利用恒力矩转动法验证刚体转动惯量正交轴定理

王锦辉，贺莉蓉，杨文明，周 红，王宇兴

(上海交通大学 物理与天文系,上海 200240)

普通物理实验

利用恒力矩转动法验证刚体转动惯量正交轴定理

王锦辉，贺莉蓉，杨文明，周 红，王宇兴

(上海交通大学 物理与天文系,上海 200240)

利用恒力矩转动法测量了自制的不锈钢矩形薄板状样品的转动惯量. 沿长、宽，和垂直于板面3个方向的转动惯量分别是7.70×10-4kg·m2, 3.23×10-3kg·m2和3.97×10-3kg·m2. 沿长、宽方向的转动惯量之和基本等于垂直于板面方向的转动惯量，相对偏差仅为0.84%，验证了刚体转动惯量正交轴定理. 分析了由薄板厚度对长、宽方向的转动惯量贡献不超过5‰，在实验中无须考虑厚度的影响. 测量结果表明:固定螺丝、定位销对测量结果影响不大. 此外还分析了空气阻尼、塔轮半径和砝码质量等因素对实验结果的影响.

刚体；转动惯量；恒力矩转动法；正交轴定理

目前绝大多数国内高校有关转动惯量的实验内容是测量刚体(如圆盘、圆环)的转动惯量及验证平行轴定理. 对有关验证正交轴定理的实验少见报导. 正交轴定理亦称为垂直轴定理，其主要内容为平面刚体薄板对于垂直它的平面的轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和[1]. 测定刚体转动惯量的方法很多，常用的有三线摆、扭摆、复摆等方法[2]. 本实验采用恒力矩转动法测定自行加工的薄板状刚体不同方向的转动惯量，很好地验证了正交轴定理.

1 实验方法

1.1 测试样品

样品为不锈钢制作的矩形薄板，板长为214.96 mm, 宽为99.96 mm, 厚为5.00 mm. 板的每个侧边分别钻有2个小孔并攻丝，内径为3 mm. 利用固定螺丝将薄板竖直地固定在转动惯量实验仪[3](型号ZKY-ZS)的转盘上[如图1(a)～(b)所示]. 螺帽直径为10.00 mm，螺杆直径为3.00 mm. 薄板侧边小孔之间距离与转盘上小孔之间距离一致. 薄板状刚体中央固定有一定位销，直径为5.00 mm，长为12.00 mm，薄板平放在转盘上，定位销正好插入转盘上的小孔中，使得薄板质心位于转盘的转动轴线上. 同时也避免转盘转动时，薄板产生相对转动. 薄板质量为832.0 g，每个螺丝的质量为3.5 g，定位销的质量为2.0 g.

(a)x方向 (b)y方向 (c)z方向

1.2 实验结果

实验选用的塔轮槽直径为50.08 mm，砝码质量为49.5 g. 先测量空转盘匀减速运动(未加砝码)和匀加速运动(加砝码)时挡光小棒遮住光电门的时间序列(见表1)，再分别测量加上薄板样品后沿着不同方向的时间序列(见表2～4).

表1 空实验台时间序列

表2 薄板沿x轴转动时间序列

表3 薄板沿y轴转动时间序列

表4 薄板沿z轴转动时间序列

2 数据处理

2.1 角加速度计算

通常有2种方法计算匀变速运动的角加速度β. 一种方法由公式[3]

(1)

角加速度计算结果如表5所示.β1和β2分别为匀减速和匀加速转动时的角加速度.

表5 计算得到的角加速度

2.2 转动惯量计算

根据公式[3]

(2)

计算不同情况下的转动惯量. (2)式中：m为砝码质量，R为转盘塔轮半径，由转动惯量叠加原理，可计算出薄板不同方向转动时的转动惯量(见表6，表中J测为测量值，J理为理论值).

表6 薄板样品转动惯量计算结果

由表6可知薄板沿x和y方向转动的转动惯量之和相对沿z方向转动的转动惯量偏差计算

该结果很好地验证了正交轴定理. 另外可以利用公式[4]

计算薄板沿不同方向的转动惯量的理论值，式中l1和l2分别是薄板的宽和长.

表6的结果表明沿x方向实验值与理论值偏差较大，这主要因为沿x方向[见图1(a)]，薄板质量分布在转轴附近，转动惯量较小，薄板面与竖直轴很小偏离也会引起较大误差.

3 实验误差分析

1)手拧螺丝对实验结果的影响

假设螺丝质量全部集中在螺帽上，则可计算2个螺丝相对转动轴的转动惯量Js为

式中：ms为螺丝质量，Rs为螺帽半径，ds为螺丝离开转轴距离.

在图1(a)情况下盘上固定螺丝2个小孔之间距离为90.02 mm,Js=1.43×10-5kg·m2,相对沿y轴转动惯量理论值误差为2.1%.

