列方程解应用题起始课教学策略探寻

郑巧斌+陈海烽

[摘 要] 本文通过一节实际问题与一元一次方程的起始课，分析了起始课的特点，提出了四个策略：一是要对比方法，感知体现方程优越；二是规范步骤，明晰应用题解题程序；三是巧用图表，直观感知等量关系；四是提炼模型，指点今后解题方向.

[关键词] 列方程；应用题；起始课；教学策略

列方程解应用题是初中数学教学的难点之一，也是培养学生应用意识的载体之一. 良好的开端是成功的一半，如何让学生在第一节起始课对该知识有良好的第一印象，使得他们在第一节课中树立起使用方程解应用题的信念，能够正确寻找方程等量关系，建立起列方程解应用题的框架. 笔者以七年级数学上册《3.4.1 实践问题与一元一次方程》起始课为例，谈谈自己的看法.

对比方法，感知体现方程优越

初中数学老师都有这样的体验，当我们教学生列方程解应用题时，很多学生总是对列方程解应用题很不感冒. 因为觉得麻烦，需要假设未知数，还需要检验等一系列操作，学生打心眼里认为方程并没有优越性，心理上是拒绝方程的. 这种状态大多要到初二的时候才能得到缓解. 如何让学生尽早地、愉悦地接纳方程，是我们起始课教学的应有之义.

【教学片段1】

师：同学们都知道，如今我们中国已经成为体育大国，2016年的里约奥运会上我国共夺得了70枚奖牌，奖牌数是1984年夺得奖牌数的2倍多6枚，你能算出1984年我国取得了多少枚奖牌吗？

生1：2016年的奖牌数是1984年奖牌数的2倍多6枚，说明比70枚少6枚的奖牌数是1984年奖牌数的2倍，也就是用（70-6）÷2就能得出1984年我国夺得的奖牌数是32.

师：很好，这位同学很快得到答案. 还有没有同学用不同的办法？

生2：先假设1984年我国取得了x枚奖牌. 题目中说，2016年奖牌数是1984年的2倍多6枚，能得到2x+6=70.

师：（板书2x+6=70，解得x=32. ）这个同学也回答得很好，请坐. 也就是说这个题目，不管是用列方程还是用列算式来解决，都很简便. 我们再看下面这个题目：1984年共夺得的32枚奖牌中，金牌数是铜牌数的2倍少3枚，铜牌比银牌多1枚，那么1984年我国取得了几枚金牌？这个题目，你又将用什么方法来解决呢？请将你的办法写在练习本上.

师：（一分半钟后）我们请一位同学来说说看，他所列出的式子是什么样的，他用了什么办法来解决.

生3：我是假设取得铜牌x枚，则银牌有（x-1）枚，金牌有（2x-3）枚，然后列出方程：x+（2x-3）+（x-1）=32.

师：好，把这三个数量相加，金牌数+银牌数+铜牌数= 32枚，算出来得到x=9，x=9是我们的……

生3：铜牌数，金牌数就有2×9-3=15枚.

师：恩，15枚，这就得到了答案. 真棒！这位同学选择了列方程来解决这个问题，还有同学用不同办法来解决的吗？

师：（无人举手，无人回答）好，没有！那么，在这个问题中，为什么大家都不约而同地选择列方程来解决，而没有选择列算式呢？列方程和列算式，在解决实际问题中，有什么区别？

生4：列算式解题大多数是用逆向思维，而方程大多数是用顺向思维.

师：归纳得真好，所以当我们遇到数量关系比较复杂的实际问题时，通常会选择列方程来解决. 恰当地使用一元一次方程的知识有助于我们解决现实生活中的许多实际问题. 所以今天，就让我们一起来研究如何用一元一次方程解决实际问题.

师：板书课题：实际问题与一元一次方程.

笔者在教学时利用奥运会这一情境，亲近学生的生活，让学生容易接纳. 同时让学生感受算术解法和方程解法的区别，特别是强调后面一个小题因为关系比较复杂，学生会使用方程来解决，点明方程的优越性. 从学生的反馈效果来看，也证明是比較有效的，它为下一步的学习奠定了基础.

规范步骤，明晰应用题解题程序

列方程解应用题是有一套程序的，教师要注意把列方程解应用题的格式渗透到教学中去，使得学生有一个基本的套路. 正如任勇所说：“格式要死，思维要活”. 初一的学生解题时往往缺乏条理，天马行空地书写，对于起始课来说，给定方程解应用题的游戏规则很重要.

【教学片段2】

师：接下来，我们一起看一下，用一元一次方程来解决实际问题的步骤应该有哪些？我们如果遇到一个实际问题，应该要怎么解决它？

生5：先找到题目当中的等量关系，然后利用等量关系列出相应的式子.

