周期性弦链系统振动模研究实验介绍

荀 坤

(北京大学 基础物理实验教学中心，北京 100871)

周期性弦链系统振动模研究实验介绍

荀 坤

(北京大学 基础物理实验教学中心，北京 100871)

围绕物理、技术和能力培养的课程目标，详细地介绍了北京大学近代物理实验课中“周期性弦链系统振动模研究”的建设和教学情况. 周期性弦链系统是一段等间距穿有小球的细弦. 实验要求用动态信号分析仪获得不同实验条件下的几种有限周期弦链的振动谱，并由此得到对应的无限长弦链的振动谱结构. 此实验有助于理解周期性与带状谱结构之间的关系，了解动态信号分析技术，也比较适合于训练在数学抽象与物理图像间建立联系的能力.

周期系统；能带；谱带；动态信号分析

2008年左右，北京大学基础物理实验教学中心在任尚元教授建议下以指导研究的形式开始了“弦链系统振动模研究”的实验教学. 2年前，吴思诚教授建议将“周期性弦链系统振动模研究实验”纳入近代物理实验课. 后由“综合物理实验Ⅱ”(指导研究型实验课)课中1位学生就实验的设计安排作为常规近代物理实验是否合适作过测评. 上学期该实验正式进入近代物理实验课. 本文将结合北京大学近代物理实验课的特点，从培养学生的角度来介绍该实验的设计思想、主要内容和教学安排，并讨论存在的问题和可能的改进方向. 由于篇幅限制，本文不讨论实验细节，具体内容请参阅参考文献[1-3].

1 课程设计

北京大学近代物理实验课以“使学生对物理有更好的领悟，对物理各领域的重要技术有更广泛的了解，对基本实验素质养成有自觉意识”为目标，在设计每个新实验时都要考虑能否和如何服务于这3个目标，“周期性弦链系统振动模研究实验”也不例外. 物理内容是决定实验质量的首要因素，此外还需要在实验装置、教材、网络资源和教法等方面加以配合才能达到好的教学效果.

1.1 物理

固体物理可以说是物理中最大的研究领域. 固体物理研究的一个重要内容是电子在原子整齐排列的晶体中的行为. 周期性使得晶体中电子具有带状能级结构和布洛赫形式的电子波函数这一事实是解释众多材料物性的基础. 不仅晶体中的电子，其他具有周期结构的系统，例如光子晶体和声子晶体中的光子和声子,都同样具有带状频谱结构和布洛赫波形式的波函数. 既然如此，如果关注重点是周期性与带状谱结构间的关系，完全可以研究最简单直观的周期性系统. 这就是设计“周期性弦链系统振动模研究实验”的基本考虑. 在均匀细弦上等间距地固定一些直径很小的小球，研究其上的横波的振动模确实是足够简单的.

在导出布洛赫波时要求晶体要么无限大，要么满足循环边界条件，而实际研究的是一段有限的、存在2个端点的弦. 所幸的是，当一段弦含有的周期数恰为整数时，从数学上可以证明其频谱与无限长弦的频谱间存在一些简单的关系. 虽然直接研究的是一段有限的弦，仍然可以得到无限长弦的频谱和波函数的知识. 不仅如此，在有限长的周期性弦链系统中还可以观察到无限大晶体中并不存在的“表面态”.

总体来说，通过研究一维有限周期弦链系统的振动模可以增进对周期系统所特有的通带、禁带和布洛赫波等概念的理解，了解有限性引起的波矢离散化和表面态等现象.

1.2 实验技术

实验装置如图1所示. 弦的一端固定在光学导轨的固定架上，另一端跨过位于光学导轨的定滑轮后由砝码加一固定张力T. 张紧的弦要与导轨保持平行，弦的两固定端S1和S2可以在导轨上滑动，以改变到最近邻小球的距离. 弦上事先穿有若干质量为mb的小球，它们最初可以放置在S1和S2的外侧，以便先研究不加小球时的弦(后面称其为裸弦). 实验过程中可以用502胶水将小球固定在所需位置.

分别采用PASCO公司的WA-9613驱动器和探测器来激励和探测弦链的振动. 驱动器和探测器都可以沿光学导轨滑动，且可以在垂直于弦的2个方向调节，以得到较好的激励和探测效果.