在图1(b)情况下,转盘上固定螺丝2个小孔之间距离为180.34 mm,Js=5.70×10-5kg·m2,相对沿y轴转动惯量理论值误差为1.8%.

上述2种情况计算结果表明手拧螺丝对薄板样品转动惯量影响不大.

2)定位销对实验结果的影响

在图1(c)情况下，定位销转动惯量为6.25×10-9kg·m2,显然对薄板沿z轴转动时转动惯量可以忽略不计.

3)空气阻尼对实验结果的影响

在速度较慢的情况下，空气阻力与转速成正比. 相比转盘所受到的摩擦力矩，空气阻力引起的误差对结果有较小影响. 利用扭摆法测量薄板样品的转动惯量时，发现空气阻力引起的误差不超过2%[5]. 对于薄板沿y轴转动，转动惯量实验值与理论值相差仅为0.9%，这也意味着空气阻尼引起的阻力矩相对摩擦力矩小得多.

4)薄板厚度对测量结果的影响

可用广义的转动惯量正交轴定理来考虑样品厚度的影响[6]. 此时定理为

5)塔轮半径和砝码质量的影响

实验结果表明:塔轮半径取中等大小时误差最小，砝码质量越大误差越小. 砝码质量不变时，当塔轮半径较小时，砝码重力所提供的外力矩并不是远大于摩擦阻力矩，阻力矩的波动引起的实验误差较大，但当塔轮半径过大时，转盘转不了4圈，也会产生误差；当塔轮半径不变时，砝码质量越大，所提供的外力矩越大，相对而言，摩擦阻力矩的波动影响就越小，相对误差也就越小. 此结果与文献[7]报导不一致.

4 结束语

利用恒力矩转动法测量矩形薄板样品不同方向的转动惯量，实验结果很好地验证了转动惯量正交轴定理. 此外还分析了固定螺丝、定位销、薄板厚度、空气阻尼、塔轮半径和砝码质量等因素对实验结果的影响.

[1] 赵凯华，罗蔚茵. 新概念物理教程 力学[M]. 北京：高等教育出版社，1995:178-180.

[2] 刘赟. 教学用转动惯量测量仪的设计与实验[D]. 西安：西安理工大学，2009:4-6.

[3] ZKY-ZS/TD转动惯量实验组合仪使用说明书[Z].

[4] 田硕. 刚体转动惯量的几种计算方法[J]. 中国西部科技，2015，14(6)：82-84.

[5] 孔玥. 阻尼条件下转动惯量测量技术的研究[D].哈尔滨: 哈尔滨工业大学，2013:31-34.

[6] 周国全. 刚体转动惯量正交轴定理的推广[J]. 物理通报，1998(3)：4-5.

[7] 班丽瑛. 刚体转动惯量实验中影响阻力矩因素研究[J]. 煤矿机械，2006，27(4)：603-604.

[8] 贾昱,程敏熙,安盟，等. 基于视频分析软件Tracker测量刚体转动惯量[J]. 物理实验，2014,34(5)：33-35.

[9] 谢亮，张进治，安艳伟，等. 转动惯量测试仪的设计[J]. 物理实验，2015,35(7)：27-30.

[10] 汪仕元,朱俊穆,万军，等. 对扭摆式刚体转动惯量测量仪载物装置的改进[J]. 物理实验，2013,33(5)：40-42.

[责任编辑：尹冬梅]

Verifying the perpendicular axis theorem of rotational inertia of rigid body using a constant-torque rotational method

WANG Jin-hui, HE Li-rong, YANG Wen-ming, ZHOU Hong, WANG Yu-xing

(Department of Physics and Astronomy, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

The moment of inertia of a self-made stainless sheet with rectangle shape had been measured using a constant-torque rotational method. The experimental data were 7.70×10-4kg·m2and 3.23×10-3kg·m2for the rotational axis parallel to long and short edge of sheet, respectively, and 3.97×103kg·m2for the rotation axis vertical to the surface of plate. The sum of the moment of inertia along the long and short edge of the sheet was approximately equal to that along the surface normal of the sheet. The relative error was about 0.84%, perfectly proved the perpendicular axis theorem. It was also shown that the improvement of the moment of inertia by considering the thickness of the sheet was less than 5‰, then it was reasonable to omit the effect of thickness. The experimental results indicated the screws and dowel pin played no important role. Moreover, the effects of air damping, radius of cone pulley and mass of weights were discussed.

rigid body; moment of inertia; constant-torque rotational method; perpendicular axis theorem

2016-05-31

王锦辉(1969-)，男，江苏淮安人，上海交通大学物理与天文系副教授，博士，主要研究方向为磁性材料.

O313.3

A

1005-4642(2017)03-0011-04

“第9届全国高等学校物理实验教学研讨会”论文