超越一题多解训练，加强基本方法总结

陈天明

最近，在一次九年级试卷评讲活动课展示中，听到了一节试卷讲评课，发现课堂上课任老师存在着这样一种教学取向，就是解题方法以多为荣，而且这种现象具有普遍性。这种一题多解的训练虽然能帮助学生拓展一些思维，但由于它采用“优生+表演”的学习方法，需要花费大量时间；没有抽象出有价值的基本方法，也没有进行有价值的题型变式和迁移活动，学生学得的只是一些小技巧；不关注解题内容的核心和重点，顾左右而言它，无法达成最有价值的目标.这是造成复习效果难以高效、学习周期长、进度慢的重要原因，也是非常值得我们思考的地方。

1课例简述

例题.如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC折叠，使点B落在D点的位置，且交y轴交于点E，则点D的坐标是（ ）

A. B. C. D.

解法1：如图2，过点D作MN⊥OA，分别交AO、BC的延长线于N、M，易证∴△AND∽△DMC，==，即==，设CM=x，DM=y， 则DN=3x，AN=3y，可得，解得x=，则3x=，故D坐标为

解法2：如图3，过点D作MN⊥OA，分别交AO、BC的延长线于N、M，易证∴△AND∽△DMC，==，即==，设DM=x，则DN=3-x，根据勾股定理可得：MC=，则=，可求得D坐标为

解法3：如图4过点D作DN⊥OA于N，由△AOE≌△CDE，∴CE=AE， 设OE=x，则CE=3-x，在Rt△AEO中根据勾股定理可得x2+12=（3-x）2，x=，3-x=∵OC∥ND

则==，即==，故DN=，AN=，故D坐标为

解法4：如图5同解法1得到：==，设CM=x，DM=y，即==，解得，故D坐标为

解法5： 如图6， 过点D作DN⊥OA于N，连接OD，由△AOE≌△CDE，∴DE=OE，CE=AE，可得∴AC∥OD，可求得直线AC：y=-3x+3，∴直线OD：y=-3x， 所以只有选项D符合要求。

解法6：如图7，过点D作DN⊥OA于N，设D（x，y），在Rt△ADN中根据勾股定理可得y2+（-x+1）2=32，将ABCD四个答案代入关系式，D答案符合要求。

解法7：如图8连接BD，过点D作DF⊥AB于F，∵S四边形ABCD=AC·BD=AB·BC，可得BD=，故BG=，∵cos∠CBG= cos∠BDF， ∴=，即=，∴DF=，AF=，可得D坐标为

解法8 ：如图9，同解法5求得直线OD：y=-3x， 设ON=m，则DN=3m，根据勾股定理可得（3m）2+（m+1）2=32，m=，则3m=，故D坐标为

解法9：如图10，同解法5求得直线OD：y=-3x， OE=，可得直线AE：y= -x+，直线OD和直线AE的交点即为点D，故解方程组，可得D坐标为

解法10： 如图11，连接BD交AC于F，易得直线AC：y=-3x+3，设直线BD：y=x+b， 因为点B（1，3），可求得直线BD： y=x+，故解方程组，可得F坐标为，因为点D和点B关于F对称，故D坐标为

解法11： 如图11，连接BD交AC于F，可求得直线AE：y= -x+，直线BD： y=x+，故解方程组可求出交点D，故D坐标为

解法12： 如图11，同解法5求得直线OD：y=-3x， OE=，可得直线AE：y= -x+，直线OD和直线BD的交点即为点D，故解方程组可得D坐标为

解法13：如图12，延长AD，BC交于F，作DN⊥x轴于F. Rt△CDG中，CD=1，

设

∵sinF==

∴，，于是.