图1 弦球链系统振动模研究实验装置示意图

最初采用功率信号发生器为驱动器提供激励电源，用锁相放大器检测探测器感应到的信号. 后改为利用SR785动态信号分析器(Dynamic signal analyzer)正弦扫频(Sine swept)工作模式来获取弦链的频谱特性. 图1画出了2个探测器是因为SR785有2个Input口，可以配置2个探测器，并能同时显示它们检测到的信号.

实验中采用动态信号分析仪的原因，一是为了学生能接触更多种类实验技术和实验仪器；二是可以提高实验效率，并得到更丰富的实验结果，这既有助于将教学重点放在解决物理问题上，也使学生认识到选择合适的仪器对实验的重要性.

SR785动态信号分析仪是专用信号分析器，具有频谱分析(FFT)、倍频分析(Octave analysis)、频响函数测量(Frequency response function)和正弦扫频(Sine swept)等功能. 本实验主要用到正弦扫频工作模式. 在正弦扫频工作模式下，按设定的频率范围和频率点数，Source会依次在每个指定的频率持续输出指定幅度的正弦激励电源，同时检测进入Input的同频率信号的幅度及相对于激励源信号的相位. Input口接收到的信号幅度或相对相位与激励信号频率的关系可以实时显示在仪器显示屏上，得到幅频或相频特性曲线，如图2所示(图中带隙态是由于有限性导致的).

实验中，当激励信号的频率等于弦的某个本征振动频率时就会发生共振，探测器感应到的信号会显著增大，对应幅频特性曲线上尖锐的峰.

图2 SR785动态信号分析仪采集到的含6个整周期的弦链的带状频谱

探测系统在外加扰动下的响应特性是一类重要的物理实验技术. 利用交变驱动力激励获得一段弦的振动谱的方式和利用光激励获得1个原子或分子的能级结构的方式是相同的. 本实验广义地也可以看成一种谱学实验. 动态信号分析器在正弦扫频工作模式下只测量与Source输出信号频率相同的信号幅度所采用的就是锁相放大技术，也可以视为一种窄带滤波技术. 这些在实验物理研究中会经常遇到.

1.3 讲义

由于实验主要关注的并不是一段弦的振动模，而是周期系统频谱的一般特性. 所以，在讲义的原理部分重点不是讨论弦球链. 在说明电子晶体、光子晶体和声子晶体(弦链系统实际上也是一种声子晶体)中的定态波动方程均可以化为形如式(1)的周期系数二阶线性常微分方程：

(1)

重点讨论方程(1)的解的性质.

考虑到该实验是近代物理实验，特别是可能有相当一部分学生之前已经学习过固体物理，对方程(1)的讨论比一般固体物理教材更深，更数学化. 对方程(1)，讲义大致给出了如下内容：

1)当ω增大时，Q(x)会增大，从而影响解的形式.

2)对每个ω都会存在2个线性独立的解，除了一些特殊情况，可写成弗洛盖(Floquet)形式：

y1(x)=eiκxp1(x) ，y2(x)=e-iκxp2(x) ，

(2)

这里，p1(x)和p2(x)是周期函数，周期为a. 当ω在某些区间时κ为实数，解在全空间都有限，称为稳定解，对应的ω区间称为通带. 当ω在另一些区间时，κ有虚部，解不能在全空间保持有限，称为非稳定解，对应的ω区间称为禁带.

3)对无限系统，只存在稳定解，ω可以在通带内连续取值. 对加入循环边界条件的有限系统，也只存在稳定解，ω只能在通带内离散取值. 这实际就是布洛赫定理，κ即为布洛赫波矢.

4)对无循环边界条件的有限系统，既允许有稳定解，也可以有非稳定解.

6)当ω处于通带与禁带边界上时，解比较特殊，称为带边态，一般不能写成弗洛盖形式.

图3给出了一维周期性无限系统(曲线)和只含其中8个整周期且两端固定的有限系统(圆点)的频谱示意图. 有限系统的周期平移不变性被破坏，但在通带内其解是1对弗洛盖解的叠加，仍可由κ标识，仍有与无限系统一样的“色散关系”，只不过κ只能取分离本征值. 通带与禁带交界处的态会有一些特别，被称为带边态.

