数学任务框架案例分析与教学启示—以一堂“‘边边角’能否判定三角形全等”公开课为例

四川师范大学数学与软件科学学院(610068) 李瑶 张红

数学任务框架案例分析与教学启示—以一堂“‘边边角’能否判定三角形全等”公开课为例

四川师范大学数学与软件科学学院(610068) 李瑶 张红

1.问题提出

美国匹兹堡大学QUASAR(Quantitative Understanding: Amplifying Student Achivement)计划的研究者将数学任务分为了高认知水平的任务和低认知水平的任务,其中高认知水平任务包括有联系的程序型和做数学;低认知水平任务包括记忆型和无程序化,并建构了数学任务框架(图1),认为在该框架的第三个阶段(即任务实施阶段)是对学生实际学到了什么有重要影响.[1]因此本文将结合具体的一堂课,利用数学任务框架,重点分析在任务实施阶段教师如何引导学生完成教师组织的任务.

图1 数学任务框架

2.案例描述

“‘边边角’能否判断三角形全等”是沪教版七年级下册第十四章章末小结的一段阅读材料,本堂课执教的C老师工作已有10余年,对课堂有较好的把控能力,C教师主要采用了探究式教学展开本节课,通过布置一系列教学任务推进整个课堂,从而让学生在完成任务的过程中理解三角形全等判定的实质,了解作图的重要性,并在此过程中渗透有序分类、交轨法求动点的重要思想方法.

本节课,教师先从一道习题复习引入,帮助学生回顾了三角形全等的判定条件,并在这个过程中渗透分类讨论要有序的思想,进而自然引出今天的课题“‘边边角’能否判定三角形全等”;接着让学生说明看了教材中的阅读材料的收获,并从师生之间的对话中,将判定三角形是否全等转化为作图是否只有一个三角形这样一个问题;之后让同学参与到作图的过程中,并讨论出在哪些情况“边边角”是可以判定三角形全等以及哪些情况不能判定.接下来,笔者将用“选择性课堂实录”[2]这种方法对课堂上老师教学的精彩片段进行描述.

片段一:此片段是教师复习引入的阶段,教师先在电子白板上展示出了一道习题(见图2),以下记录的是师生间的对话.

复习引入

如图,如已知∠1=∠2,请添加一个条件,使△ABC～=△ABD

图2

老师:我们已经学习了全等三角形的判定,那么接下来我们通过一道题来进行一下复习,首先来看这样一道题目(教师将展示出的题目复述了一遍).同学们思考一下,待会请一些同学来回答.

(同学们思考2分钟左右)

老师:来,A同学你来说说你是怎么做的.

生A:嗯,可以添加∠3= ∠4,这样的话就可以用ASA(角边角).

老师:好,用ASA这样的方式来判定.(教师在黑板上写下学生的做法),还有其他的方法吗?

生A:还有的话∠C=∠D也可以,那样就是AAS(角角边).

老师:哦,∠C=∠D,用的AAS(教师在黑板上写下生A所说的).

生A:还有BC=BD也行,这个时候用的是SAS(边角边).

老师:哦,BC=CD也可以,用的是SAS.好,你请坐,那么应该在这里呢,首先表扬一下A同学,为什么?他在这里回答非常有序.我们可以看到,在这道题目已知的题目是哪几个呢?

大部分同学:∠1=∠2,AB=AB.

老师:对,∠1=∠2,AB=AB,也就是说知道一边一角的情况下,可以添加什么条件来判定三角形全等呢?

少部分同学:可以添加一角或一边

老师:可以添加一边或者一角,添加角的时候,因为已经知道了∠1=∠2,那么可以再添加∠3=∠4或者∠C=∠D,所以我们可以发现刚刚C同学在讨论的时候很有序,因此我们在讨论一些问题的时候要注意有序分类,做得非常好.好,然后第三种想到了可以填一个边,那么可以怎么添加呢?

大部分学生:可以填BC=CD

老师:对,添加BC=CD,用的是SAS.那么老师有个疑问了,若添加AC=CD可以吗?