∵∠F=∠DAN，∴sinF= sin∠DAN，可求出DN、AN，即得出D的坐标

解法14.如图13，延长CD，AB交于F，作DN⊥x轴于F. ，步骤略

2课例评析

2.1课例基本特征

在听课过程中，大部分学优生能从教师的思路或辅助线的引导去思考解题，虽然解题速度有差距，但给出提示之后加以引导，均能找到自己的解题节奏，从而做出几种解法，而且都能较好的提出解题反思和总结。这对改进习题课或试卷讲评课的效果起到了较好的促进作用，说明解题思路的引导和解题之后的反思非常有效。更为可喜的是有些学生通过方法的总结，较为深刻的体会了解题的分析方法，从而形成解此类题目方法上的升华，使解题能力得到进一步的提升。

2.2存在问题剖析

本课例对班级中等生和学困生来说，收获颇少，思路跟不上是一方面的原因，更重要的原因是综合解题能力欠缺，无法对核心知识予以突破，课堂没有针对这些学生在学习中的难点去对症下药，更没有提出局部设计方案在不同程度上帮助学生解困。还有解法10、11、12超出了初中课程标准要求，可作为竞赛辅导的知识拓展，但不应作为常规课的解法展示和学习要求。《数学课程标准》提出了我们数学学习的明确要求：“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”等新课程理念，这就需要我们重新对教学进行反思和审视。

2.3改进策略建议

习题讲评要将核心知识进行分析，分析题目的知识和思想方法背景，提高解题思考的层次性，通过解题达到内化知识、领会方法。 如何着重体现突出重点、降低和分散难点，使学生掌握核心知识和体会思想方法是教师教学设计的关键所在，针对学生的学习难点去对症下药， 设计出帮助学生突破难点的有效教学活动。比如：本课例的问题可设计为：①△AOE和△CDE有怎样的关系？并说明理由；②求点E的坐标；③求点D的坐标（以选择题的形式呈现亦可）；④你还有求点D坐标的其它方法吗？（可分组交流讨论）

上面14种解题方法我们可以将其分为四类：相似法（解法1、2、3、4、13、14，解直角三角形法可归类为相似）、排除法（解法5、6）、面积法（解法7）、解析式法（解法8、9、10、11、12），其中思路比较贴近于学生思维水平的是相似法和解析式法，贴合选择题题型的是排除法，而不容易想到的是解直角三角形法和面积法。在课堂45分钟时间里，逐一的展示解法及过程会占用大量的时间，做重复性的计算工作，复习效率较低。所以教师需要提前进行解法研究，使自己在教学过程中能对主要解题方法有可能会出现的各种思维障碍有预见性，给学生搭设思维的“脚手架”，精心设置引导语言和提示，做到点拨在关键处，打开学生的思维，并引导学生用自己熟悉的方法去解题，做到解题方法无高低之分，而要达到的是通法通解的效果，从而提高复习课中解题教学的高效性。

3基于课例的思考

无论哪种解题方法都要基于对课标的深刻理解，期间必定包含初中学生数学必备的基础知识、基本技能和基本思想方法，切不可脫离课程标准，盲目提高或降低学习要求。一题多解可以成为数学课堂的起点，但不能作为数学课堂的终极追求，多解归一的方法总结才是解题教学的大智慧之所在。研究解法的多样性，无非是为了拓展学生的思维宽度，但基本的要点是将解法分类，然后每类归一。类与类之间再异中寻同，寻求基于所学的解法自然发生原理。对于习题课的课堂来说，是验证或完善解题思路的过程。教师心中必须明确：通过一题多解抽象出有价值的基本方法，进行有价值的题型变式和迁移活动；要关注解题内容的核心和重点，达成最有价值的目标；解题的最终目的是内化知识、形成方法、领会思想。一般来说解题教学具体可按如下的过程操作：

参考文献：

[1]教育部，义务教育数学课程标准（2011版）[M]，6，北京师范大学出版社，2012，1

[2]教育部课程教材专家委员会，义务教育数学课程标准（2011版）解读[M]，98，北京师范大学出版社，2012，2