高中数学解题中数学分析思想的应用研究

周明澍

【摘 要】高中数学有着较强的逻辑性和严谨性，帮助学生掌握数学思考方式，能拓宽学生的数学思维，丰富学习方式。高中数学常用的数学分析思想有类比与归纳、逆向思维、化归思想、整体思想四种，研究分析这四种数学分析思想，加强数学思想教育，帮助学生将其实践运用到解题中，能有效提高学生解题效率，提升学生数学学习效果，促进高中数学教育的进步。

【关键词】高中数学；数学分析思想；解题技巧；应用研究

数学分析思想是高中数学解题教学的关键，能够帮助学生合理运用数学知识解决实际问题，逐渐形成完善的认知结构，培养学生数学观念和创新思维。高中数学的学习离不开解题，而目前很多高中学生只会做题，对题目背后的数学思想和数学方法理解不够透彻，同一题型盲目套用同一种解题方法，缺乏创新能力。所以，为了提高学生数学能力，培养有创新意识、逻辑思维能力强的人才，必须加强对学生数学分析思想的教育。

一、高中数学解题中运用数学分析思想的意义

（一）开拓学生的思维潜能

通过运用数学分析思想，充分发散思维，灵活运用数学知识，解决引申、变通出来的习题，真正将知识为己所用，从而拓宽学生的解题思路，开发学生的思维潜能，让学生的思维更灵活，更有创造性。

（二）提高学生的观察能力

数学学习也需要学生要有较强的观察能力，数学分析思想能让学生养成好的观察习惯，透过数学习题表面，挖掘其中潜藏的数学原理，将理论知识与实践联系起来，继而解决实际问题，认清事物的本质。

（三）提高学生的数学学习效果

在高中数学解题中运用数学分析思想能够激发出学生学习数学的兴趣，有效促进学生解题效率的提升和数学学习效果的进一步提高。

二、数学分析思想在高中数学解题中的实践运用

高中数学解题常用的数学分析思想有类比与归纳、逆向思维、化归思想、整体思想四种。

（一）类比与归纳思想

类比与归纳思想是指在解题时通过对比形式或本质相近的事物，从中归纳、总结出共同点，训练解题技能，是高中数学解题最常用的一种数学思想。函数题计算中运用类比与归纳思想，可以让学生发现其中隐含的数学规律，避免学生盲目做题。比如题目cosx/2·cosx/22·cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n·sinx/2n），分析题目可以发现，等式的左边有一定规律，符合2sinx/2cosx/2=sinx，再根据规律进一步分析，发现左边等式可以变形为2sinx/2ncosx/2n=sinx/2n-1，继续替换、计算后，等式左边与原等式右边一样，都是sinx/（2n·sinx/2n），可以证明出cosx/2·cosx/22·cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n·sinx/2n）。

（二）逆向思维

逆向思维是数学思维中最重要的思维方式之一，适用于题型比较复杂，正面解题困难，运算量较大的题目中。以题目“已知a-b=c，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，求解c的值”为例，学生在解这道题时往往会通过配方消元的方法来解出c的值，但这道题目含有许多未知元素，用配方消元来解的话需要大量运算，运算过程也相对比较复杂，这时可以运用逆向思维分析题目，提高解题效率。题目中已经有了a，b，c的等量关系，从逆向思考一元二次方程的定义，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，得出方程的解就是a和b，然后再通过韦达定理可以得出a与b的和为1，a与b的积为-c/2，题干中已经给出条件a-b=c，此时就能快速计算出这道题的答案。高中数学题中也比较常遇见这种题型：求5-52-53-54-55-56-57-58-59+510的结果，在计算此类型题目时，一个数一个数的计算既浪费时间，也很容易算错，而运用逆向思维， 从右到左利用5n-5n-1=5n-1的规律来计算，可以快速得出结果，大大提高做题效率。

（三）化归思想

化归思想是指在解题时将一些复杂的、难解决的问题转化成容易解决的问题，其核心观点就是化难为易，将未知的问题转换为已知的。化归思想最重要的就是如何寻求化归方法，确定明确化归目标，以2010年江苏理科高考数学题“设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，求x3/y4的最大值”为例，直接解题时会发现问题形式不易构造，计算很花时间，所以需要等价转化，将x3/y4转换为（x2/y）2·1/xy2，由题目可知，3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，所以1/8≤1/xy2≤1/3，16≤（x2/y）2≤81，可以得出2≤x3/y4≤27，x3/y4的最大值为27。也就是指，化归思想要将高次转为低次，多元转为一元，三维转向二维，以实现由难到易的转换。

（四）整体思想

高中数学题经常会整合课本知识，从另一角度考察学生对知识的掌握情况，整体思想就是让学生立足整体，综合运用已经学到的知识解决未知问题。比如求tan15°+tan15°tan60°的值，课本没有直接给出tan15°的值是多少，但根据三角函数公式，可以计算将题目整体变形，计算出答案。

三、总结

高中数学题看似复杂，计算困难，但归根究底仍是对课本知识的变相考察，这就需要学生充分掌握数学分析思想，并在解题时能综合运用整体思想、化归思想、类比与归纳思想、逆向思维等数学分析思想，加快解题速度，提高学习效率。

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