变式训练在高中数学解题中的运用

谢辉

摘要：变式训练在高中数学解题教学中至关重要，通过变式训练，可以提升学生数学思维能力，培养学生数学核心素养，从而帮助学生有效地学习数学。本文阐述了变式训练在高中数学解题中的运用。

关键词：变式训练 高中数学 解题

著名数学家波利亚说过这样一句话：“掌握数学也就意味着要善于解题。”数学课程的内涵趋同于提升学生解题能力和解题素养。数学解题在数学学习中一直占据着主导地位，但数学解题不能等同于题海战术，不能就题论题，而要揭开数学题目中的内涵和价值，因為只有帮助学生树立正确的学科观，培养学生数学学科的核心素养，才能真正促使学生触类旁通，领悟数学之道。

笔者认为，变式训练可以培养学生分析问题和解决问题的能力，同时也能培养学生归纳和演绎的能力。在解题过程中，教师适当地开展变式训练，既能培养学生的学科素养，又能培养学生的数学核心解题能力，从而在数学课堂中真正践行素质教育。

一、变式训练在高中数学解题中的含义

一般情况下，数学解题可以分为解标准题、解变式题和解探究题三种类型。其中，解题标准，毫无疑问是“照葫芦画瓢”，它是数学知识运用的一种最基本的形式；解变式题，可以定性为介于标准题和探究题中间的一种类型，它是拓宽数学知识边界，灵活运用数学知识和解决问题的一种思维训练，它有利于学生巩固基础知识，更有利于培养学生的探究能力。变式训练往往是利用或构造一些变式的方法展示问题的本质，揭示数学的演绎过程，并最终形成一种有利于学生思维训练的模式。

如有一道关于几何概念的数学题目：“在等腰直角△ABC中，在斜边AB任取某点P，求AP

二、变式训练在高中数学解题中的意义

变式训练是一种揭示数学本质的思维过程，通过变式思维训练，学生可以进一步了解变量中的稳定性和可变性，从而发现问题的本质。因此，学生要积极发挥主观能动性，深入探究和思考问题，从而培养更高层次的创新思维和能力，形成数学核心素养，这也是《数学课程标准》的主旨需求。

变式训练能凸显学生的思维能力，若教师能引导学生在抓住实质的基础上触类旁通，既能调动学生学习数学的积极性，又能提升学生的数学思维能力，从而体现“让所有学生在数学课堂教学中都能取得不同的发展”的美好愿景。

三、变式训练在高中数学解题中需遵循的三个原则

1.针对性原则

在高中数学解题训练中，变式教学常与概念和习题有关，所以概念变式应落脚在本节课的教学目标和教学过程中，而习题变式也应立足于本节课的教学内容，以本节课的教学内容为载体，融入变式数学思想和方法，让学生在变式训练时“贴着地面行走”。此外，教师要尽量联系纵横两个方向，让变式过程在本节课的内容中“软着陆”。

2.适用性原则

在培养学生变式思维时，教师既要考虑题目的难易程度，又要考虑学生的接受能力。教师要在学生的最近发展区展开适当的变式教学，从而让变式教学真正打开学生数学思维的闸门，而不是一味地求深、求新。

3.参与性原则

高中《数学课程标准》强调教学要面向全体学生，发挥学生的主体性和主观能动性，以学生的主动发展和主体需求为驱动。因此，教师要让学生参与到变式训练中，而不是教师求变、学生应变。此外，教师还要给予学生适当地启发和点拨，引导学生从新的角度和思维审视同一数学现象，从而本源性地理解题目内涵。这样一来，既能培养学生的探究思维，又能培养学生的数学学科核心素养，从而进一步培养学生勇于思考、善于探究、勤于追问的数学学习精神。

四、变式训练在高中数学解题教学中的运用方法

变式，从字面来看，毫无疑问，就是要对原来的形式做出相应的变换，使原有的题目更具有迷惑性和灵活性，同时又要透过现象，揭示题目中的原理、规则和思维方法，还原问题的本来面目，从而达到标准题的解题思路，体现殊途同归的解题模式。那么，作为变式的干扰因素有哪些呢？

1.本质未变，陈述已变

如关于基本不等式应用的一道例题：“已知x，y为正实数，且x+y=1，求+的最小值。”

变式1：已知 0

变式2：已知0

变式1和变式2两道题都是以原例题为基础，但在表述上有所不同。其本质原理是所求的式子中的分母之和等于1，即x+y=1，x+（1-x）=1， sin2x+cos2x=1这个本质共性特征。通过变式，将这些知识有效地衔接和统一起来，对培养学生透过现象认识本质，提升学生的学科思维能力大有裨益。

2.题设未变，问题已变

如有关椭圆定义与几何性质应用的一道题：“在椭圆+=1上求一点M，让它与两个焦点的连线互相垂直。”

变式1：椭圆+=1的两个焦点是F1，F2，点M为椭圆上的一动点。当∠F1MF2为钝角时，求点M的横坐标的取值范围。

变式2：已知椭圆+=1的左、右焦点分别是F1， F2，点M在椭圆上，若M、F1、F2为直角三角形的三个顶点，则点M到x轴的距离为_____。

变式1是受到原题的启发。其实，无论是钝角还是锐角，它皆可以直角为参照目标，所以该题的解法较多，其中几何解法尤为简洁。以坐标原点O为圆心，以焦距F1、F2的长为直径画圆，与椭圆交于四点，由于直径所对的圆周角是直角，所以当点M位于四个交点时，∠F1MF2为直角；而当M位于x轴上方或者下方的圆与椭圆的两交点之间时，∠F1MF2为钝角；锐角的情况也会不言自明，所以易求点M横坐标的取值范围是（-，-）。

变式2是将原题中的直角改为△F1MF2为直角三角形，没有确定哪个角为直角，所以此题具有一定的灵活性。当∠F1MF2=90°时，只要求以焦距F1F2的长为直径的圆与椭圆交点的纵坐标，由于半焦距小于短半轴3，所以此圆与椭圆无交点；当∠MF1F2=90°或∠MF2F1=90°时，很容易求点M到x轴的距离为。

（作者单位：江苏省宜兴市丁蜀高级中学）