带有多元马氏需求的多产品报童模型

陈 杰，唐 萍，高 腾

(1. 华南理工大学工商管理学院,广东 广州 510640；2. 中山大学管理学院,广东 广州 510275)

带有多元马氏需求的多产品报童模型

陈 杰1，唐 萍1，高 腾2

(1. 华南理工大学工商管理学院,广东 广州 510640；2. 中山大学管理学院,广东 广州 510275)

考虑具有多元马氏需求特征的多产品库存报童模型的优化问题。本文利用多元马尔可夫过程描述多产品需求的内在运动的统计规律性，并根据其运动特征提出带有多元马氏需求的多产品报童模型。在新的多产品报童模型的理论框架下，研究了多产品库存系统的最优订购策略，并利用需求状态的截尾概率、双面因子及需求间关联性的强弱分析了该模型最优解的性质。模型的结论表明：最优订购策略和最优期望利润与截尾概率的关系为正相关，与双面因子的关系则具有正反的关联性；较于以往的多产品报童模型，新的模型具有独特的优越性，即充分考虑了需求间关联性的强弱对最优订购策略的影响。同时，通过数值算例验证了模型理论的可行性和有效性，并给出该模型在库存系统优化与控制中的重要管理启示。

多元马氏需求；多产品报童模型；截尾概率；双面因子；最优订购策略

0 引言

自Whitin[1]以数值最优化的理论方法研究报童问题以来，其模型的相关理论在库存优化管理领域里得到空前的应用和拓展,但随着现代供应链管理所提倡的具有革命性的QRD(Quickly Respond to Demand)理念的提出[2]，给经典报童模型的整个理论体系带来极大的冲击和挑战。QRD供应理念要求供应商对市场的需求要做出迅速的响应，这种响应方式建立在正确的订购策略基础之上，而订购策略则以需求预测为前提条件。因此，在这样的背景下，对需求的预测提出了更高的要求。然而，以需求随机变量为理论基础的经典报童模型[3]，得出来的最优订购策略存在不足之处，即在给定需求的分布函数的条件下，最优订购策略只跟单位进价，销售价格，缺货成本和商品的残值等非随机因素有关，从而忽略了需求状态的截尾概率对模型的最优解的影响。同样在处理多产品的最优化问题时，也往往忽略了各产品需求之间的关联性。事实上，在互为竞争性产品的市场环境下，由于消费者在产品的品牌、质量、价格和实用性等诸多方面拥有不同的需求偏好性以及新产品入市、产品间可替代性等诸多因素的存在从而导致不同产品间的需求在一定的时期内发生了相互转移，进而在需求转移过程中产生了其相互之间的关联性。所谓多产品需求间的相互转移就是在不同的时期内顾客的需求从某个产品转移到另一个产品上，其转移的内在规律性本质上就是顾客的需求从某个产品转移到另一个产品的概率。在这样的竞争环境下，当多产品的需求在市场中产生相互转移时，其关联性给库存管理带来如下诸多的挑战，即：如何科学地度量它们之间的关系和预测其需求？ 如何确定需求状态的截尾概率与订购策略之间的关系，什么情况下必须考虑产品间的关联性，忽略关联性会给库存决策者带来什么样的损失？什么情况下这种损失会比较大？直接影响到库存系统决策者对制定库存订购策略的科学性和合理性。因此，在这样的随机需求环境下，经典报童模型的理论设计有待于进一步完善。

报童模型是优化库存订购决策的重要理论工具，已经发展成为具有多方向化对模型进行拓展的热点研究领域之一。Khouja[4]对1999年前的报童模型及其相关的扩展理论做了全面的综述和展望，而李雪敏等[5]则对2000-2008年间报童模型的研究进展，进行了系统的分析和总结， 并提出未来报童模型的研究方向。为此，本文仅在这两篇综述性文章的基础上对近5年来具有代表性的多产品报童模型的研究成果，作进一步简单的回顾和评述。近年来国内外学者对多产品报童问题研究的热点是基于模型带有约束条件的情形。在风险约束的条件下，Abdel-Aal和Selim[6]分别在异地和本地双源采购渠道的环境下研究了带有CVaR约束的多产品报童模型的最优决策问题，并利用混合整数规划给出了模型的最优解，而冯艳刚和吴军[7]则结合风险厌恶因素，研究构建多产品间具有可替代性的博弈报童模型，并证明了纳什均衡的存在性与唯一性。基于预算约束的条件下，Zhou Yanju等[8]综合考虑损失因素提出了多产品报童模型，同时利用线性逼近法给出该模型的最优解，并通过算例验证了模型的可行性和有效性，而黄松等[9]则考虑了战略顾客行为因素并引入了理性预期均衡分析构建了相应的模型，同时给出战略顾客双方静态博弈时的理性预计均衡之解。陈杰等[10]在能力的约束条件下，假设不同产品间的需求具有关联性，建立了多产品报童问题，进而提出了多产品库存系统的最优订购策略解。由于多产品报童模型在求解的过程中比较复杂，从而引起一些学者对其求解方法的兴趣。Zhang Renqian等[11]综合考虑竞争和交叉销售等因素构建了多产品报童模型，并基于梯度和迭代的算法研究了模型最优解，Khanra和Soman[12]利用启发式算法研究了多产品模型的求解问题，而Abdel和Otegbeye[13]则利用可分离规划和对偶方法对相应的模型的求解方法进行研究。虽然以上对多产品报童模型的研究成果，进一步完善了模型理论的研究，但是这些理论成果有个共同点就是基于各产品间的需求的独立性。事实上，在随机需求的环境下，由于需求间相互转移导致需求间具有关联性是市场经济活动中普遍存在的现象。然而，经作者对多产品库存系统的文献的调研所知，目前针对不同产品间的需求具有关联性的库存优化问题的研究比较少。在假设需求间具有关联性的条件下，陈杰等[14]及陈杰和陈志祥[15]在经典的经济订购批量(EOQ)模型的基础上分别给出了单阶段和多阶段的总期望成本模型及其最优(Q, R, SS)策略，但其相关理论尚未应用到报童模型的研究领域。

