0及式(7)和(14)，可得

-L0φ(t)Q(t)Ψβ(t,t1)+

因此，

与式(4)矛盾. 定理证毕.

定理2 设条件(2)成立，并且0≤p(t)≤p0<+∞(p0为常数)，如果一阶微分不等式

yβ/λ(δ(t))≤0

(17)

证明 反证法：设方程(1)存在一个非振荡解x(t)，不妨设x(t)为最终正解(当x(t)为最终负解时类似可证)，则∃t1≥t0，使得当t≥t1时，有x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0. 由定理1的证明知，式(7)成立，于是由式(7)得

(18)

由于当t≥t1时,z′(t)>0，[a(t)φ1(z′(t))]′=[a(t)(z′(t))λ]′<0，所以当t≥s≥t1时，有a(t)(z′(t))λ≤a(s)(z′(s))λ，即a1/λ(s)z′(s)≥a1/λ(t)z′(t)，因此

a1/λ(t)z′(t)[θ(t)-θ(t1)]，

由式(18)并记y(t)=a(t)(z′(t))λ，于是可得

L0Q(t)aβ/λ(δ(t))(z′(δ(t)))β[θ(δ(t))-θ(t1)]β=

θ(t1)]βyβ/λ(δ(t))，

表明y(t)是式(17)的一个正解，矛盾. 定理证毕.

注1 显然, 本文给出了一类非常广泛的二阶Emden-Fowler泛函微分方程(1)振荡的2个判别准则，改善了现有研究(如文献[14])对中立项系数函数的限制条件：0≤p(t)<1. 从定理1可看出，λ>β和λ<β方程的振荡条件是有差别的. 此外，从以下例子还可以看出，本文结果的特殊情形即定理1中当λ=β且p0=1时，其振荡结果也是较“精细的”，这些结果推广、改进并丰富了现有文献的结论.

2 实例分析

例1 对常数q0>0，考虑二阶时滞微分方程

(E1)

由文献[11]定理2.1知，当q0>1.25时方程(E1)是振荡的. 因此，本文定理1不仅包括了文献[11]中的定理2.1，而且改进了文中的相关定理.

例2 考虑二阶泛函微分方程

(E2)

取f(u)=u[1+ln(1+u4)]，由于

显然条件(H1)～(H3)全部满足. 又因为

取φ(t)=1，则

定理1的条件均满足，故由定理1知，方程(E2)是振荡的.

注3 由于方程(E2)的中立项系数函数p(t)>1,λ≠β且不满足a′(t)≥0，因此文献[1-8,11-19]中的定理均不能用于方程(E2). 值得注意的是,本文定理条件(H2)中要求τ°δ=δ°τ, 因此当τ°δ≠δ°τ时,寻找新的技术手段来研究方程(1)的振荡性, 这将是非常有意义的事情.

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YANG Jiashan1，2

(1.SchoolofInformationandElectronicEngineering,WuzhouUniversity,Wuzhou543002,GuangxiZhuangAutonomousRegion,China; 2.LaboratoryofComplexSystemsSimulationandIntelligentComputing,WuzhouUniversity,Wuzhou543002,GuangxiZhuangAutonomousRegion,China)

The purpose of this article is to study the oscillatory behavior of second-order Emden-Fowler nonlinear neutral functional differential equations with variable delay. By using the Riccati transformation, integral averaging technique and differential inequalities, we established a new oscillation criteria and a comparison theorem for the oscillation of the equations. These criteria dealing with some cases have not been covered by the existing results in the literature.

oscillation; variable delay; functional differential equation; Riccati transformation

2016-03-26.

梧州学院2014年校级科研重大项目(2014A003); 硕士学位授予单位立项建设项目(桂学位[2013]4号);广西教育厅科研项目(2013YB223).

杨甲山(1963-), ORCID:http://orcid.org/0000-0002-0340-097X, 男, 学士， 教授, 主要从事微分方程的理论与应用研究，E-mail:syxyyjs@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.02.004

O 175. 7

A

1008-9497(2017)02-144-07

Oscillation criteria of second-order Emden-Fowler nonlinear variable delay differential equations. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(2):144-149,160