图3 周期系统的能带结构示意图

除了原理外，讲义还给出了弦链系统本征频率和波函数的算法. 在介绍算法时先对弦链系统的波动方程作了约化(去量纲)处理，并介绍了二阶线性齐次常微分方程的矩阵算法，要求学生在课前编写计算程序.

近代物理实验课程网除了放有实验讲义、数学附录外，还放有SR785动态信号分析器使用说明书、2篇弦球链系统的教学研究论文和1篇近年的声子晶体方面的科学研究论文，同时，还提供正版Mathcad辅助教学软件下载.

1.4 内容

被研究的弦链可以由左端到最近邻小球的距离τ、小球间距a、小球质量mb、弦线质量密度μ0、张力T和周期数N等参量完备表征. 其中，mb和μ0由实验室直接给出，T仅需由砝码和托盘质量计算，具体见表1.

表1 实验过程中保持不变的参量

教学重点放在研究τ和N对频谱的影响上，要求学生完成如下实验内容：

1)在N=6，τ分别等于0,a/3和a/2时，测出弦球链的前13个本征频率；

2)在N=7，τ分别等于0,a/3和a/2时，测出弦球链的前15个本征频率；

3)仿照图3，在同一图上画出2)和3)测得的振动频谱；

4)根据需要做适当的补充测量后，再在内容3)所画的图上画出同样实验条件下的无限长弦链频谱的前2个通带，并给出第1禁带的宽度；

5)定性测量并画出内容1)中τ=a/3时，第1禁带内的本征波函数，并标出节点位置；

6)编写数值模拟程序，给出每种实验条件下的本征频率的理论值，并与实验结果比较.

实验在8个课内学时完成. 此外，要求学生课外5学时预习，11学时写实验报告.

2 教学过程

由于过于追求严格和普适，实验讲义的原理部分比较数学化，内容比一般固体物理教材更深. 多数学生在做此实验前并未学过固体物理，预习原理时普遍比较困难，几乎所有学生都表示没读懂. 还有，尽管要求事先编好数值计算程序且给出了算法，但只有极个别学生能完成. 再加上讲义中介绍的是锁相放大器，实际用的是动态信号分析器，学生普遍表现出对实验没有信心.

面对学生畏难情绪，上课时教师可以解释：

1)实验物理工作者最重要的职责是给出真实可信的实验结果，能否正确解释在其次，原理不十分清楚不影响实验；

2)大家都做过弦上驻波实验，对均匀弦的振动模和频谱已经非常清楚，现在不过是在弦上等间距地加了一些小球，并没有超出牛顿力学范围；

3)使用更合适仪器只会更省事，学习使用仪器也是课程内容；

4)主要考察课上是否全程用心，完成多少讲义要求的内容不重要.

与讲义上原理叙述比较抽象和数学化不同，课堂上教师会更加注意研究对象的特殊性和物理图像.

学生应该明白本实验和弦上驻波实验一样是要测一段弦的频谱，只是所用的工具有所变化. 此前他们并没有关于动态信号分析仪方面的知识，也未被告知要用何功能. 面对500多页的SR785动态信号分析仪英文说明书，他们需要快速地检索目录，大致了解仪器的特性和功能，从中鉴别出有可能适用的部分. 然后，再稍微仔细地阅读这些部分，选择最适合的功能. 在学生自己做出选择后，教师再和他们讨论选择的优劣，确定采用正弦扫频模式. 此后，学生要再花一定时间阅读正弦扫频部分的说明书. 北京大学近代物理实验课教师普遍认为实验课程应该培养学生阅读仪器使用说明书的能力. 学生应在尽可能短的时间内做到：不损害人身和损坏仪器；能正确使用仪器获得满足自己需要的结果.

阅读过说明书并不意味着就能正确使用仪器. 用不熟悉的仪器去检测不熟悉的对象很难保证能得到正确的结果. 所以，学生首先要测量弦上不加小球时的频谱，并与式(3)比较.

