分类思想方法的内涵及数学教育价值

◎刘悦红

分类思想方法的内涵及数学教育价值

◎刘悦红

数学教育的目的不仅要使学生掌握数学知识与技能，唤起学生对数学的认识，更要发展学生的数学意识，培养他们应用数学的能力，形成解决问题的策略。因此，在学生的数学基础知识、基本技能获得的过程中，也应同时让学生感悟基本的数学思想方法，形成正确的数学观念，全面提高数学素养。分类思想方法是现实世界人们应用最广泛的思想方法，对人的数学能力的发展有着重要的作用。通过分类内容的学习与分类思想方法的应用，使学生获得分类思想方法，学会用分类思想方法分析、解决问题，形成有效的解决问题的策略，对学生的数学能力的提高有着极为重要的作用。

一、分类思想方法的内涵

数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，直接支配着数学的实践活动，是对数学规律的理性认识。数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。由于小学数学内容比较简单，所以隐藏的数学思想和方法其本质往往是一致的，很难截然分开。如常用的分类思想和分类方法、化归的思想和化归的方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即数学思想方法。我们通常将分类思想、分类方法统称为分类思想方法。

（一）分类思想

分类思想，是指根据一定的标准，对事物进行有序划分和组织的过程。是人们对分类对象的本质及规律性的认识，它是在分类活动中解决问题的基本观点和根本想法，是建立数学知识和运用分类工具解决问题的指导思想。在数学上的重要应用就是分类讨论的思想，即将问题按照一定的标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再将这几类的结论汇总，得出问题的答案。如在小学阶段，得出“三角形内角和是180°”这个结论，可以用动手操作试验的方法获得结果：将某个三角形的三个角撕下，拼在一起，能拼成一个平角，从而得出这个三角形内角和是180°。但只做一个三角形的操作试验不能足以说明任意三角形的内角和是180°，可以根据三角形按角分类分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，对三种类型的三角形分别进行动手操作试验，由此使学生认识到，每类三角形将其三个角撕下，拼在一起，均能拼成一个平角，而得出一般结论：“任意三角形内角和是180°”。这种得出“任意三角形内角和是180°”的方法，就是将三角形按角分为的三类，逐类进行讨论，得出“每类三角形的内角和都是180°”的结论，从而得出“任意三角形内角和都是180°的结论。”

（二）分类方法

在分类思想的指导下，人们在从数学角度提出问题、解决问题的过程中获得了分类解决问题的概括性策略，产生了分类方法。下面对分类的涵义、分类方法、分类应遵循的原则及分类过程加以阐述。

1.分类的涵义

根据事物的特点分别归类。即按照事物的种类、等级或性质等属性分别归类。如将人分类、将邮件分类、将图形分类等。现实生活及数学问题解决中分类的现象很多。通过分类将研究对象细化、具体化，有利于问题解决。

2.分类方法

将事物根据其某个属性分为若干个有规律的类别，按此类别处理事物或解决问题。分类方法是分类思想指导下的解决问题的程序。如在现实生活中，将人按其性别分为男性和女性两个类别，据此，将公共卫生间设置成男、女卫生间，将学生的宿舍设置成男、女宿舍等，这是应用分类的方法处理现实问题的例子。在数学问题解决中常常还有在分类思想指导下的分类讨论方法：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的或同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的特点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系、又有区别的部分，然后逐类进行讨论，在此基础上，综合各类情况讨论的结果，获得问题的解决。

（三）分类的原则

应用分类思想方法解决问题，应根据事物的属性选择恰当的标准进行正确分类，正确分类的原则是：无重复、无遗漏、一致性、逐级分类、最简便。无重复原则是指被分类的对象是确定的，在分类的结果中，每一个对象只能被分在某一类中，而不能重复出现在其他类中。无遗漏原则是指在分类的结果中，每一个被分的对象应在某一类中，而不能有遗漏。一致性原则是指每一次分类的标准必须是统一的。逐级分类原则是指如需多次分类，必须逐级进行，不得越级。最简便原则是指所选择的分类标准应使分类简捷，有利于简便地解决问题。

（四）分类过程

1.根据问题解决的需要确定分类标准

分类是根据事物的某一属性进行的，这一属性就是分类标准，它是根据问题解决的需要来确定的。如，解决人们公共如厕问题，就是根据人的性别这一属性，将人分为男性、女性两类。随之，将公共卫生间设为男厕、女厕两类，有效地解决了人们公共如厕的问题。

