探“源”引“流”

张永杰

[摘要]“源流式”高中数学教学是切合新教改，体现数学“核心素养”的高中数学教学方式的一种转变，也促使高中数学本真价值的回归。“源流式”高中数学教学的根本意义是让高中数学“返本归源”。让学生对数学“探本穷源”，进而让学生从数学的“源”与“流”上整体、联系、深刻地把握数学。

[关键词]“源流式”教学；高中数学；数学生长

基于功利主义和对教学效率的片面追求。高中数学教学常常是“掐头去尾烧中段”。由此异化成一种“截流式”教学。“截流式”教学具体表现为：教师对学生的机械灌输。学生对知识的被动接受。这种方式很少让学生有自主探究、自发交流、自能思考的机会。“源流式”教学与“截流式”教学截然不同。旨在让学生对数学知识进行“再创造”（弗赖登塔尔语），经历数学知识自然生长的过程。由此把握数学知识的由来和内在本质。

对“源流式”教学的深度解读

任何事物都不是突然发生的。都有其渐进演变的过程。也就是说都是有“源”和“流”的。在高中数学教学中。我们同样需要关注知识的“源”与“流”。关注知识的本质。关注知识的结构脉络。

首先是知识的“源”。所谓“源”。就是“根源”。在高中数学教学中教师要能积极“返本归源”。引领学生追问并探寻数学知识的“根源”。让学生“饮水思源”“探本穷源”。具体而言。就是要善于追问数学知识的“生成之源”。关注数学知识的“生长之源”。把握数学知识的“生发之源”。

其次是知识的“流”。所谓“流”。即“流向”“流动”“流变”“流传”等。在高中数学教学中。教师要引领学生精准地把握数学知识的流向。把握數学知识间的关联。把握数学的知识结构。明晰每一个数学知识点“从哪里来、到哪里去”。要顺流而下。让学生根据已有的数学知识体验、感知新知识的生成。

“源流式”教学的建构路径

高中数学实施“源流式”教学有两个层面。即处理好知识的“源”与“流”。“源式”教学要求学生对数学知识不仅“知其然”。更“知其所以然”。要对知识的产生、发源地进行回溯、探访，进而把握知识本质、结构，“以简驭繁”；“流式”教学要求学生明晰每一个数学知识点背后的“上位知识”和“下位知识”。它“来自何处又去向何方”。它是以怎样的方式和途径“来去”的。要“既见树木。又见森林”。

溯本求源——“源流式”教学之起点

“源流式”教学首先需要探寻数学知识之源、学生认知之源，这是学生学习数学之起点。也是数学教学设计之起点。因此。教师必须基于学生的已有知识结构、认知结构，遵循学生的认知规律进行教学。

1.探寻数学知识起点

高中数学知识几乎都是“散装”的。它略去了知识诞生的先后顺序、认知视角等。“源流式”教学即是要求数学教学要潜入数学知识的原点去、源头去，去探寻知识的本质和研究视角等。例如。教学“平面解析几何初步”单元。该单元是在小学、初中学习几何图形的基础上进行教学的，但小学、初中都是采用几何的方法进行的研究。高中数学截然不同。它要求用代数的方法对图形进行量化研究。这是高中解析几何的根本方法。这对于后面学习椭圆和双曲线、抛物线等图形。加深对图形的量化刻画至关重要。教学之前教师必须要有足够的认识。

2.把脉学生认知起点

学生的认知是螺旋建构的。教学中教师要把脉学生的认知起点。找准学生认知的“最近发展区”。将学生的数学学习由“潜在发展区”导向“现实发展区”。例如。教学“等差数列”。笔者让学生通过正反实例深刻理解“等差数列”中的“常数”的含义和作用。如a_n-a_n-1=4n-5，很多学生认为这个等差数列中的公差是“4n-5”，其实当n为正整数时，这个数列的公差不是等差而是“变差”。公差会伴随n的变化而变化。如此。把脉学生的认知起点。可以促进学生的数学学习。

