理解数学课程，落实核心素养

赵国义　邵国臣

时下，“核心素养”已成为人们热议的话题。各地的培训机构“与时俱进”，纷纷组织召开以“核心素养”为主题的培训会或研讨会，报纸杂志也频频发表这方面的文章。于是“核心素养”一词迅速升温，成为一个比较流行的词汇。当以“核心素养”为标志的课改理论“来袭”的时候，一线教师担心的是还得受那些云里雾里“先进理念”的折腾。让我们看看高中数学核心素养与现行《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）中的课程目标有什么联系与不同。

核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析。

课程目标：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理。

若将“核心素养”与《标准》中的“五大基本能力”进行对比，除“数学建模”外，有五条相同或相近。核心素养的“落脚点”是培养学生的“理性精神”，什么是“理性精神”，《标准》中课程目标第5条、第6条给予了比较好的诠释：锲而不舍的钻研精神和科学态度，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神。显然，“核心素养”是在《标准》课程目标基础上的继承与发展，我们认识到这一点，则不必担心再受什么“折腾”。其实，数学教师的基本任务是把数学教好。怎样才算是把数学教好，理解数学课程是落实“核心素养”的关键。

李邦河院士说：“数学根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也！”中学数学概念的形成过程中有很多“规定”，学生不知道为什么要有这样的规定，当他们问老师时，老师往往说“这是规定，你记住就是了。”于是，学生会认为概念中的“规定”是人为“编造”的，以后不再问“为什么”，慢慢对数学学习失去了兴趣。教师要把数学教好，必须理解“为什么”背后的数学含义。

一、因知识内部的逻辑性而“规定”

数学知识的特点之一就是具有较强的逻辑性和系统性，其中一些“规定”，是由于数学知识内部发展逻辑性而决定的，而不是随意规定的。

案例1. 为什么规定“空集是任何集合的子集”？

笔者在很多地区听不同教师讲这个内容时，都没有对其进行解释，学生也不问，下课后问一些学生，学生答道：“这是规定，没有为什么。”

很显然，这种现象是学生多年的学习习惯形成的，他们经历小学、初中，经历不同的学校，不同的教师。然而，这些教师有一个共同的问题是，没有对数学中的“规定”进行合理解释，也没有引导学生进行质疑，为什么要这样进行“规定”？久而久之，学生的思维就会出现这样的“麻木”状态。

解释1：可与自然数进行类比。

自然数的功能之一是基数功能，即用来刻画某一类“东西”的多少，就是描述一个有限集合元素的个数；显然空集是有限集合，并且很容易理解用“0”来描述“空集”中含元素的多少。0是最小的自然数，空集是“最小”的集合，规定空集是任何集合的子集。

解释2：因为集合运算性质得：A∪B= A，即B是A的子集，那么，我们知道A∪= A，即空集是A的子集，A表示任何集合，故空集是任何集合的子集。可以先让学生了解空集以及子集概念，再把这个“规定”作为一個探究点，让学生思考能否在学习集合的运算后进行解释。

案例2. 为何规定零向量与任何向量平行？

教材中规定：零向量与任何向量平行，即对任意向量a都有0∥a。然而，为什么要有这样的规定，一般教师都未进行解释，好像这样做是“理所应当”，学生感觉这样的“规定”是编教材的人“凭空”写出来的，如果教师不对“规定”背后的数学含义及合理性进行解释，他们会认为数学不讲道理，数学教师不讲道理。

解释：为何规定零向量与任何向量平行，而不规定与任何向量垂直呢？首先，因为零向量方向是任意的，若向量a、b平行，其中b是非零向量，则存在唯一实数λ使a=λb成立，若a为零向量，则λ=0。

如此规定是为了满足向量加减法的封闭性。我们将与向量a共线的向量构成一个集合A，所谓封闭性，就是在这个集合里，一定存在一个量，使得集合里的任意一个向量与之相加等于本身。对于数字集合，这个数就是零，对于向量集合，这个量就是零向量。即0+a=a。

另外，因为a+（-a）=0，规定零向量与任意向量平行也是合理的。

这方面的例子还很多，如：

为什么“负负得正”？

为什么规定a0=1，a-n=，0！=1，Cn0=1？

为什么图像关于原点对称的函数称为奇函数？关于轴对称的函数称为偶函数？

二、因中学生知识内容所限而“规定”

数学知识的学习是有阶段性的，大部分数学知识的学习到大学或研究生阶段还要进一步学习或完善，中学阶段只能学习其中一部分， 由于其“基础性”所限，中学数学有些概念在定义的过程中，必须做出相应“规定”。

案例3. 函数概念为什么规定是“一对一”“多对一”？

教材对函数的概念进行定义时，对于这条规定，很多学生并不理解，不知道为什么要这样规定，又不敢去问老师，怕遭受“闭门羹”。然而，中学数学教师大都受过高等教育，都学过《数学分析》这门课程，应该和学生解释这样规定的合理性。

解释：实际上，中学对函数的定义是单值函数，例如：

由圆的方程x2 +y2 =1，解出y= 1-x2 ，x∈ [-1，1]