多元马氏链(Multivariate Markov Chains，MMC)作为最新的数据挖掘工具之一，是在不同数据序列之间的关系日趋于复杂化的大数据背景下应运而兴起的数学研究方向，其相关的理论成果已广泛应用到预测研究领域。Damásio和Nicolau等[16]将回归模型纳入MMC理论框架，构建了新的预测模型，其算例的数据结果表明新模型提高了预测的准确性。Wang Chao等[17]在经典的MMC理论基础上，进一步拓展了相关理论成果，即提出了简约型的MMC模型，并对多重分类数据序列进行了有效的预测。Suresh等[18]结合模糊时间序列和MMC理论，解决了地表面温度与碳排放之间的关联性，Chevallier[19]则考虑了MMC理论在金融危机中的应用。Hagen等[20]构建了MMC天气预报模型，预测海洋气候变化的状况。Dimitriou等[21]利用MMC理论提出了人力资源规划模型，决策者可以通过该模型辨析员工的动机模式。Ching等[22]针对需求间具有关联性的问题，基于MMC理论建立了多产品的需求状态预测模型。虽然利用文献[22]中的模型可以解决了多产品的需求状态之间的关系和预测产品的需求状态问题，但需求状态毕竟不是需求量，两者互为相异属性的概念，即前者为定性的变量，而后者为定量的变量。报童模型作为现代库存优化控制的核心理论，其相关的理论基础是建立在随机需求变量的概率密度之上，而不是需求状态的密度函数。因此，该模型的理论成果还不能直接套用在经典的报童模型之上。为了把多元马氏链的数据挖掘的思想纳入报童模型的理论框架，本文借助数学分析上的分割思想，先将需求量进行状态划分，并根据陈杰和陈志祥[15]所提出的多元马氏需求模型，构建带有多元马氏需求的多产品报童模型，研究多产品库存系统的最优订购策略和最优期望利润。同时，在此模型理论基础上，利用截尾概率、双面因子及需求间的关联性对模型最优解的性质进行了系统的分析。

1 模型构建

同时，称a为需求状态分类系数，而称[(i-1)a,ia)为隶属于状态i的需求区间。由此可见需求量(简称为需求)与需求状态是两个不同的概念，其两者具有属性之别，即前者为产品需求的定量描述,而后者则为定性描述。

1.1 模型描述、符号说明和假设

为了方便问题的阐述，首先作出以下符号的说明：

k=1,2,…,K表示库存系统的周期,而n=1,…,N表示第n种产品；

I={1,2,…,I}表示各产品的需求状态集；

dnk∈I为第n种产品在第k周期的需求状态,k=1,2,…,K；

{dnn}=具有I×I-转移概率矩阵P(nn)=(pji)I×I的第n条马氏链；

Dnk=第n种产品在第k周期的需求量,其中Dnk≥0；

P(ji)=第i种产品的需求状态转到第j种产品的需求状态的转移概率矩阵；

vnk=第n种产品在第k周期末未售出的单位回购价(残值)；

Qnk=第n种产品在第k周期的订购批量；

S(Qnk)=第n种产品于第k周期内的期望销售量；

I(Qnk)=第n种产品于第k周期内的期望剩余库存量；

L(Qnk)=第n种产品于第k周期内的期望缺货量；

φi,k(Dnk)=当第n种产品在第k周期处于需求状态i时的密度函数(i=1,2,…,I)，Φi,k(Dnk)为其相应的分布函数。

接下来对本文的模型做出一些基本假设：1各种产品的需求量Dnk(n=1,…,N)满足马尔可夫性，且为需求状态依赖的，即Dnk的具体密度函数φi,k(Dnk)与需求状态i的取值有关；2各产品产品状态集的元素个数及其取值都各相等；3瞬时供货；4在每周开始时做一次订货决策；5决策准则为期望销售利润最大。