生B:(小声的嘟囔着)AC=AD不可以

老师:B同学你是怎么想的呢?来说说你的想法.

生B:因为如果可以的话,就是用的SSA(边边角)的方法,SSA不可以判定

老师:好,我们学习的判定方法只有四种,特意强调了没有SSA,那么老师有一个问题了,SSA在任意条件下总是不成立吗?带着这个问题开始我们今天的学习,题目就是《“边边角”能否判定三角形全等》.

片段二:此片段是教师让学生阅读课教材上的阅读材料之后展开的一系列对话,目的在于提出用作图的方法解决三角形全等的判定问题.

老师:在课前老师已经让同学们预习了阅读材料,那么接下来请同学们来谈谈你阅读完了之后的体会是什么?或者说你发现其中的主要内容是什么?能不能用简要的语言来概括一下.谁来说说看?好,C同学,你来说一说

生C:我读完材料之后发现,SSA一般来说是不能判定三角形全等的但是在一些特殊的情况下是可以的.

老师:你给我们具体说说呢?

生C:取决于顶点的个数,如果只能画一个顶点就可以,否则就不可以.

老师:你是通过画图来做的.

生C:嗯,是的.

老师:具体怎么画的,你说说,

生C:就是先固定三角形的两个定点,只要在通过条件画第三个顶点就可以了.

老师:好的,那么刚刚C同学讲到了他从阅读材料中知道了通过固定两点在画第三个顶点,根据画的顶点的个数来判定是否全等的.也就是说我们现在把判定三角形是否全等转化为作图判断顶点个数的问题了.

片段三此片段是为了加深学生们对阅读材料的理解而掌握具体作图方法

图3

图4

课前作业:阅读材料P116-117内容,画图并思考:已知线段c,及角α(0°≤α≤90°),画出△ABC使AB=c,∠A=α,BC=a线段a的长度取何值时时,能且只能画出一个△ABC?

老师:课前老师布置的习题同学们也都做了,老师收上来看了之后发现大部分同学对阅读材料介绍的作图方法理解还是不够,这堂课咱们就将作图进行到底.先重新审一下题,首先第一个问题,老师想要问大家的是,AB=c,∠A=α,BC=a,也就是这个问题中出现的三个元素边c,角α,边a,用这三个量画出的三角形中边c和边a以及角α之间有什么位置关系呢?好,D同学你来说说看.

生D:我发现了a和c相邻的边,α是边a的对角

老师:好,也就是你发现给出的三个元素之间是SSA的关系.那么在图中(见图4)如果我要画出边AB应该怎么做呢?

生D:边c就是边AB,c的长度知道,A又是固定的,B点可以确定.

老师:那么如何确定△ABC呢?

生D:只需要再确定C点就可以了.

老师:好,请坐.那么问题又来了,C点具有怎样的特征.(让学生思考一会)好,E同学你来说一下.

生E:我觉得C点一定会在射线AF上

老师:嗯,对,还有吗?

生E:…….

老师:仔细观察,已知条件还有什么没用到.

生E:BC=a,哦,我知道了,C点在一个圆上.

老师:在什么圆上?圆心和半径是什么?

生E:在以B为心,a为半径的圆上.

老师:也就是C点应该满足两个条件,在以B为心,a为半径的圆上,还要在射线AF上,那么特征找到了,我们怎么来画图呢?

生E:就应该在以B为心,a为半径的圆与射线AF的交点上.

老师:对了,就是在以B为心,a为半径的圆与射线AF的交点上.

3.案例分析

本节课的课题是在教材的阅读材料中给出的,在阅读材料中通过一个利用“边边角”条件但可以做出两个不全等三角形的例子说明“边边角”不能作为判定三角形全等的条件,接着,再给出三角形两边以及一边的对角的条件下来讨论如何画出符合条件的三角形,最后,总结出利用“边边角”画图的关键;C老师对本节课内容的处理和教材的处理方式大同小异,是对教材内容的一种推进,教学过程中,重点在于引导学生将三角形全等的判定转化为作图问题,并让参与到具体画图的过程中,通过师生对话以及学生间相互补充从而让学生更加明确判定三角形全等的作图方法.