2.恰当地对研究对象进行分类

分类之后的子项既不能“交叉”也不能“从属”，即“既不重复，又无遗漏”。如按同一标准分物品，被分的某物品不能既是这一类，又是另一类。

此外，还有逐类进行讨论和综合概括，归纳得出最后结论等。

二、分类思想方法的教育价值

分类思想方法对于人的成长和社会的发展有着重要的价值和作用，在现实生活中有广泛的应用价值，是学生后续发展性学习、理论与实践结合的应用基础，是发展思维能力，培养创新性人才的有效学习内容，通过分类思想方法的学习与应用，可以帮助人们形成分类思想方法，获得用分类思想方法解决问题的策略。

（一）分类思想方法是最基本的教学思想方法

数学思想方法是数学知识的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生、发展和应用的过程中，能够迁移和应用于相关知识、数学问题的解决中，是数学知识体系的灵魂和本质所在。分类思想方法是基本的数学思想方法，通过分类思想方法的学习与应用，可以使人们获得通过分类解决问题的一般策略，增强数学意识，提高解决问题的能力。分类思想方法是人们应该获得的最基本的重要的思想方法，它应用广泛，无孔不入地渗透到人们生活的各个领域。如图书馆图书的摆放、商场中卖场的划分等等，都是利用分类思想方法，将物品分类摆放，方便人们尽快地找到物品；再如，学校中的学生管理，可以按照学生入学的年份或学习内容，将全校学生分成一至六年级。生活中应用分类思想方法解决问题的例子很多，不胜枚举。当人们在获得了分类思想方法之后，才可能利用分类的方法去分析、解决问题，形成用分类的思想方法解决问题的意识和能力，从而在学习、生活及工作中加以应用。

分类思想方法是学生学习数学知识、形成能力的重要基础。小学生对统计与概率内容的学习，正是在学习了分类知识的基础之上展开的。如统计班级学生最喜欢什么种类的图书，首先就要将图书进行正确分类，然后对学生喜欢的每类图书情况进行统计，最后根据统计的数据分析而获得对班级学生最喜欢的图书种类的认识。

在小学阶段使学生获得分类思想方法，将对学生升入初中、高中的后继学习产生重大影响。初中和高中数学的分类解决问题的方法就是在学生已有的经验基础上学习的。分类讨论思想是数学思想方法中一种比较重要的方法。分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，是分类思想在解题中的具体应用，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想,相关的习题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点。学生在小学阶段进行分类思想方法的学习，对其后继的学习及应用有着重要的教育价值。

（二）分类思想方法是发展学生数学思维能力的有效途径

数学思想方法是学生数学认知结构中最积极、最活跃的因素，处于数学认知结构的最顶端，是形成学生良好认识结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。对学生数学认知结构的建构具有重要的意义。数学思想方法在数学教育中有着重要的作用,它对改变传统教育观念、培养学生创新意识及应用意识、发展数学思维、形成良好的数学素养方面具有极为重要的作用。数学思想方法在培养人的创新意识、培养人的探究能力和动手操作能力等方面是不可或缺的重要的学习内容，其重要作用已经引起国内外专家的重视。围绕数学思想方法的论著有很多，并在此基础上提出如何根据蕴含数学知识的教学内容，来研究现代数学思想方法和指导教学。分类思想方法是应在小学数学教学中向学生渗透的基本数学思想方法，在学生获得知识的过程中，发展其思维的缜密性、全面性等思维能力，培养其抽象、概括能力和探索创新的意识与精神。分类思想方法是发展思维能力，培养创新人才的有效学习内容，是培养创新性人才的基础。

（三）分类思想方法是学生学会解决问题的根本策略

人们在探索解决问题的过程中获得了一些重要的思维结果，由此形成了数学思想，将数学思想作为解决问题的工具或手段就产生了数学思想方法。数学思想方法在问题解决中常常起到评估、决策的作用，进而确定解决问题的策略。数学思想方法是分析、处理和解决数学问题的根本策略，是对数学规律的理性认识，是对数学知识和方法的本质概括。通过分类思想方法的学习与应用，可以使人们在解决问题的过程中获得用分类的方法分析和解决问题的策略。

（作者单位：大连教育学院）

（责任编辑：杨强）