师：恩，列什么式子？

生5：就是先把要求的那个量设为x，然后再根据找到的等量关系列出相应的式子.

师：也就是列出相应的方程，然后再……

生5：解方程.

师：恩，很好！请问，解方程的步骤有哪些？

生5：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1.

师：好，请坐！那么解方程得到x=a，我们还要对这个答案进行检验，检验其是不是所列方程的解. 在实际问题当中，还要注意检验这个解是不是符合实际问题. 在这个过程中，我们就得到了最终的结果. 根据刚才所总结出来的步骤，我们一起来看看刚才所解的这个问题，有没有漏了什么步骤？

生（齐）：还需要检验.

师：恩，漏掉了检验，同学们注意，需要做几个检验呀？

生（齐）：2个.

师：首先将x=9代入方程的左边，看计算结果是否等于右边的32；然后检验9枚铜牌是否符合我们的实际问题，很明显，是符合的. 当然最后还需要作答.

笔者在教学时，通过和学生对话，让学生知道在列方程解应用题时需要注意的各个环节，让学生在起始课就有一个良好的答题框架，对他们家庭作业的规范书写起到良好的示范作用.

巧用图表，直观感知等量关系

在应用题教学中，如何收集和整理信息，并从這些信息中寻找等量关系是一个难点. 通过出示图表能让学生更容易感知信息的直观性，从而发现题目中存在的等量关系.

【教学片段3】

师：我们一起来看看例题1，请一位同学把这个题目朗读一遍.

生6：例1，某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母. 1个螺钉配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？

师：恩，非常好. 那么大家来看看，你从这个题目中提取到了什么信息？这个题目的未知量有哪些？

生（齐）：应安排每天生产螺钉的人数和生产螺母的人数.

师：那么我们将怎样对它进行假设呢？

生（齐）：我们应该假设它生产的螺钉和螺母刚好配套，然后以此列出等量关系式，1个螺钉配2个螺母.

师：非常好，设哪个未知量为x？

生（齐）：假设生产螺钉的人数或者假设生产螺母的人数为x人.

师：那我们就选择其中一个吧！

生（齐）：那就假设生产螺钉的人数为x吧.

师：（与学生边假设边板书，并强调单位）恩，设生产螺钉的有x人，则生产螺母有（22-x）人. 接下来，请大家动笔写写，在这样的假设基础上，怎么列方程？

师：（2分钟后）现在可以将你们所列的方程，以4人为一个小组互相讨论一下，看看你们所列出来的方程一样吗？说说你列出方程的理由是什么.

师：（1分半钟后）好，暂停. 请一位同学来说说看，你是怎么来列方程的？

生7：我列的方程是2×1200x=2000×（22-x）.

师：可以告诉我们，你这样列方程的依据是什么吗？

生7：因为题目说1个螺钉配2个螺母，还要刚好配套……

师：恩，不仅1个螺钉配2个螺母，而且还刚好配套，那你由此可以得到什么数量关系？

生7：螺母总数是螺钉总数的2倍.

师：（板书）2×螺钉总数=螺母总数.

师：也就是说你认为“螺钉总量”就是这里的“1200x”是吗？可以给我们解释一下为什么吗？

生7：因为这里有x个工人生产螺钉，然后每个工人可以生产1200个螺钉，那么人数乘以单人生产数就等于它的总数.

师：这位同学说得很好，为了整理信息，我们可以制作这样的表格（如表1），同学们看一下是不是很直观地呈现出了我们要找的关系.

生（齐）：借用这样的图表来分析等量关系，列方程更快了.

【教学片段4】

师：我们再请一位同学朗读下面这道例题.

生8：例2，整理一批图书，由一个人做要40小时完成. 现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

师：来看看，这个题目你将要怎么解决？想好后，在练习本上把答案写下来.

师：（3分钟后）写完的同学，可以将你的答案跟你小组里的其他同学交流一下，看看列法一样吗？

师：（2分半钟后）好，暂停！咱们先来看看这位同学做的，首先他假设谁为x？我可以将他写的“一部分人”理解为“前一部分人”吗？

生9：是假设先安排的人数为x.

师：设前一部分人为x……老师在前面特地交代大家不要忘记什么？

生（齐）：单位.

师：恩，单位一定要记得带上，则后一部分工作的人为（x+2）人，请这位同学说说看，你这样列方程的理由是什么？这是哪位同学做的？上来说说看吧.

生9：（学生上台讲解）虽然它表面上看起来的时间减少了，但是实际上按所有人花去的时间加起来，它消耗的总时间还是不变的. 所以抓住了不变量就是40个小时. 前一部分人做了4个小时，所以是4x，后面的也是同理，所以它们之和等于40，即4x+8（x+2）=40，算出x=2.