3.激活教学设计起点

在高中数学教学中。教师需要考量从何处预设教学目标、规划教学设计、谋划学习过程。教学起点的设计是教学过程展开的基础。教学的针对性、适切性与教学起点的设计息息相关。例如。教学“平面与平面平行的判断”。笔者根据数学知识起点和学生认知起点。将课时目标进行有效定位：掌握“平面和平面平行的判定定理”，能够用图形、文字、符号对定理进行多元表征：理解定理。能够自主归纳出“平面与平面平行”的判断条件：能对以长方体、棱锥等为载体的面面平行问题进行论证。形成学生空间问题平面化思想。

顺流而下——“源流式”教学之过程

数学知识是相互关联的整体结构。教学中不仅需要回溯知识的“源”。更需要探寻知识的“流”。通过探寻“流”。引领学生领悟知识的内核。把握知识的关联。将各个知识点纳入到主知识渠道之中。形成对知识的整体认知。

1.“主任务”驱动。“大问题”设定

“任务驱动”是建构主义的教学法。即是让学生围绕一个中心任务展开自主的探究。这是“源流式”教学的激发机制，学生在这个过程中主动“查源、补漏、寻缺”。教师以“大问题”设定。激发学生的主动思维。提升学生的思维品质。例如。教学“指数函数和对数函数关系”。笔者首先用“主任务”驱动：函数y=a^x和y=log_ax（a>0且a≠1）之间有什么内在关系。然后笔者先用一组题诱导学生思考：尝试计算函数y=2^x和y=log₂x的y的值。通过计算。学生得出了两个函数值表。接着笔者引导学生观察并绘制图像。用“大问题”设定：两个函数之间有什么关系？同底的指数函数和对数函数的图像有什么关系？学生从具体到抽象，逐步建立起反函数的概念。反函数的原理、特性等数学知识是函数知识发展的必然流向。

2.“高观点”统筹。“知识点”集装

“源流式”教学要求教师关注数学知识的发现、发生、发展和变化的过程，把握数学知识内部小系统、知识间的大系统的属种、层次、交叉关系。因此，教师需要用“高观点”进行统筹。对数学散装的“知识点”进行“整体集装”。由此构筑数学知识之体。例如。教学“直线与方程”单元，笔者将知识点整理如下：两直线位置关系（两条直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离、两直线垂直），这部分内容在整个高中解析几何中发挥着极其重要的作用。教学时必须让学生秉持“高观点”：方程的直线和直线的方程。因为整个解析几何主要研究的就是两个问题：曲线的方程和方程的曲线。用“高观点”对“知识群”进行集装。对于学生建立解析几何学习的根本框架有着十分重要的意义和价值。

3.“条线式”串联。“序列化”生长

尽管有一些相同类型的数学知识被分散在高中各年级的教材之中。其难度不一。但在其内部却存在着本质关联。“源流式”教学要求教师在教学过程中对同类知识、相关知识等进行“条线式”串联。以便让知识获得“序列化”生长。教学“二项式定理”，即（a+b）ⁿ展开式，笔者首先让学生尝试分析n=2，3，4时展开式的共同特征学生从（a+b）²=a²+2ab+b²出发，尝试推导（a+b）³，（a+b）⁴的展开式。并且提出各自的猜想。觉得用递推法得出各项系数有困难为此。笔者引导学生尝试用组合知识解释ab项的系数。于是学生根据多项式的乘法法则推导表示出了（a+b）³，（a+b）⁴的展开式，并形成了关于（a+b）ⁿ的展开式的猜想通过“条线式”串联。最终形成了二项式展开式的通项：T_k+1=C^k_na^n-kb^k（0≤k≤n，n∈N^*）。实现了数学知识的“序列化”生长

“源流式”教学洞察知识之根、结构之眼，将数学知识“连成线、形成片、织成网”。学生触摸到数学知识的生成、感知数学知识的延展方向。不断形成新知识的“生长能级”。相信这样，能使学生跟随数学知识从源头流出。感受数学知识的流淌。自然能形成对数学的真正理解和应用。