根据函数的定义，它就不是函数，更准确地说，它不是单值函数，而是多值函数。由于高中不讨论多值函数，但是它可以拆成两个单值函数来研究：

y=± 1-x2， x∈ [-1，1]；y=- 1-x2， x∈ [-1，1]

因此，我们主要研究的是单值函数，所以“一对一”“多对一”并非函数的本质属性，函数中的本质属性为“对应”。

这类规定的例子还有：

平面几何“两点之间线段长最短”；

初中数学am·an=am+n，（am）n=amn，（ab）n=an·bn，规定m，n都是正整数。

高中数学中集合的确定性、互异性和无序性。

三、因数学概念的“基本性”而“规定”

我们给一个数学概念进行定义时，概念形成的要素应该是最“基本”的。否则，不能作为给一个概念下定义的基本要素。

案例4.描述椭圆的扁平程度，为什么定义离心率？

教材中定义椭圆（双曲线）的离心率为焦距与长（实）轴的比，即，它从数值上描述了椭圆的扁平（双曲线开口开阔）程度。从这个意义上讲，用比更直观（如图1）， 为什么不用来定义离心率，而用呢？

解释：设P是椭圆上的任意一点，由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，2a>|F1F2|=2c，其中b2=a2-c2，a、c是基本量，而b非基本量。对于双曲线b是虚半轴，不能直接看出来。所以用基本量a、c表示椭圆、双曲线的离心率。

案例5.为什么要规定单调性和奇偶性作为函数的基本性质？

通过多年教学和教研实践了解到，一般不会有教师去思考这个问题。教材怎么写，我就怎么教，至于为什么要这样写，就是那些编写教材专家的事情。看来，如果不体会教材的编写意图，要教好数学是不可能的。

解释：函数中的本质属性为“对应”，我们自然关注的是，如果自变量按一定规律变化，相应函数值 f（x）呈现怎样的变化规律？ 如果自变量x取值在定义域D的某个区间上取值逐渐增加时，研究相应f（x）的变化趋势，即是函数的单调性；如果自变量x取值关于原点对称，研究相应f（x）的变化规律，即为函数的奇偶性。

以上由函数的概念可以知道，为什么单调性和奇偶性作为函数的基本性质。除此以外，还有一条更重要的原因，这一条往往被中学数学教师所忽略。如函数的奇偶性：

任意一个定义在实数集R上的函数f（x）都可以写成一个奇函数和一个偶函数的和：

，

设 显然函数g（x）是偶函数，h（x）是奇函数。

这类规定的例子还有：

平面的三条基本性质。

同角三角形函数关系两个基本公式：

平方关系： sin2α+cos2α=1，商数关系：

（原来有八个公式，其余六个可以由这两个公式推导得出）。

圆锥曲线简单的几何性质。

四、因其数学意义而“规定”

案例4.算术平均数

我们在小学时就会求一组数据的“平均数”，但是大多數人并没有想过平均数真正意义。其实，算术平均数是一组数据的代表值，起着衡量数据资料的集中趋势和大致水平的作用。一组数据的“代表值”，应该具备这样的特征，与每一个数据都“很近”，怎样刻画与每一个数据都“很近”呢？

分析：距离在数据上往往用“绝对值”来表示，我们用x1，x2，…，xn表示样本数据，用a表示这个“代表值”，那么，函数f（x） =∑|a-xi|在x =a时取最小值。

怎么求a呢？有绝对值号很不方便计算，因为我们并不是要计算这个绝对值的和是多少，而是要找出x1，x2，…，xn 给数据的代表值a，因为绝对值非负，能否有另一个非负数来替换它而达到同样的效果呢？显然可以用“平方”来替换，即

显然，当且仅当时，f（x）最小。至此，我们知道了“平均数”的真正意义。

事实上，科学上的任何规定，都是有“为什么”的，连数学符号的采用都是如此。

任意x，为什么记作Ax，是因为若将anyx缩写为“ax”或“Ax”，容易引起误解，于是便写成Ax；

存在x，为什么记作Ex，是因为把“存在”exist取字头后，e与x连写成，易引起误会，仿照“任意”any字头A上下翻转，仍是E，于是就左右翻转为E；

为什么用S，∑表示“求和”？S是sum第一个字母，希腊文的∑，相当于英语里的S。有趣的是积分符号为什么采用“∫”，它实际是一个拉长了的S，因为“定积分”是“分割”、做“和”，取极限，实际上是求和。又由于牛顿——莱布尼兹公式，建立了定积分的计算与不定积分所求原函数的关系，这样一来，不定积分采用符号∫，定积分采用符号∫ab。

袁隆平院士谈到，他读中学时数学成绩不太好，“我最喜欢外语、地理、化学，最不喜欢数学，因为到现在为止，我仍然搞不懂为什么负负相乘得正，就去问老师，老师告诉他不要问为什么，记得就是；学几何时，对一个定理有疑义，去问，还是一样的回答，我由此得出结论，数学不讲道理，于是不再理会，从那时起我就对数学失去了兴趣。”袁院士讲的这段故事或许在我们每一个人身上都发生过，它给我们的启示是：虽然这些“规定”背后的数学含义或许并不影响你的“学习成绩”，但这对培养学生“核心素养”，增强学习数学的兴趣，提高认识数学、理解数学能力是具有重要意义的。