数学教学中的变式训练

福建省福州铜盘中学 马琼孝

一、概念的变式训练

数学概念的形成，尤其是对概念的内涵和外延的理解是学好数学的关键。概念形成过程中的训练主要是呈现概念的外延，以突出概念的内涵，使学生能深刻、准确地理解掌握概念。如在学习平方根的概念时，可以设计这样的变式训练。

例题：16的平方根是___________。

此题主要是理解、掌握平方根的概念。但本节课还介绍了“正的平方根”和“负的平方根”这两个概念，学生往往区分不开，所以进行如下变式：

变式1：16的正的平方根是________。16的负的平方根是________。

这节课的教学时，还介绍了符号的表达式，在应用时学生对符号式和文字表达理解不够深刻，又进行了变式。

变式2：的正的平方根是________。

大多数学生得到的答案为4，这正是学生没有理解好符号与文字表达的关系的具体体现。在学生出错的基础上讲解，此题要经过两次运算，先算等于4，再算4的正的平方根等于2，学生大大加深了对符号表达和概念的理解。

变式3：已知a的平方根是±05，则a=________。

再次进行变式训练3学生对平方根的概念掌握更加灵活，同时也培养了数学的逆向思维能力。

二、公式、法则、定理等的变式训练

数学中的公式、法则、定理是数学知识中的重要内容，它们是解决数学问题的重要理论基础。在教学中要善于利用变式训练引导学生掌握公式、法则、定理中的各要素之间的联系和本质规律，使学生能加深理解和灵活运用。如在学习圆的切线的判定定理时，我通过下列3个判断题强调了定理中的关键要素：过半径外端、垂直，让学生真正理解定理。

(1)经过半径外端的直线是圆的切线.(×)

(2)垂直于半径的直线是圆的切线. (×)

(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.(√)

又比如，对完全平方公式的新课讲授时进行如下的变式训练：

计算：(1)(x +2y )2=___________,

(2)(3 a-b )2=___________,

(3)(- x + 2y )2________,

(4)(- 3 a- b )2=________。

这些训练由浅入深，实实在在的增强了学生对完全平方公式的内化理解，提高了对公式熟练应用的程度。

三、题目形式的变式训练

（一）多题一解，培养学生触一通类的数学思维能力

如在确定二次函数的解析式教学时，我设置了这样一组变式题目：

例题：已知二次函数的图像经过 A(-3,0)、B(1,0)、C(0,-3)三点，求这个二次函数的解析式。从例题出发，进行了下列变式训练。

变式1：已知二次函数的图像经过一次函数y=-x-3的图像与x轴、y轴的交点A、C，并且经过点B(1,0)，求这个二次函数的解析式。

变式2：已知抛物线经过两点B(1,0)、C(0,-3)。且对称轴是直线x=-1，求这条抛物线的解析式。

对变式1，先让学生比较它与例题的已知条件有什么不同？再思考怎样转化为例题求解，然后讨论怎样求A、C两点的坐标。对变式2，引导学生抓住“对称轴是直线x=-1”利用对称性，求点A的坐标。这组题目最终都是通过设二次函数一般式，利用三点法建立方程组来求解。通过这组“多题一解”变式训练，抓住本质，触一通类，收到举一反三的效果。

（二）一题多变，培养学生思维的深刻性

如在平行四边行形的判定定理3的教学时，设置了这样一组变式题目：

例题：在平行四边形ABCD中，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是平行四边形吗？请说明理由。（引导学生分析，完成此例题）

变式1:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为点E、F三等分对角线BD，其它条件不变，问上述结论成立吗？为什么？

变式2:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为BE=DF，其它条件不变，结论成立吗？为什么？

变式3:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为E、F为直线BD上两点且BE=DF，结论成立吗？为什么？

变式4:在平行四边形ABCD中，H、G、E、F分别为线段BO、DO、AO、CO的中点，问四边形EGFH是平行四边形吗？为什么？

变式5:在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个点；G、H是对角线BD上的两点。已知AE=CF，DG=BH，上述结论仍旧成立吗？

例题主要是利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这个判定来证明四边形AECF是平行四边形。这组变式中E、F位置由线段上变为直线上，由特殊性规律变为一般性规律，培养了学生的由特殊到一般的归纳分析能力。由两点变为四点层层深入挖掘学生思维的深度、广度，让学生体会从特殊到一般的过程。

可见，这组变式题“变”的过程中在逐步加深，让学生深刻理解平行四边形的判定定理的应用，同时极大的挖掘题目的有用性，达到精讲精练，提高课堂的实效性。

四、解题方法的变式训练

解题方法的变式训练也就是“一题多解”，在教学中老师引导学生能从不同的角度，知识，思想方法来思考解决同一个问题，使学生从单一的思维模式中解放出来,培养学生创新，发散思维。

例题：求证：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。（至少用三种证法）

证法1：把两个腰连上去，得到一个等腰三角形（底角相等），上面的小三角形和大三角型相似可以证明梯形为等腰梯形。

证法2：在梯形内侧作高线，得到两个直角三角形，通过证2个三角形全等可以证明梯形腰相等。（角角边）

证法3：在梯形外侧作高线（连成个长方形），同样可以证2个外面的三角形全等得到梯形两腰相等。（角边角）

通过不同角度的证法，既熟练了等腰梯形的判定方法，又开阔了学生的思路，激活了思维。这样的例子在中学数学中到处都可以找到。希望老师们能挖掘教材，深入教材，充分利用教材，达到事半功倍的效果。

总之数学变式训练不是为了“变式”而变式，而是要根据教学或学习的需要，遵循认知规律而设计，其目的是通过变式训练，把知识转化为能力，形成技能技巧，完成“应用——理解——形成技能——培养能力”的认知过程。因此，教学中数学变式训练设计要巧，要有艺术性，要把握变式的度，要有目的性，要起到引导、激发学生思维活动的作用。