函数f(x)=|ax-b|±|ax-c|的性质及其应用

云南省玉溪第一中学(653100) 武增明

函数f(x)=|ax-b|±|ax-c|的性质及其应用

云南省玉溪第一中学(653100) 武增明

在高中数学学习中,同学们对函数f(x)=|ax-b|± |ax-c|的最值及图象的对称轴、对称点有些生疏,因此,笔者介绍此函数的最值和图象的对称轴、对称点及其应用,旨在能对同学们有所启示和帮助,同时希望师生关注该函数.

1.f(x)=|x-a|+|x-b|(a/=b)的图象与性质

这类函数,只需讨论a ＜ b的情形.将函数 f(x)=|xa|+|x-b|(a ＜ b)表达式中绝对值符号去掉后函数的表达式是一个分段函数.函数图象如图1所示.f(x)min=b-a,f(x)max不存在,函数图象关于直线轴对称.

图1

因此,函数f(x)=|x-a|+|x-b|(a/=b)有如下性质.

性质1 函数f(x)=|x-a|+|x-b|(a/=b)的最小值为|b-a|,没有最大值,图象关于直线对称.

2.f(x)=|x-a|-|x-b|(a/=b)的图象与性质

当a＜b时,可用分段函数表示为

函数图象如图2所示.

当a＞b时,可用分段函数表示为

函数图象如图3所示.

性质2 函数f(x)=|x-a|-|x-b|(a/=b)的最小值为-|a-b|,最大值为|a-b|,图象关于点对称.

图2

图3

3.f(x)=|ax-b|+|ax-c|(a/=0,b/=c)的性质

令ax=t,则

由性质1,知函数g(t),即f(x)的最小值为|b-c|,没有最大值.函数g(t)的图象关于直线

因此,函数f(x)=|ax-b|+|ax-c|(a/=0,b/=c)有如下性质.

性质3 函数f(x)=|ax-b|+|ax-c|(a/=0,b/=c)的最小值为|b-c|,没有最大值,图象关于直线对称.

4.f(x)=|ax-b|-|ax-c|(a/=0,b/=c)的性质

令ax=t,则

由性质2,知函数g(t),即f(x)的最小值为-|b-c|,最大值为|b-c|.因为函数g(t)的图象的对称中心的横坐标为,所以,故函数f(x)的图象关于点对称.

因此,函数f(x)=|ax-b|-|ax-c|(a/=0,b/=c)有如下性质.

性质4 函数f(x)=|ax-b|-|ax-c|(a/=0,b/=c)的最小值为-|b-c|,最大值为|b-c|,图象关于点对称.

5.f(x)=|ax-b|±|ax-c|的应用

例1 (2009年高考山东卷 •理 4)设函数f(x)= |x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a的值为( )

A.3 B.2 C.1 D.0

解由性质1,知函数f(x)的图象关于直线对称,又已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以,故选A.

例2 (2015年高考重庆卷 •理16)若函数f(x)= |x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=___.

则由性质1,知g(x)的最小值为|-1-a|,又|x-a|的最小值为0,所以f(x)的最小值为|-1-a|.已知f(x)的最小值为5,故|-1-a|=5=⇒a=4或a=-6.

例4 已知函数f(x)=|2x-a|-|2x-b|(a,b∈R+)的图象关于点(1,0)成中心对称.

解(I)由性质4,知f(x)的图象关于点对称,又已知f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以1=⇒a+b=4.记

(当且仅当a=b=2时等号成立).又

(当且仅当a=b=2时等号成立).故

图4

y=f(x)的值域为[-|a-b|,|a-b|].结合图象(如图4)可知,

又b=4-a,所以