基于初中教材提升学生数学思想方法

(渤海大学 教育与体育学院，辽宁 锦州 121000)

基于初中教材提升学生数学思想方法

申依平

(渤海大学 教育与体育学院，辽宁 锦州 121000)

在新课程理念下，掌握数学思想方法是提高学生数学素养的必要条件。近年来，中高考的命题逐渐趋向数学思想方法的应用，这就要求教师增强数学思想方法的教学意识，在教学过程中渗透数学思想方法的内容，在解决例题中强化数学思想方法，并逐步内化数学思想方法。

数学思想方法；数学素养；渗透

数学思想是在解题过程中所采用的解题策略，而数学方法是解题的步骤、程序，可以说数学方法是数学思想的具体表现，数学思想是数学方法的抽象概括，二者统称为数学思想方法。在新课程标准下的数学教学中，要求不断强化学生的数学意识，提高学生的数学素质。新课标在继承我国数学教育注重“双基”传统的同时，提出“四基”与“四能”。“四基”即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，“四能”即发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。更加突出了培养学生创新精神和实践能力，提出使学生理解和掌握“基本的数学思想方法”，获得“基本的数学活动经验”。在实际教学过程中，学生虽然做题不计其数，但最终的效果却不尽如人意，其原因在于：数学课堂上着重于精讲多练的方法，而忽略了数学思想方法的渗透。在初中数学教材例题中，蕴含着多种数学思想方法，这就要求教师在解决数学问题的同时，还要对其所运用的数学思想方法进行提炼与总结，并不断向学生渗透这种思想方法，使数学思想内化为学生的数学素养。

一、转化化归思想方法

化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思想策略，更是一种有效的数学思维方式。当面对数学问题时，若已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象。它们均是将“未知”转化为“已知”、将“陌生”转化为“熟悉”、将“复杂”转化为“简单”的解题方法。

在计算异分母的分式加减法时，首先要找到各分式的最简公分母，将分式进行通分，进而将异分母的分式加减法转化为同分母的分式加减法。同理，在解决分式方程问题时，第一个步骤就是将不熟悉的分式方程的等号两侧同时乘上分式的最简公分母，由此可将分式方程问题转化成较为熟悉的整式方程的问题，进而求解。这些过程都是将“陌生”转化为“熟悉”，因此在教学过程中，教师应引导学生逐步思考，将问题转化为熟悉的形式，提示学生运用已有知识解决新的问题。

再如求平行四边形面积，在不知道平行四边形的面积公式的情况下，通过演示割补、平移的过程，把平行四边形问题转化为长方形问题，并且引导学生推导出平行四边形的面积公式。这样，在探究新知过程中，既能培养学生的探索精神，又能较好地培养学生的化归意识。

二、分类讨论思想方法

分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫作逻辑划分。不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行分别研究，最终综合各类结果得到整个问题的解答。在初中阶段的三角形和绝对值问题中，就存在需要分类讨论的情况，此类问题往往有多解答案是学生没有考虑全面的，因此较容易丢分。在平时的解题过程中，教师要注重培养学生学会对多种情况进行分析并分类求解，使学生会区分在何种情况下需要进行分类讨论。

例1：在等腰三角形中，已知其中一个角的度数为30°，那么其他两个角的度数为多少？

像此类三角形问题中，首先要分两种情况讨论：(1)顶角为30°；(2)底角为30°。尤其在做填空题时，多解问题是学生最易忽略的，因此在平时练习中，对于此类相关问题要不断提醒学生要将三角形的种类考虑全面。

例2：若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求|a+4|+|a-2|的值。

本题存在两组绝对值，根据题意可知，需分三种情况讨论：

(1)a=-4； (2)-4

在这三种情况下分别求值，最终综合所有结果得出结论。

三、数形结合思想方法

“数无形不直观，形无数难入微。”数形结合的思想是重要的数学思想，将数量关系与空间形式巧妙地结合起来。在数学教材中，尤其注意这种思想的渗透，借助空间几何直观的特点，将数形结合的思想更好地反映出来。利用图形的直观性来体现出数量之间的联系，将抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的相互转化、相互渗透，为研究和探究数学问题开辟重要途径。

在推导平方差公式和完全平方公式时，教材中从用两种方法求出所给长方形的面积入手，再根据面积相等最终得出两种结果相等，由此使学生自主探究，得出平方差公式和完全平方公式。在这一推导过程中，学生能很轻松地获得新知，并且图形的直观性也能使学生进一步理解公式。

此外，在刚引入绝对值的知识点时，学生可能难以理解，如若引入数轴来直观地观察，绝对值的概念就能较为轻易地理解。找到数轴上的一个数所对应的点与原点的距离即为绝对值，利用数形结合的思想使学生理解绝对值的几何意义的同时了解绝对值的意义。

在解决一元一次不等式的相关问题时，也可与一次函数图像建立联系。教师利用一次函数的图像，对图像与不等式间的关系进行适当联系，在图像中找出不同的x值所对应的y值情况，向学生展示分析过程。在传授知识和做题过程中向学生渗透数形结合的思想方法，使学生学会运用这种方法，在独立解题过程中可以将抽象的数量问题利用直观的图形来找到答案。

