例谈高中数学中的变式教学——以一道高考题为例

例谈高中数学中的变式教学
——以一道高考题为例

☉浙江省宁波市北仑区柴桥中学 郑桂芬

新课程改革以来，变式教学或多或少、有意识或无意识地存在，变式教学为何如此受青睐，因为它可以使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，深刻领悟数学思想方法，变式教学的确是深刻理解和掌握知识的有效手段.笔者结合平时的教学实践，从一道高考题开始，谈谈变式教学在高中数学中的运用，不当之处，敬请指正.

一、题目及解答

1.题目

已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数.

（1）证明：f（x）是R上的偶函数；

（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）已知正数a满足：存在x0∈［1，+∞），使得f（x0）＜a（-+3x0）成立.试比较ea-1与ae-1的大小，并证明你的结论.

2.解答及变式设计

（1）这是2014年的高考试题.第一小题为基础题，难度最低，基础较差的考生不要放弃，相信自己能解答好本小题.利用偶函数的定义进行判断，只要证明f（x）满足f（-x）=f（x）即可.

本小题这样考查了偶函数的定义，属于容易题，命题者命制此小题是为了增强基础较差的考生考试的信心，体现命题者的人文关怀.此外本小题易错点是没有考虑函数定义域关于原点对称，定义域关于原点对称是讨论奇偶性的必要条件.

变式：已知函数f（x）=ex-e-x，其中e是自然对数的底数.证明：f（x）是R上的奇函数.

（2）此小题为基础中等的考生命制，难度增加，基础中等的考生通过努力思考，也能顺利解答本题.

要使mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，只需使m（ex+e-x-1）≤e-x-1在（0，+∞）上恒成立，分离参数得m≤只满足m≤g（x）恒成立，要使m≤g（x）恒成立，只需m≤gmin（x），这样将原问题转化求函数g（x）的最小值.

解法1：由于关于ex比较复杂，可令t=ex，由于x∈（0，+∞），则t＞1.所以2，所以g（x）时，即t=2，即x=ln2时，等号成立.所以m的取值范围是

本小题考查分离参数法、等价转化的思想，将恒成立问题转化求函数的最大值的问题.本题易错点是作代换t=ex后，没有考虑t的范围是t＞1.本考试思维受阻的地方是考生不会将，从而求不出最大值.因此为了避免出现错误，作代换后首先要考虑代换后字母的范围.

变式当x∈［-2，1］时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则求实数a的范围.（2014年高考辽宁理科卷）

解法2：考虑不等式两边同乘ex，则不等式转化为m［（ex）2+1］≤1+（m-1）ex在（0，+∞）上恒成立，令ex=t（t＞1），则问题可简化为：mt2+（1-m）t+m-1≤0在t∈（1，+∞）上恒成立.构造函数g（t）=mt2+（1-m）t+m-1，由图像易得当m≥0时不符合题意.

解法2就是将所求的问题转化为二次函数在特定区间恒小于零的问题.考查了数形结合的思想.考生能顺利地解答出第一、二小题，将会增强他们解第三小题的信心，他们就能乘胜追击，一鼓作气进行解决第三小题.

（3）破解第三小题，将其分解成两个子问题，然后各个击破，将压轴题转化常见的问题，使压轴题不再可怕.本小题是为优秀的考生命制，难度大，可将本小题分解为两个小问题：①即先求出参数a的范围，②根据参数a的范围比较ea-1与ae-1的大小.

先看问题①：命题者设置“已知正数a满足：存在x0∈［1，+∞），使得（fx）0＜a（-+3x0）成立”这个条件的目的就是希望考生根据该条件先求出该参数a的范围.该小题属存在性问题（即能成立问题），根据结论“∃x∈D使得（fx）＜g（x）”的条件是“在区间D内，（fx）的最小值小于g（x）的最大值”，这样将原问题转化为求函数（fx）0在x0∈［1，+∞）上的最小值fmi（nx）0与函数h（x0）=a（-+3x）0在x0∈［1，+∞）上的最大值hma（xx0）.这样就可以求出参数a的范围.

