求解递推数列问题的一个方法

☉华中师范大学一附中 瞿尔雅

求解递推数列问题的一个方法

☉华中师范大学一附中 瞿尔雅

数列在数学中占有重要地位，也是历年高考的重点考查内容.在中学数学中，数列的求解往往需要一定的数学技巧，数列与其他数学知识相结合，能体现出知识融合和灵活应用的理念，易受到命题者的青睐.这里，我在学习的过程中发现对于一些复杂的递推数列，可以采用函数方法来求解，思路简单，且有一定的通用性.现介绍如下，供大家参考和讨论.

问题1已知v0和v1，求满足下列递推关系的数列｛v0，v1，v2……｝的通项表达式vj.

vj=vj-1+vj-2.（1）

将（1）式的两边同时乘以变量zj并相加得

于是V（z）-v0-v1z=z［V（z）-v0］+z2V（z），

显然，通项vj就是函数V（z）的第j项zj的系数，因此将式（2）展开为关于z的多项式即可得到vj.具体方法是：设，先求解方程1-z-z2=0可得和；再将s和t代入中，并与式（2）进行对比，可解得

所以

当v0=1，v1=1时，根据上述通项表达式可以得到v2=2，v3=3，v4=5……

问题1就是经典的斐波那契数列问题.为了说明上述方法求解数列问题的适用性和有效性，下面介绍一个比较复杂的递推数列.

问题2已知v0，求满足下列递推关系的数列｛v0，v1， v2……｝的通项表达式

点评：上述求递推数列的方法具有一定的通用性，其关键技巧是构造函数V（z），并利用V（z）的多项展开式的系数来得到数列通项．求解中用到的基础知识和方法主要是分式化简、待定系数法和等比数列（无限项）的求和公式．需要注意的是，问题2中的，即s-1＜1和t-1＜1，因此当z≤1时，无穷项等比数列｛1，s-1z，（s-1z）2……｝和｛1，t-1z，（t-1z）2……｝的和是存在的或有限的．所以我们可以用V（1）来求数列｛v0，v1，v2……｝的．而问题1中的t-1＞1，因此我们不能用V（1）来求．事实上，问题1中的不存在，或者说无穷大．