极小子群的拟中心性对群的幂零性的影响

高建玲

(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同037009)

极小子群的拟中心性对群的幂零性的影响

高建玲

(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同037009)

研究了4阶循环子群拟中心且p阶子群含于超中心的有限群,给出有限群为p-幂零群的充分条件。

拟中心子群;超中心;p阶子群;p-幂零群

利用极小子群性质讨论有限群的p-幂零性，如王丽芳在文献[1]中利用极小子群的s-半置换性讨论了有限群的p-幂零性。而钟祥贵在文献[2]中,利用极小子群的拟中心性讨论了有限群的结构,并给出此类群的分类。本文将文献[1]中的“s-半置换性”换成“拟中心性”,得到了一些结果。本文中提到群G均为有限群,p为任一素数,Gp表示G的Sylow p-子群,|G|表示群G的阶,Z∞(G)表示群G的超中心。使用的其它符号见文献[3]。

1 预备知识

定义1称x为群G的一个拟中心元,若对一切y∈G有成立。

引理1设G为有限群,x为G的拟中心元。则：

(1)若x∈H≤G,则x为H的拟中心元;

引理2[4]如果G非p-幂零,但G的每个真子群都p-幂零,则：

(1)G=Gp⋊ Gq,其中Gq循环;

(2)如果Gp为非交换群,则如果Gp为交换群,则Gp为初等交换群;

(3)当p＞2时,exp(Gp)=p;当p=2时,exp(Gp)≤ 4。

引理3[1]若H ≤ G,则 Z∞(G)⋂H ≤ Z∞(H)。

引理4[1]如果NG,且N ≤ Z(G),则 Z∞(G)/N ≤Z∞(G N)。

2 主要结果

定理1如果G的4阶循环子群在G中拟中心,且所有p阶子群含于Z∞(G),则G是p-幂零群。

证明假设定理结论不成立,取G为极小阶反例。

设H＜G,K≤H,且|K|=p,由假设及引理1知4阶循环子群在H中拟中心,且由引理3知K≤Z∞(G)⋂H≤Z∞(H),因此 Z∞(H)包含H的每个p阶子群,故H满足定理条件,再由G的极小性得,H为p-幂零群。所以G为内p-幂零群,即G=Gp⋊Gq,其中Gp,Gq见引理2。

断言p=2。若否,即p＞2,由题设知Gp≤ Z∞(G),再由文献[5]知Z∞(G)Gq为幂零群,因此G=GpGq=Z∞(G)Gq幂零,矛盾,故断言成立。

任取x∈G2,如果o(x)=2,则x∈ Z∞(G),再由 Z∞(G)Gq为幂零群知x∈NG(Gq)。如果o(x)=4,则由文献[3]知 xGq=Gqx 为2-幂零群,故从而x∈ NG(Gq)。由x的取法得G2≤ NG(Gq),矛盾。

因此极小阶反例不存在,G是p-幂零群。

推论1如果G的4阶循环子群在G中拟中心,且所有极小子群含于Z∞(G),则G是幂零群。

证明因G是幂零群的充分必要条件为对任意素数p||G|,有G是p-幂零群。由定理1,结论显然成立。

推论2如果G的4阶循环子群在G中拟中心,且所有极小子群含于Z(G),则G是幂零群。

证明因Z(G)≤Z∞(G),由推论1知结论成立。

推论3如果G的4阶循环子群在G中拟中心,且所有p阶子群含于Z(G),则G是p-幂零群。

证明因Z(G)≤Z∞(G),由定理1直接得结论成立。

定理2设NG,G/N为p-幂零群。如果N的4阶循环子群在G中拟中心,且p阶子群含于Z∞(G),则G是p-幂零群。

证明假设定理结论不成立,取G为极小阶反例。以下分三步证明定理：

(1)G为内p-幂零群。

(2)p=2。

若否,即p＞2,由题设知Gp⋂N≤Z∞(G),而G/(Gp⋂N)同构于G/Gp×G/N的一个子群,因G/Gp是q-群,G/N是p-幂零群,故G/Gp×G/N是p-幂零群,从而G/(Gp⋂N)是p-幂零群,因此Gq(Gp⋂N)/(Gp⋂N)G/(Gp⋂ N)。 此时一定有Gq(Gp⋂ N)＜G。 否则有Gq(Gp⋂N)=G,由定理1知G是p-幂零群,矛盾。 所以Gq(Gp⋂ N)＜G成立,从而Gq(Gp⋂ N)是p-幂零群,又 Gqchar Gq(Gp⋂ N)G,于是GqG,矛盾。故p=2成立。