解法1：因为f′（x0）=ex0 -e-x0，由于x0∈［1，+∞），所以f（′x0）=ex0 -e-x0＞0，故（fx）0在［1，+∞）上单调递增，故（fx0）在x0∈［1，+∞）上的最小值fmi（nx0）=f（1）=e+e-1.又h′（x0）= a（-3+3），由于x0∈［1，+∞），且a是正数，所以h（′x）0＜0，故h（x0）在［1，+∞）上单调递减，故函数h（x0）在x0∈［1，+∞）上的最大值hma（x1）=2a.要存在x0∈［1，+∞），使得（fx）0＜a（-+3x）0成立，则必需e+e-1＜2a，即a＞

图1

考生不会将存在性问题等价转化求f（x）0在x0∈［1，+∞）上的最小值fmi（nx0）与函数h（x0）=a（-+3x）0在 x0∈［1，+∞）上的最大值hma（xx0）.设函数（fx）的值域是F，h（x）从的值域是H，根据题意作出相应的图形（如图1），图形上可以看出要满足“存在x0∈［1，+∞），使得（fx）0＜a（-+3x0）成立”的条件是fm（inx）0＜hma（xx）0.此外教师在上课时，应该及时总结有关存在性问题的类型及对应解题方法.

当然，此题也可以用分离参数法解决：

本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查了分类讨论、等价转化、构造函数模型的思想.同时也考查了综合运用数学思想和解决问题的能力.高考题总会露出一些“蛛丝马迹”.给考生以适当的提示，让考生找到解决问题的“突破口”，从而让优秀的考生顺利地解决好难题，提高试题的区分度，有利于高校选拔人才.本题就暗示了“e=2.71828…为自然对数的底数”，以便让优秀的考生找出解决问题的突破口，即对“两个指数式取对数”.

变式1已知i，m，n正整数，且1＜i≤m＜n.求证：（1+m）n＞（1+n）m.（2001年高考全国卷压轴题）

分析：（1+m）n＞（1+n）m⇔nln（1+m）＞mln（1+n）⇔

变式2π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数.求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数.（2014高考湖北卷压轴题）

分析：问题中出现比较形如ab和ba的指数式大小，将这两个指数式分别取自然对数.即比较blna与alnb大小，由于这两个对数式含两个变量，要比较它们大小比较困难，因此，将两个对数式同时除以ab，得到，因此，原问题转化为比较的大小，这样每个式子值只含一个变量，要比较它们的大小，我们可以研究函数（fx）=的单调性和最值.

变式3设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数.若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点的个数，并证明你的结论.（2013年高考江苏理科卷压轴题）

分析：根据g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，先求出a的范围，再令（fx）=lnx-ax=0，分离参数有a=.作出h（x）=的图像，将问题转化为y=a的图像与h（x）=的图像的交点问题.

二、几点思考

1.变式教学的由来

变式教学在中国由来已久，被广大教师自觉或不自觉地应用着，变式教学是促进有效数学学习的中国方式，很多老师虽不能直接表述变式是什么，但都能明确变式是什么.但为什么而变式呢？这是在进行变式设计时每位教师要思考的，也就是在变式之前，教师要明确变式的教学立意；变式的教学立意有很多，比如加深核心知识理解、提炼解题规律、强化技能训练、得到某个结论等.可以说教师有什么样的教学立意就有什么的变式行为，因此在进行变式设计时，教师要深刻思考基于什么而变式，明确每一次变式的教学立意，变式设计只有承载正确合适的教学立意，变式才最有价值，才能更有效地促进学生的数学学习.

2.变式教学的做法

明确了为什么而变式后，也就确立了变式的教学立意，教师该如何进行变式设计呢？如果变式是基于加强知识联系和展现问题实质，那么变式设计就可以在一个模型中展开，通过不断互换条件和结论，使学生内化知识联系，领悟问题实质；如果变式是基于深化方法应用和领悟数学思想，那么变式设计只需改变条件，引领学生用不同的方法求得结论；如果变式是基于加深核心知识理解，那么变式设计可以舍去或添加一些条件，引领学生领悟知识的外延与内涵；如果变式是基于提炼解题规律，那么变式设计需在同类问题中展开，在问题解决过程中提炼同一类问题的解题规律，使学生达到触类旁通；如果变式是基于强化某种数学技能，那么变式设计要削枝强干以某种技能为中心展开；如果变式是基于得到某个结论，那么变式设计可采用从特殊到一般、层层递进的方式进行.