特例引路以退为进，逆向思考深化理解——以一道几何难题的思路突破为例

☉江苏张家港市南沙中学 严君华

特例引路以退为进，逆向思考深化理解
——以一道几何难题的思路突破为例

☉江苏张家港市南沙中学 严君华

平面几何内容不断删减，不少地区的各级考试对平面几何的要求也一降再降，加上高中阶段对平面几何要求也不太高（竞赛除外），所以不少地区如果缺少竞赛的引领，一些高层次学生鲜有机会接触或挑战平面几何难题，这也是一种遗憾.笔者近来关注到北京海淀区八年级上学期一道期末试卷中的把关题，就是以平面几何难题作为压轴，并且设计了一些提示情境，使得问题的探究有了一些启示和方向.笔者选用该题作为复习阶段的一次数学活动课素材，并进行了一些开发.本文主要呈现这道几何难题及思路突破，并跟进教学思考，供分享.

一、一道几何难题的思路突破

几何难题：在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β= 120°，连接AD，求∠ADB的度数.

思路突破历程：这道平面几何题没有图形，也难以找不到一个突破方向，没有一个合理的出发点，所以我们想到先从特殊情形入手，试图通过“特例引路”获得启示.

特例引路：当α=90°、β=30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），容易得出∠D′BA=∠ABD=15°，于是∠D′BC=60°，进而可利用“一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”证得△D′BC是等边三角形.于是再利用△AD′B≌△AD′C可求出∠BD′A=∠BD′C=30°，即∠ADB=30°.

图1

图2

获得方向：由上面的“特例引路”我们可得大致突破方向，试图通过构造翻折、证出等边三角形实现问题的突破.考虑到图2中等边三角形的位置，我们需要对△ABC的不同形状进行分类讨论.

第一种情况：当60°＜α≤120°时，如图3，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′、AD′.

第二种情况：当0°＜α＜60°时，注意，如图4，此时点D的位置不同于图3，因为要满足“α+β=120°”.仍然利用基于对称，翻折△ABD，可作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′、AD′.

图3

图4

综上，当60°＜α≤120°时，∠ADB=30°；当0°＜α＜60°时，∠ADB=150°.

解后回顾：到此，我们成功解决了上面这道无图的平面几何难题，在没有图形的前提下，无从下手，然后基于“特例引路”获得求解方向，还需要分类讨论考虑不同形状的△ABC，并获得两种可能的度数.

二、平面几何解题教学的一些思考

1.重视根据题意构图能力的培养.

当前各级考试、教材中无图的几何题占比很低，偶尔出现一道无图几何题，很多学生会“中招”出错.这说明学生根据题意构图的能力还不容乐观，也启示我们要重视几何构图能力的培养.事实上，平面几何能力中一个重要方面就是读句画图（作图），并且由精准的几何语言作出对应的几何图形或所有可能的几何图形，这也就是上文中我们构思出不同的图形，进行分类讨论的原因所在.

2.几何难题破解时向学生传递“特例引路”的解题方法.

华罗庚先生曾说：“数学解题，要善于退，退到最初状态来思考问题.”这里“退”是“以退为进”策略，也就是退到特殊情形，思考问题的可能思路，或在特例情况下问题的答案有怎样的特性，这种特性对于探究未知、探究一般是否有启示作用，并让这种启示作为明灯，引导我们走上正确的解题方向.当然，“特例引路”策略，对于选择或填空这样的客观题型，更有着十分快捷的求解效率，灵活将问题特殊化，退到最方便运算、最有利于思考的特殊图形中，往往可快速看出答案.

三、写在后面

授人以鱼不如授人以渔.我们关于一道几何难题的思路探讨及教学思考也是超越某道具体习题的求解，走向一类方法或策略的教学，想来这也是所谓“教学深度”的一种追求吧.

1.张玉萍.把问题作为教学的出发点——由曹才翰先生的一篇评课文献说起［J］.中学数学（下），2016（12）.

2.陈蓓蓓.例说几何定理教学的层次——由傅种孙先生数学教育思想说起［J］.中学数学（下），2016（12）.

3.马公仕.靠近“最近发展区”，聚焦初中几何特点——以七年级“直线、射线、线段”教学为例［J］.中学数学（下），2015（3）.

4.傅种孙.平面几何教本［M］.北京：北京师范大学出版社，1982.