例谈高中数学中的变式教学
——以一道高考题为例

2017-03-10 11:09
中学数学杂志 2017年3期
关键词:压轴小题变式

例谈高中数学中的变式教学
——以一道高考题为例

☉浙江省宁波市北仑区柴桥中学 郑桂芬

新课程改革以来,变式教学或多或少、有意识或无意识地存在,变式教学为何如此受青睐,因为它可以使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探究“变”的规律,可以帮助学生使所学的知识点融会贯通,深刻领悟数学思想方法,变式教学的确是深刻理解和掌握知识的有效手段.笔者结合平时的教学实践,从一道高考题开始,谈谈变式教学在高中数学中的运用,不当之处,敬请指正.

一、题目及解答

1.题目

已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.

(1)证明:f(x)是R上的偶函数;

(2)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;

(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(-+3x0)成立.试比较ea-1与ae-1的大小,并证明你的结论.

2.解答及变式设计

(1)这是2014年的高考试题.第一小题为基础题,难度最低,基础较差的考生不要放弃,相信自己能解答好本小题.利用偶函数的定义进行判断,只要证明f(x)满足f(-x)=f(x)即可.

本小题这样考查了偶函数的定义,属于容易题,命题者命制此小题是为了增强基础较差的考生考试的信心,体现命题者的人文关怀.此外本小题易错点是没有考虑函数定义域关于原点对称,定义域关于原点对称是讨论奇偶性的必要条件.

变式:已知函数f(x)=ex-e-x,其中e是自然对数的底数.证明:f(x)是R上的奇函数.

(2)此小题为基础中等的考生命制,难度增加,基础中等的考生通过努力思考,也能顺利解答本题.

要使mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,只需使m(ex+e-x-1)≤e-x-1在(0,+∞)上恒成立,分离参数得m≤只满足m≤g(x)恒成立,要使m≤g(x)恒成立,只需m≤gmin(x),这样将原问题转化求函数g(x)的最小值.

解法1:由于关于ex比较复杂,可令t=ex,由于x∈(0,+∞),则t>1.所以2,所以g(x)时,即t=2,即x=ln2时,等号成立.所以m的取值范围是

本小题考查分离参数法、等价转化的思想,将恒成立问题转化求函数的最大值的问题.本题易错点是作代换t=ex后,没有考虑t的范围是t>1.本考试思维受阻的地方是考生不会将,从而求不出最大值.因此为了避免出现错误,作代换后首先要考虑代换后字母的范围.

变式当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则求实数a的范围.(2014年高考辽宁理科卷)

解法2:考虑不等式两边同乘ex,则不等式转化为m[(ex)2+1]≤1+(m-1)ex在(0,+∞)上恒成立,令ex=t(t>1),则问题可简化为:mt2+(1-m)t+m-1≤0在t∈(1,+∞)上恒成立.构造函数g(t)=mt2+(1-m)t+m-1,由图像易得当m≥0时不符合题意.

解法2就是将所求的问题转化为二次函数在特定区间恒小于零的问题.考查了数形结合的思想.考生能顺利地解答出第一、二小题,将会增强他们解第三小题的信心,他们就能乘胜追击,一鼓作气进行解决第三小题.

(3)破解第三小题,将其分解成两个子问题,然后各个击破,将压轴题转化常见的问题,使压轴题不再可怕.本小题是为优秀的考生命制,难度大,可将本小题分解为两个小问题:①即先求出参数a的范围,②根据参数a的范围比较ea-1与ae-1的大小.

先看问题①:命题者设置“已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得(fx)0<a(-+3x0)成立”这个条件的目的就是希望考生根据该条件先求出该参数a的范围.该小题属存在性问题(即能成立问题),根据结论“∃x∈D使得(fx)<g(x)”的条件是“在区间D内,(fx)的最小值小于g(x)的最大值”,这样将原问题转化为求函数(fx)0在x0∈[1,+∞)上的最小值fmi(nx)0与函数h(x0)=a(-+3x)0在x0∈[1,+∞)上的最大值hma(xx0).这样就可以求出参数a的范围.