1.2 带有多元马氏需求的多产品报童模型

(1)

(1)式对由多产品构成的库存系统具有重要的意义，其以最新的数据挖掘技术(多元马氏理论)刻画了需求的运动趋势，同时挖掘出多需求序列间的关联性，即由权重系数λnm度量了第n种产品需求与第m产品的需求之间的关系。由模型的假设知，不同的需求状态i所对应需求的概率密度不一定相等。因此，若订购量Qn(k+1)落在隶属于状态i0的需求区间[(i0-1)a,t0a),i0=1,2,…,I，即Qn(k+1)∈[(i0-1)a,i0a)，则由(1)式可得：

第n种产品于第k+1销售周期内的期望销售量：

(2)

第n种产品于第k+1销售周期内的期望剩余库存量：

(3)

第n种产品于第k+1销售周期内的期望缺货量：

(4)

(5)

并称之为带有多元马氏需求的多产品报童模型。由(5)式可知，多产品报童模型EΠ是关于订购量Q1(k+1)，Q2(k+1),…,QN(k+1)的函数。因此，只需利用多元马氏理论求出各产品的期望需求E(Dn(k+1))的值，再确定Qn(k+1)的最优值，即可达到优化订购策略的目的。

2 多产品报童模型的最优解及其性质

2.1 模型的最优订货策略

(6)

2.2 最优解的性质

不失理论上的一般性，为了方便问题的论述，以下约定两个向量的夹角θ∈[0,π/2]。

命题3的结论在库存管理上具有重要的意义，其表明了需求状态间关联性的强弱对最优订购策略及利润的影响。相对βn中的其他分量的取值，在θn为分量λnmL的单调递减函数的条件下，当权重系数λnmL的取值越大时，即第mL种产品与第n种产品需求间的关联性增强时，第n种产品的订购量就越大，而相应的库存系统获取的利润就会增多。事实上，根据多元马氏模型的定义可知当λnmL变大时，意味着顾客的需求从第mL种产品转移到第n种产品就会增多。因此，第n种产品的最优期望利润和最优订购量则相应的增加。

3 数值算例分析

在竞争激烈的市场环境中,供应商往往会考虑消费者的个人消费能力、偏好和实际需要等众多因素，而趋向于推出多样化产品，以满足顾客的多样性的需求。当消费者面临着多种产品的消费选择时，其可能由于购买了A系列产品，而不会再选择购买其它系列的产品，或者在某个时期内选择消费A产品，但出于上述的某个因素在下个消费周期到来时选择购买B产品。在市场的总需求量一定的情况下，当互为竞争性的某种产品的销量增加时，意味着另一种产品的销量就会相应减少，进而促使产品间的需求状态不断地相互转移。所谓产品间的需求状态相互转移，实际上指的是顾客的需求从某个产品转移到另一个产品的量的大小。因此，决策者可以通过转移量的大小对其进行等级划分，进而确定需求状态的转移规律。

设某零售商销售A、B和C产品，并根据消费者对产品的需求程度将其划分为4个状态，并依次用数值1，2，3，4来表示，即I={1,2,3,4}，其中各需求状态的具体定义如下：1≜{Dn(k+1)|Dn(k+1)∈[0,100)}；2≜{Dn(k+1)|Dn(k+1)∈[100,200)}；3≜{Dn(k+1)|Dn(k+1)∈[200,300)}；4≜{Dn(k+1)|Dn(k+1)∈[300,400)}。并假设Dn(k+1)～U(100(i-1),100i),i∈I，即当dn(k+1)=i时，其概率密度为

φi,k+1(Dn(k+1))=

设各产品需求状态的相互转移概率矩阵为：

若A、B和C产品需求状态的概率分布为：

(0.167,0.250,0.333,0.250)T

则由文[23]的(7.5)式，可得各种产品的关系权数矩阵为：

于是，由Xk+1=AXk，可得多产品在下个周期(即第k+1周期)的需求状态的概率分布，即：

Xk+1=

(7)

3.1 期望需求量和截尾概率

今将(7)式代入(1)式，可得A、B和C产品于第k+1周期的期望需求量，即：

(8)