(3)得出矛盾。

如果N=1,由条件可得G是p-幂零群,矛盾。如果N=G,由定理1知G是p-幂零群,矛盾。因此可设1＜N＜G,由(1)知,N是p-幂零群。由GpG,得Gp⋂NN,所以N是幂零群。可设N=Np×Nq,其中Nq∈Sylq(N),Np∈Sylp(N),因此Np=N ⋂ Gp≤ Gp,Nq=N ⋂Gq≤ Gq。如果Nq=Gq,则Gqchar NG,故GqG,矛盾。如果Nq=1,则N ≤ Gp。 如果N=Gp,由定理1知G是p-幂零群,矛盾。所以N＜Gp,因此G/N=Gp/N·GqN/N,由G/N是p-幂零群知GqN/NG/N,又GqN＜G,所以GqN是p-幂零群,因此Gqchar GqNG,从而GqG,矛盾，故1＜ Nq＜ Gq。此时考虑商群G/Nq。

由题设及引理1知N/Nq的4阶循环子群在G/Nq中拟中心,分析G的结构知Nq≤ Z(G),由引理4可得,N/Nq的p阶子群含于 Z∞(G)Nq/Nq=Z∞(G)/Nq≤ Z∞(G Nq),因此G/Nq及N/Nq满足定理条件,再由G的极小性得,G/Nq是p-幂零群,故Gq/NqG/Nq,从而GqG,矛盾。

综合以上三步得,极小阶反例不存在,因此G是p-幂零群。

推论4设NG,G/N是幂零群,如果N的4阶循环子群在G中拟中心,且极小子群含于Z∞(G),则G是幂零群。

证明因G幂零的充分必要条件为对任意素数p||G|,有G是p-幂零群。由定理2,结论显然成立。

推论5设NG,G/N是幂零群,如果N的4阶循环子群在G中拟中心,且极小子群含于Z(G)中,则G是幂零群。

证明因Z(G)≤Z∞(G),由推论4,显然。

推论6设NG,G/N是p-幂零群,如果N的4阶循环子群在G中拟中心,且p阶子群含于Z(G),则G是p-幂零群。

证明因Z(G)≤Z∞(G)，由定理2直接可得结论成立。

[1]王丽芳.s-半置换子群对群的幂零性的影响[J].山西师范大学学报（自然科学版）,2006,20(4)：6-9.

[2]钟祥贵.二次极大子群中2阶及4阶循环子群拟中心的有限群[J].数学杂志,2004,24(3)：245-248.

[3]徐明曜.有限群导引(上)[M].北京：科学出版社,1999：74-75.

[4]陈重穆.内外Σ-群与极小非Σ-群[M].重庆：西南师范大学出版社,1988：1-6.

[5]张远达.幂零与可解之间[M].武汉：武汉大学出版社,1988：26-27.

Influences of Quasicentral Minimal Subgroups on p-Nilpotence of Finite Groups

GAO Jian-ling
(School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

The finite groups whose cycle subgroups of order 4 are quasicentral subgroups and subgroups of order p are in hypercentre are discussed.Some sufficient conditions of p-nilpotent groups are given.

quasicentral subgroups;hypercentre;subgroups of order p;p-nilpotent groups

O152.1

A

1674-0874(2017)02-0004-02

〔责任编辑 高海〕

2016-02-15

高建玲(1981-),女,山西朔州人,硕士,讲师,研究方向：群论。