(3)

实际上正弦扫频几乎就是“弦上驻波实验”的全自动版. 说明书说，在确定扫描范围和测量点后，仪器会在每一个频率点由Source端持续送出一段时间的正弦信号，同时由Input端检测该频率信号的幅度和相位. 这里，只测量某个频率的信号意味着什么？显然不是1个频率点，而是1个频率窗口的信号. 频率窗口的大小是多少？如何确定？这需要教师简单讲解锁相放大器和傅氏分析的知识.

从上课开始大约3h后，学生一般就可以用动态信号分析仪的正弦扫频功能测出与式(3)理论值一致的均匀弦的频谱，并掌握数据的存取和转换方法.

由于PASCO公司的WA-9613驱动器是软磁铁芯，虽然Source送出的激励电流频率为f，但弦受到的驱动力最主要的成分的频率是2f，Input只检测频率为f的振动，信号极弱. 在驱动器磁芯上加1个小永磁圆片后，弦受力主要成分的频率会变成f，Input测得的信号幅度会增加几个量级. 这种小改进带来的显著结果会给学生留下比较深刻的印象.

做实验时应该要带有一定预期，这样才会区分正常与反常现象. 绝大多数反常现象是由于干扰因素引起的，排除所有干扰因素后还存在的反常则可能意味着新的发现. 在开始实验前教师会与学生一起基于简单的物理图像讨论周期性弦链的特性. 比如会问：与不加小球相比，加小球对应的本征频率是增加还是下降？对此，学生基本上都会回答下降. 但如果再问为什么会下降，就不是所有学生都能很快回答. 能用弦的等效线质量密度增加来解释就是不错的答案，虽然更准确的答案应该是：加小球后本征频率不会大于加小球前的.

通过讨论学生会意识到：系统由多段均匀子弦组成，每段弦的波函数都能用一简谐函数描述，这意味着相位的概念依然存在. 所有节点位置(包括2个固定端)的相位可以表示为nπ，其中n是自然数. 同一子弦上不同位置间的相位差为kΔx，ω=kv，这里k和v分别是裸弦的波矢和波速. 将小球看成质点，若其振幅不为零，要作加速运动必受一有限的力作用，这意味着小球处波函数虽然连续，但波函数的导数，除节点外不再连续. 可以认为，弦跨过小球时会有一附加相移，振幅和频率越大相移也越大. 容易看出，小球引起的附加相移最多为π. 有了如上基本物理图像后学生就会进行积极思考，往往不再愿意教师给予过多指导.

有了研究裸弦的经验和得到的裸弦频谱作为参考，后面的实验就相对容易. 由裸弦的第13个本征频率可以确定扫描频率的上限，其他参量也可以参照裸弦的情况设定. 只有在τ=a/3时，才会遇到检测不到第12个本征模的信号的困难. 原因如图4(b)所示,为了保证上方不正好是节点，一般会把驱动器放置在距左端较近的位置A(此处如是节点意味着频率会大大高于测量范围). 但是对第12个模，此位置虽不是节点，但振幅极小，实际效果也和节点一样，所以当驱动器放置在A位置时不可能观察到第12个模. 反之，如果将驱动器放置在位置B就可以观察到第12个模，但却又观察不到第6个模.

(a)n=18

(b)n=12

(c)n=6图4 N=6，τ=a/3的前3个带隙态的波函数示意图(n是模的序号，A和B代表驱动器可能放置的位置. n=18的态正好位于通带与禁带交界处，是弦两端波幅相同的带边态)

图5是张宇鹏同学测得的N=6，3种τ的弦球链的频谱，横轴采用了驻波节点数，其值比模序号值小1.N=7的情况与N=6的类似，这里没有画出.

(a)τ=0

(b)τ=a/2

(c)τ=a/3图5 N=6的弦球链频谱

实验任务要求画出无限大的弦链系统的谱带结构，如图6中实线. 由N=6和N=7时测得的数据可以得到通带内的点，已标在图上. 但是带边态对应的点也必须给出. 带边态是带隙态的一种特例，从弦的一端到另一端波函数的幅度不会衰减. 前面已经指出过，带隙态的本征频率只与τ有关，与N无关. 根据分析，图6中态“1”,“2”和“4”分别是τ=a/2的第1个带隙态、τ=0的第1个和第2个带隙态，其数据前面已经测出. 但点“3”必须作补充测量才能得到.

