初中数学分类讨论常见题型透析

郑锦松

分类讨论，就是在研究和解决问题时，当问题所给对象不能统一进行研究，我们就需要根据对象的特征属性，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究从而在整体上解决问题。分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，有效运用分类讨论思想，有利于学生深入理解数学知识之间的内在规律性，对于培养学生思维的概括性和提高学生思维的条理性都有重要的意义。在初中数学学习中，分类讨论题是一种常见题型，也是中考压轴题的热点考点。但学生在解决此类问题时，因为考虑不周而导致失分的情况十分常见，究其原因主要是学生对数学问题中引起分类讨论的原因认识不够透彻。下面就初中数学中容易引起分类讨论的三类主要题型进行梳理归纳，剖析分类讨论题型解答的思路、方法和技巧。

一、问题中含有参变量的不同取值会导致不同结果而需要进行分类讨论

有些数学性质、公式或定理在不同的条件下是会有不同结论的，或者说结论只有在一定限制条件下才能成立，这时就需要用分类讨论的思想方法对参变量的不同取值而导致出现多种结果的情况进行分类讨论。该类题型多见于方程、不等式、函数等考点中。

【例1】解不等式：ax-2a>2x-4。（a≠2）

解析：原不等式化为（a-2）x>2（a-2）。（1）当a>2时，原不等式的解为x>1；（2）当a<2时，原不等式的解为x<1。

点评：本题在解题过程中涉及到不等式性质的运用，由于不等式的性质是按参数的不同取值分类给出的，因此在不等式解题过程中一定要注意按未知数的系数大于0、等于0或小于0三种情况进行分类讨论，这样才能做到不重不漏。

二、问题中给出条件没有准确表达几何图形的唯一性而需要进行分类讨论

在有些数学问题中，一个语句描述的图形可能存在多样性，在解题过程中需要根据语句画出不同的图形，再结合图形对各类情况分类讨论从而得到问题的完整答案。该类题型常见于三角形、四边形及圆的有关考点中。

【例2】一个点到圆的最小距离是4，最大距离是9，则该圆的半径是。

解析：当点P在⊙O内时，如图1，此时⊙O半径为6.5，当点P在⊙O外时，如图2，此时⊙O半径为2.5。

点评：条件没有明确点的位置，而按照点与圆的位置关系分类有点在圆内、点在圆上、点在圆外三类，因此在解题过程时需要分类讨论，此题点在圆上时不满足条件，因此只有点在圆内和圆外两种情况。

三、“动点题”中同一运动结果但存在不同的运动过程而需要进行分类讨论

点运动类型的题目是中考的热点，更常常是中考压轴题，在此类题型中，常常存在相同的运动结果，但有几类不同运动过程的情况。此类题型在解题过程中要认真分清可能存在的不同运动过程，再分类研究，最后再对各类情况综合。

【例3】在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm。点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动。点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，若点F在矩形的边BC上移动，求运动开始几秒后以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？

解析：设移动开始后第t秒时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似。

点评：本题从运动的观点，考查了动点E、F、G运动后所形成的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似，应根据动点的不同位置构造出不同的几何图形。在这一类的问题中，分类讨论的标准往往要结合题目的背景进行分类，如本题三角形相似因对应边的不同而存在不同的图形是分类讨论的标准。

初中数学中的分类讨论问题梳理归纳主要有以上几种题型，根据上述题型，笔者总结出用分类思想解题的一般步骤：（1）确定需分类讨论的对象；（2）对所讨论对象划定分类的标准，做到分类标准一致性，确保分类时做到不重复、不遗漏；（3）逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决；（4）归纳总结，整合，得出结论。

责任編辑邹韵文