师：恩，可以理解吗？刚才提到有个不变量是40，这个40是什么呢？

生9：一个人做需要40小时完成.

师：一个人需要工作的时间，几个人来做，总时间为40个小时就可以做完了，是不是？所以前部分人做了4x小时，与后部分人做的时间加起来，等于40，即4x+8（x+2）=40. 可以理解吗？

生（齐）：OK！

师：好，非常好，跟她一样列法的举手我看看. （有十几位同学举手）请放下，那还有跟她不一样列法的吗？能否借助图表的方法来分析这道题的关系？这个题目中，这三个量和工作量之间有什么关系？

生（齐）：人均效率×人数×时间=工作量.

师：很好，那么我们就根据这几个量列出表格.

师：（思考3分钟后，巡视一下，有8名学生独立列出了如下表格）笔者接着出示表格，让其他学生进一步填充.

生10：由于一个人要工作40小时完成，那么他每小时就工作了工作总量的1/40，前一部分人总共工作了4个小时，也就是工作了4/40，再乘以工作的人数x，即4x/40，然后再加上后部分工作的是8（x+2）/40，它们的工作总量等于1.

师：可以给我们说说看，你列这个方程的依据是什么吗？也就是等量关系是什么？

生10：工作效率是一样的，然后乘以总共工作的小时数再乘以人数，就等于工作总量.

师：恩，他刚提到了“工作效率×工作时间=工作总量”，这是工程问题中三个基本量之间的关系. 刚才我们已经知道了时间和工作效率，再把人数假设出来，是不是自然而然可以得到前部分和后部分的工作量？也就是这位同学列的，将这两部分相加，就等于单位“1”.

笔者通过两个图表，展示了两道应用题的等量關系，对第二道应用题，有8个学生（总人数50）开始尝试应用列表法得到等量关系，是一个很不错的开端，毛主席说过：“星星之火，可以燎原”，何况现在已经不是星星之火了. 作为起始课，有这样的良好开端，那么后面的几节应用题解题的教学就可以有更大的收获.

提炼模型，指点今后解题方向

列方程解应用题有两个常用的模型，这些模型如果没有进行提炼，学生往往无法体会到，这时教师就要介入，通过分析与归纳，提炼出模型，使得学生在后继学习中能更加自觉地使用，使列方程的效率得到提高.

【教学片段5】

师：等量关系要怎么样才能够更快速地把它找出来呢？一起来看看今天我们所列出来的5个方程，大家能不能从数量关系的角度来对这5个方程进行分类？

（五个方程：①2x+6=70；②（2x-3）+（x-1）+x=32；③1/40×4x+1/40×8（x+2）=1；④4x+8（x+2）=40；⑤2×1200x=2000×（22-x））

师：（半分钟后）如果让你分类的话，你想怎么分类？

生11：可以分为2类，一类是未知数在方程两边的，有⑤；一类是未知数单独在方程一边的，数字在另一边，有①②③④.

师：这位同学以未知数的位置为标准来分类，那还有其他分类情况吗？

师：（时间接近下课）好，那我们一起来看第②个方程，代表的是金牌数+银牌数+铜牌数=总奖牌数；再看第③个方程，是前部分的工作量，加后部分的工作量，等于总工作量；第④个也一样，前部分工作量+后部分工作量=总工作量. 这三个方程都体现了一个基本的数量关系，也就是几个分量之和等于总量.

师：咱们再来看第①个和第⑤个方程，第①个方程的70，代表的是2016年我们所获奖牌的总数，而左边代表的是1984年所获奖牌数的2倍多6枚，这也是2016年所获奖牌数的另一种表达形式；第⑤个方程的右边代表的是螺母的总量，方程的左边是两倍的螺钉总量，是不是螺母总量的另一种表达形式？那么，像这样的，用两个不同的式子表示同一个量，是我们今天学习的第二个基本模型. （PPT投影如下内容）

① 分量1+分量2+分量3=总量.

（总量=各分量的和）

② 方式1=方式2.

（用两个不同的式子表示同一个量）

那么今后，大家在遇到实际问题时，就可以围绕着这两个基本模型来进行思考.

笔者通过归纳这两个模型，让学生今后能沿着这两个方向去寻找等量关系，使得他们对数学问题能进一步抽象. 正如史宁中所说，数学最大的特点就是抽象，越抽象的东西其应用的价值就越大.

作为起始课，这样一节课下来，学生体验了通过分析应用题中的数量关系列出方程，知道了列方程解应用题的基本程序. 这节课就像一个建筑物的框架一样，或者说是骨架，后面的各种类型的应用题只要根据这些策略去丰满，就会对列方程解应用题有更大的信心和收获.