因此，根据本算例给出具体的需求状态的定义，知E(Dn,k+1)∈[200,300),n=1,2,3，故A、B和C产品在第k+1周期内都是处于期望需求状态E(dn,k+1)=3。进而，可得出它们相应的截尾概率依次分别为：P1(I≥3)=0.967，P2(I≥3)=0.667和P3(I≥3)=0.499。在ηn(k+1)=(50,150,250,350)T,n=1,2,3的条件下，由上述的数值结果易知各产品的需求与截尾概率的大小有着密切的关联性，即截尾概率的取值越大时，其相应的期望需求量就越大。由此，表明了产品的截尾概率蕴含着重要的需求预测信息，库存管理者可以根据其取值的大小判断未来的需求的趋势。

3.2 最优订购策略和期望利润的数值解及其分析

由上文已知A、B和C产品需求状态的截尾概率，知其在第k+1周期内所处于期望需求状态都是E(dn,13)=3，接下来主要研究多产品报童模型在这个条件下的最优数值解。为了更好理解截尾概率与模型中的最优解之间的关系，本算例模拟了两组模型的参数取值(详见表1和表2)，其中一组要求各产品相应的参数取值相等，而另一组则反之。由(5)、(6)和(8)式可得各种产品于第k+1周期的最优订购策略和期望利润的数值解，相应的结果详见各表的第7和8列。

表1 各产品相应的参数取值相等的情形下其模型的最优订购策略和期望利润(单位:元/件)

表2 各产品相应的参数取值不同的情形下其模型的最优订购策略和期望利润(单位:元/件)

3.3 最优订购策略和最优期望利润的敏感性分析

表3 最优订购策略及最优期望利润对需求间关联性的敏感性分析

由表3的数值实验结果可知，当各产品的需求相互独立时，即

3.4 最优期望利润的比较分析

在竞争激烈的市场中，由于不同产品间的可替代性以及顾客的需求具有偏好性，使得需求间相互转移成为竞争性产品的显著特征。在需求间相互转移的条件下，互为竞争性产品的需求间具有一定的关联性，因此库存管理者在竞争的环境下得考虑产品间的关联性对最优订购策略的影响。若在此情形下决策者忽略需求间的关联性，会给库存决策者带来什么样的损失？什么情况下这种损失会比较大？这是多产品库存决策优化的核心问题。

于是，可得在竞争环境下若忽略需求间的关联性给库存决策者带来的损失函数，即：

因此，结合表3中模型的参数设计可模拟出各产品的损失函数的内在运动规律(详见下图1)。

图1 需求间相互转移下各产品利润损失曲线图

在竞争的环境下，若销售商基于需求间相互独立的条件，忽略需求间的关联性而做出其库存的最优订购策略，由图1中利润损失曲线的变化趋势，可知当需求间关系权数的取值使得夹角θn值逐渐变小时，销售商面临的利润损失就越大，反之就越小。

4 结语

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Multi-productNewsvendorModelwithMultivariateMarkovianDemand

CHEN Jie1, TANG Ping1, GAO Teng2

(1. School of Business Administration South China University of Technology, Guangzhou 510275, China;2. School of Business, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510640, China)

In practice, many companies have more than one product in inventory, and multi-product inventory control problem is more complicated than single product inventory control problem. At present, the multi-product inventory problem has aroused widespread attention, However, most authors only consider independently demands, little attention has been paid to the inventory with dependent demands. In fact, some multiple data sequences of the demands are correlated to each other, and these correlations impact on the optimal policy for multiple products inventory system. To explore the relationships among the demands and characterize the statistical law of inner movement for the demands of multiple products, these multiple data sequences are modelled by using multivariate Markov processes, and the multi-product newsvendor model with multivariate Markovian demand is proposed according to the movement characteristics of the demands. Under the theoretical framework of the new multi-product newsvendor model, the optimal ordering policy for the multi-product inventory system is studied, and the properties of the solution for model are analyzed through the truncated probability, dual factors and strength of relationships among the demands. The conclusion demonstrates that the optimality of ordering policy has a positive correlation with expected profit related to the truncated probability and a paradoxical relation with the dual factors; there is a unique advantage on the new model compare with the conventional multi-product newsvendor model, that is the strength of the demand correlation impact on the optimal ordering policy is fully considered. Moreover, the feasibleness and effectiveness for the model are verified through the numerical example, and some important management implications of the model are given for the optimization and control in the inventory system. From the new model, the relationships among competitive products are modeled, and decision-maker can obtain the information for the correlations of demands impact on the optimal ordering policy.

multivariate Markovian demand; multi-product newsvendor model; truncated probability ; dual factors; optimality of ordering policy

1003-207(2017)02-0057-11

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.02.007

2015-08-17;

2016-06-01

国家自然科学基金资助项目(71371076); 国家优秀青年科学基金项目(71522002);教育部人文社会科学研究青年基金项目(15YJC630013)

唐萍(1992-)，女(汉族)，湖南衡阳人，华南理工大学工商管理学院，博士研究生，研究方向：服务运营管理，E-mail:tang.ping@mail.scut.edu.cn.

O211.62; F253.4

A