图6 实验报告中需要给出的谱带结构

第3点对应第2个禁带的频率最低位置. 可以用测量N=6的第12个模的本征频率随τ的变化，找出极小频率来得到.

3 实验报告

北京大学近代物理实验要求用研究论文的形式撰写实验报告，会有一定的格式要求. 在内容上，首先要求客观准确地用示意图和文字报告实验条件，用表格和图报告实验结果. 然后，要求从实验结果中找出尽可能多的规律. 比如，会比较关心：

1)是否对比了N=6不同τ的3种情况；

2)是否对比了τ=0，N=6和N=7的情况；

3)是否能正确讨论并给出图6中的4个带边态的本征频率；

4)是否对比裸弦与弦链的频谱；

5)是否思考过当频率很高时，频谱会退化成什么形式；

6)是否注意到随着频率的增大，通带和禁带宽度的变化规律；

7)是否对比了实验与理论计算值，注意到随着频率的增高，实验测得的本征频率会比理论值偏大；

8)是否注意到了幅频特性曲线的峰型并不是对称.

用文字总结出实验结果后，能解释的解释，不能解释的也可以说原因尚不清楚. 除了显而易见的情况，所有解释都应该有理有据.

通过给附加分来鼓励学生作进一步深入研究. 例如，有学生讨论了节点位置变化规律，小球位置发生微小偏离会带来什么结果. 此实验可以发挥的空间还比较大，如可以讨论弦不是整数周期的情况，其中有1个小球缺失或者具有与众不同的质量(杂质态)，2种周期性弦球链再组成新的周期链(超晶格)等.

只要学生愿意，教师就采用面批的方式批改实验报告.

4 问 题

经过1学期的教学，暴露了不少问题，如讲义原理没做到深入浅出，太纠缠于细节，条理性不强，没有考虑学生不会花太多时间预习，使得学生普遍反映慢了看不完，快了看不懂；1次8学时实验比较匆忙，应该安排成2个4学时，这样学生在接触仪器后有更多时间思考、与教师讨论或作针对性阅读；课内用502粘小球比较费劲，学生不小心还会把自己手粘住了，而且最后小球位置还会有1～2 mm的误差. 这些都需要在今后的教学中逐步改进和完善.

[1] 吴思诚，荀坤. 近代物理实验[M]. 4版. 北京：高等教育出版社，2015：376.

[2] 任尚元. 有限晶体中的电子态——Bloch波的量子限域[M]. 北京：北京大学出版社，2005.

[3] 荀坤，郭猜，田正阳. 有限周期性弦球链系统的振动模[J]. 大学物理，2009,28(10):4-7.

[4] 贺卓然，周廷弢，荀坤. 用力学方法测量一维有限狄拉克梳的电子态[J]. 物理实验，2013,33(1):1-3.

[5] Maynard J D. Acoustical analogs of condensed-matter problems [J]. Rev. Mod. Phys., 2001, 73(2):401-417.

[6] 刘尚，姚文杰，荀坤. 利用弦链系统模拟量子力学中的Dirac梳[J]. 物理实验,2017,37(1):7-12.

[责任编辑：任德香]

Vibration modes of periodical string-chain

XUN Kun

(Teaching Center for Experimental Physics, Peking Unversity, Beijing 100871, China)

In view of the course aim for education on physics, technology and ability, the experiment of vibration modes of periodical string-chain in the modern physics laboratory of Peking University was introduced in detail. The periodical string-chain was a periodically beaded string. The vibration spectra of different finite string-chains were measured by a dynamic signal analyzer, and the band structure of an infinite string-chain corresponding to the finite string-chain could be derived. The experiment was helpful to understand the relation between the periodicity and band spectra, and to train the ability to associate abstract mathematics with physical picture.

periodic system; energy band; spectrum band; dynamic signal analysis

2017-02-20

荀 坤(1961-)，男，贵州兴义人，北京大学物理学院副教授，博士，研究方向为磁性薄膜.

O413.1;O32

A

1005-4642(2017)03-0025-06