解法1:因为f′(x0)=ex0 -e-x0,由于x0∈[1,+∞),所以f(′x0)=ex0 -e-x0>0,故(fx)0在[1,+∞)上单调递增,故(fx0)在x0∈[1,+∞)上的最小值fmi(nx0)=f(1)=e+e-1.又h′(x0)= a(-3+3),由于x0∈[1,+∞),且a是正数,所以h(′x)0<0,故h(x0)在[1,+∞)上单调递减,故函数h(x0)在x0∈[1,+∞)上的最大值hma(x1)=2a.要存在x0∈[1,+∞),使得(fx)0<a(-+3x)0成立,则必需e+e-1<2a,即a>

图1

考生不会将存在性问题等价转化求f(x)0在x0∈[1,+∞)上的最小值fmi(nx0)与函数h(x0)=a(-+3x)0在 x0∈[1,+∞)上的最大值hma(xx0).设函数(fx)的值域是F,h(x)从的值域是H,根据题意作出相应的图形(如图1),图形上可以看出要满足“存在x0∈[1,+∞),使得(fx)0<a(-+3x0)成立”的条件是fm(inx)0<hma(xx)0.此外教师在上课时,应该及时总结有关存在性问题的类型及对应解题方法.

当然,此题也可以用分离参数法解决:

本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识,考查了分类讨论、等价转化、构造函数模型的思想.同时也考查了综合运用数学思想和解决问题的能力.高考题总会露出一些“蛛丝马迹”.给考生以适当的提示,让考生找到解决问题的“突破口”,从而让优秀的考生顺利地解决好难题,提高试题的区分度,有利于高校选拔人才.本题就暗示了“e=2.71828…为自然对数的底数”,以便让优秀的考生找出解决问题的突破口,即对“两个指数式取对数”.

变式1已知i,m,n正整数,且1<i≤m<n.求证:(1+m)n>(1+n)m.(2001年高考全国卷压轴题)

分析:(1+m)n>(1+n)m⇔nln(1+m)>mln(1+n)⇔

变式2π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数.求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.(2014高考湖北卷压轴题)

分析:问题中出现比较形如ab和ba的指数式大小,将这两个指数式分别取自然对数.即比较blna与alnb大小,由于这两个对数式含两个变量,要比较它们大小比较困难,因此,将两个对数式同时除以ab,得到,因此,原问题转化为比较的大小,这样每个式子值只含一个变量,要比较它们的大小,我们可以研究函数(fx)=的单调性和最值.

变式3设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点的个数,并证明你的结论.(2013年高考江苏理科卷压轴题)

分析:根据g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,先求出a的范围,再令(fx)=lnx-ax=0,分离参数有a=.作出h(x)=的图像,将问题转化为y=a的图像与h(x)=的图像的交点问题.

二、几点思考

1.变式教学的由来

变式教学在中国由来已久,被广大教师自觉或不自觉地应用着,变式教学是促进有效数学学习的中国方式,很多老师虽不能直接表述变式是什么,但都能明确变式是什么.但为什么而变式呢?这是在进行变式设计时每位教师要思考的,也就是在变式之前,教师要明确变式的教学立意;变式的教学立意有很多,比如加深核心知识理解、提炼解题规律、强化技能训练、得到某个结论等.可以说教师有什么样的教学立意就有什么的变式行为,因此在进行变式设计时,教师要深刻思考基于什么而变式,明确每一次变式的教学立意,变式设计只有承载正确合适的教学立意,变式才最有价值,才能更有效地促进学生的数学学习.

2.变式教学的做法

明确了为什么而变式后,也就确立了变式的教学立意,教师该如何进行变式设计呢?如果变式是基于加强知识联系和展现问题实质,那么变式设计就可以在一个模型中展开,通过不断互换条件和结论,使学生内化知识联系,领悟问题实质;如果变式是基于深化方法应用和领悟数学思想,那么变式设计只需改变条件,引领学生用不同的方法求得结论;如果变式是基于加深核心知识理解,那么变式设计可以舍去或添加一些条件,引领学生领悟知识的外延与内涵;如果变式是基于提炼解题规律,那么变式设计需在同类问题中展开,在问题解决过程中提炼同一类问题的解题规律,使学生达到触类旁通;如果变式是基于强化某种数学技能,那么变式设计要削枝强干以某种技能为中心展开;如果变式是基于得到某个结论,那么变式设计可采用从特殊到一般、层层递进的方式进行.

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