“QUASAR计划”研究者认为在任务实施阶段,学生和教师都被认为是任务实施的重要贡献者,尽管学生的认知参与程度最终决定他学了什么,但教师对学生思维和推理的支持方式和程度是决定高水平任务的重要因素.[1]可见教师在课堂的引导是多么的重要.而在本堂课中,整个课堂是以教师布置教学任务,学生完成任务的方式进行的,教学中,当学生回答正确时教师也要求学生阐明理由并给予肯定;在学生没有回答出正确答案的时候,老师给予引导时所给出的提示并没有降低任务的认知水平,更没有马上就直接告知正确答案,整个课堂做到了逻辑清晰、有条不紊,都体现除了老师对课堂的良好的把控能力.总体上看,笔者认为教师确实起到了引导学生学习的重要作用,而学生真正成了学习的主体.接下来,笔者将具体从以下几个方面分析本堂课的出色之处:

(1)选择高认知水平有联系程序型任务而非低认知水平简单记忆型任务.在片段一中,复习引入时,C教师并不是机械的让学生回忆三角形全等的判定条件,而是利用一道半开放的习题来让学生复习前两节课所学的三角形判定条件,这个任务是属于高认知水平任务中的有联系程序型,它需要学生具有较高的认知要求,对学生来说也是具有一定挑战性的,并且可以帮助教师检验和学生自己巩固所学的知识.

(2)留给学生适当的思考的时间,给予学生思维发展的机会.在片段二中,由于阅读材料中的内容学生掌握起来有难度,所以教师提前让学生阅读了教材中的材料,让学生有适当的时间去思考和理解阅读材料中的作图方法.同时让学生通过完成课前作业来实际运用材料中的作图方法,因为作图对于初一学生来说是有难度的、富有挑战的,如果直接让学生在课堂上进行画图,可能会因为时间的限制而阻碍学生思维的发展.

(3)引导过程给学生搭建思维的“脚手架”.教师通过不断追问的方式为学生搭建思维的“脚手架”从而来引导学生完成设置的数学任务,加强对知识本质的理解.比如在片段三中,开始学生D是没有想到确定△ABC其实只需要确定A、B、C三个点即可,可是在老师的不断追问下明确了确定△ABC的本质.另外生E也在老师的一步步引导下知道了确定点C的方法.并且我们可以看到,教师在引导学生的过程中,并没有直接告诉学生结果,因此,并没有降低原本设置的任务的认知水平.在遇到学生难以完成的教学任务时,教师给学生搭建思维的“脚手架”也是帮助他们完成数学任务十分重要的一种方法.

(4)在教学过程中有意识的给学生渗透重要的数学思想和方法.在片段一中,学生在解决添加什么条件能够判定三角形全等的教学任务中,给学生渗透分类讨论要有序的思想.在片段三中,引导生E确定点C位置的过程中也有意识的向学生渗透交轨法的思想.而这些思想方法为学生今后的学习也是十分重要的.

4.小结

本堂课C教师以教学任务为核心展开教学,在学生完成教学任务的过程中,老师扮演了一个组织者和引导者的角色,真正体现了教师是教学的主导,学生是学习的主体.可是,“QUASAR计划”的研究者发现,一旦教师组织的任务进入课堂,就会有许多的因素导致任务的认知水平降低,所以,教师在这个过程的正确引导就十分重要,这也是我们每个教育研究者需要学习和研究的问题.

[1][美]Stein M.k.等,李忠如译.实施初中课程标准的教学案例[M].上海:上海教育出版社,2001.

[2]鲍建生.学会观察学会教学[J].中学数学月刊,2003.6

[3]杨文萍,陈铿.一堂优秀“平面”课的实录分析[J].中学数学月刊,2013.3.