四、函数与方程思想方法

所谓的方程思想也就是从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后再通过解方程(组)使问题得到解决。这种思想方法是解决数量关系问题的一种非常基础又有效可行的方法，由于它思路清晰、关系明确，多数学生习惯运用方程来解题，而这种思想在解决生活实际问题中也有着广泛的应用。

例3：某电信公司有甲、乙两种手机收费业务。甲种业务规定月租费10元，每通话1min收费0.3元；乙种业务不收月租费，但每通话1min收费0.4元。你认为何时选择甲种业务更合算？何时选择乙种业务更合算？

例4：某公司40名员工到一景点集体参观，景点门票价格为30元/人。该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折。这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠，请你帮他们选择购票方案。

在解决此类生活实际问题时，通常利用函数的思想方法，根据题意分别列出两种情况下的函数关系式，再利用不等式的知识对两个函数关系式进行比较，最终联系实际得出答案。在教学过程中，应引导学生独立找出题中的数量关系，并列出函数关系式，培养学生利用函数与方程的思想方法解决相关实际问题。

五、类比联想思想方法

波利亚曾说过，“类比是一个伟大的引路人”。在研究某些数学问题时，通常根据知识间的相似点提出假设和猜想，从而把已知的知识类比推广到类似的新问题中，促使发现新结论。可以说类比思想是一种猜想、推理，从一个已知的领域去探索另一个领域。类比的思想体现出“以旧引新”的原则，在教学过程中，提供学生思维发生的背景材料，回忆和利用旧知，引导学生利用已有知识去探索新知识。

在学生刚刚接触分式，进行分式的加减法时可能存在一些困难。那么，可以类比分数的加减法，先进行通分，通分为同分母的分式时再进行运算。此时，不仅运用了类比较为熟悉的分数的思想方法，同时也运用了将异分母加减法转化为同分母加减法的转化的思想方法。而在研究分式的分母为何值才有意义时，也可以类比分数的情况，当分数分母不为0时，分数才有意义，同理分式的分母也不能为0。

在学习一次函数的时候，求函数解析式是利用待定系数法；研究函数图像是通过“列表、描点、用光滑曲线连接”的方法画出的。那么在学习反比例函数与二次函数时，完全可以类比一次函数来研究。

六、整体思想方法

整体思想就是根据题目与所求直接的联系，通过整体处理来解决问题，从整体出发，再局部研究，最后再回到整体。解题过程中要具备整体观念，很多数学思想都与其有着紧密的联系。在考虑数学问题时，不着眼于它的局部特征，而是将着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，把彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理，整体的思想在处理数学问题上应用广泛。

例：甲、乙两人相距100 km，两人同时出发，相向而行，甲每小时走6 km，乙每小时走4 km；甲带的一只狗，同甲一起出发，每小时走10 km，碰到乙时它往甲方向走，碰到甲时它又往乙方向走，如此连续往返，到甲、乙两人相遇时，这只狗一共走了多少千米？

本题是有关整体思想方法的一道经典例题，在读题后学生往往没有头绪，不知小狗每次往返时甲、乙两人相距多远，如果能从整体入手，本题就极易理解了。首先将甲、乙二人看做为一个整体，那么两人的总速度就为10 km/h，以此速度作为整体速度，那么这个速度走过100 km的路程所需的时间为10 h。而在此期间小狗一直在跑没有停歇，那么小狗走的路程就能很轻易地利用小狗的速度和总时间得出100 km。

数学思想方法在数学体系中占据着重要地位，蕴含于数学基础知识当中。在教材例题中，蕴含了化归、分类讨论、数形结合、函数与方程、类比等多种数学思想方法。因此，在教学过程中，要挖掘教材中的思想方法，作为教师首先要更新观念，提高对渗透数学思想方法的重要性的认识，提高对数学思想方法教学的自觉性。教师要重视和加强对学生数学思想方法的渗透与培养，通过解题与反思活动归纳、总结解题方法，切实把握好上述几个典型的数学思想方法。注重渗透过程，使学生更加深刻地领会解题过程中隐含的思想方法以及由此形成的数学知识体系。同时，使学生学会举一反三，感悟数学思想方法在解题过程中的重要作用。

[1]宁春芳.初中数学思想方法例举[J].山西教育，2004，(2).

[2]钱佩玲.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，2000.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

PromotingStudents’MathematicalThinkingMethodBasedonJuniorHighSchoolTextbooks

SHEN Yi-ping

(School of education and physical education, Bohai University, Jinzhou 121000, China)

Under the new curriculum idea, grasping mathematical thinking method is the essential condition to enhance the students’s mathematics literacy. In recent years, the proposition of high school/college entrance examination gradually tends to the application of mathematical thinking methods. It requires teachers to enhance the teaching consciousness of mathematical thinking, infiltrate the content of mathematical thought in the course of teaching,strengthen mathematical way of thinking in solving examples and gradually internalize mathematical thinking method.

mathematical thinking method; mathematical literacy; infiltrate

10.3969/j.issn.1008-6714.2017.10.038

G633.6

A

1008-6714(2017)10-0084-03

2017-06-07

申依平(1994—)，女，辽宁锦州人，硕士研究生，从事学科教学(数学)研究。

〔责任编辑：李海波〕