激发学生数学解题过程中的灵感

王芳+从建华

【關键词】解题灵感；结构类比；数形结合；追求美感

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）11-0061-02

【作者简介】1.王芳，江苏省宜兴市阳羡高级中学（江苏宜兴，214200）教师，一级教师；2.从建华，江苏省宜兴市阳羡高级中学（江苏宜兴，214200）教师，一级教师。

高中数学教师都很重视逻辑思维，认为在分析问题时要条分缕析，但有时也不免过分强调了严密性，走向了一种线性思维的极端。这样的教学方式，容易禁锢学生的思想，使数学在学生心中片面化，成为一串串枯燥无味的数字和符号，扼杀了学生的想象力和探索精神，制约了学生数学素养的提高。其实，数学并非只是枯燥的线性思维，它很多时候需要我们的思维有所变换。以高中数学的解题为例，数学问题的顺利解决，有时需要我们有意识地捕捉一些解题的灵感。正如美国心理学家布鲁纳所说的那样：“在我们向学生揭示演绎和证明这种更传统的和更正式的方法之前，使其对材料有直觉的理解可能是头等重要的。”

灵感是一种直觉联想思维，具有直接性、敏捷性、简缩性、跳跃性等特点，可以认为它是逻辑思维的凝聚或简缩。它最显著的特征是越过思考的中间推理阶段，直接理解和洞察问题的实质及规律性的联系，直达有关结论。所以在解题教学过程中，教师要善于帮助学生生发灵感、捕捉灵感。笔者结合自己的教学经验，归纳了以下三个解题灵感的来源，希望能对教师的解题教学有所助益。

1.从类比结构中寻找灵感。

当我们遇到一个数学问题需要解答时，一般是先分析题意，找出条件与结论之间的关系。但有时逻辑的方法未必能顺利地解决问题，这时，如果我们关注题目形式上的类比，就有可能出现“顿悟”现象，令我们豁然开朗。这正是著名数学家波利亚所说的：“直觉类比是一个伟大的引路人。”

分析：本题的难点是a与的结构大不相同，学生无从下手。但若从“形”上考虑，分子是一次式，分母是两次式，可以想到将两者的最高次幂做到统一。若要想构造成齐次式，则不难联想到把h≤a，h≤两式相乘，因此有h2≤。再在分式上下同除以分子，得到h2≤，此时就可以利用基本不等式解决问题。

2.在数形结合中寻找灵感。

数形结合是高中数学的一大重要思想，是解决问题的一条有效途径，也是高考填空题考察的一个重要方向，它能很好地体现学生思维的广度、深度。我国著名数学家华罗庚先生曾说，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，所以我们需要“数上觅形”。

例2：已知x，y>0且x-y≤0，求的取值范围。

分析：本题的常规方法是平方后变成齐次式，然后再进行消元变成一元二次分式问题，接下来可以结合不等式、利用导数来判断函数的单调性，进而求解。这种解题思路对学生的思维要求不高，但对学生的化简求解能力要求较强，学生稍有不慎就容易算错，进而“前功尽弃”。但倘若如果我们“数上觅形”，或许别有一番天地。

从这里可以看出，从“数”到“形”，再从“形”到“数”，数形的内在转化使我们得到了最优解，同时它也为我们的解题提供了灵感，使我们在数学直觉上有一种进步与发展。

3.在追求美感中寻找灵感。

数学美主要表现在数学本身的对称性、相似性以及和谐性等性质上。法国数学家阿玛达认为，数学直觉本质上就是某种“灵感”和“美”的意识。为此，我们从“美”的方向去探寻，有时也会有解题灵感的生发。

例3：已知经x，y∈R，4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值为 。

分析：本题很容易想到的是平方后转化为不等式问题进行求解，但做到后面发现这种常规的方法并不容易，也或者可以用判别式的方法进行求解。若我们从美学的角度来审视，可以这样思考：等式左边有平方关系，右边是常数1，所以直观联想到三角函数的平方关系cos2α+sin2α=1，故可以将原式转换为

通过上面的例题，我们感受到数学问题中的相似之美与对称之美，深刻体会到数学之美对解题的重要性，犹如拨云见日。如此求解，思路简洁、方法明确。学生容易掌握，从中能体会到数学的对称之美，解题中能感受到数学带来的乐趣，变“好学”为“乐学”。所以，我们在解题中要善于发现数学的美，从而利用数学之美更好的解题。如果我们在教育中充分挖掘数学的“美”，引导学生去发现、欣赏、感知、创造，就能大大地提高学生的学习兴趣，充分调动学生的非智力因素。

灵感与逻辑思维一样，是人类的一种基本的思维方式，它可以使很多数学题目、特别是上手较难的题目化难为简，拨云见日。所以，灵感在解题中有着不可低估的作用，我们在高中数学教学中要重视对它的引导。

【参考文献】

[1]G·波利亚.怎样解题[M].阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.

[2]周以宏.浅谈数学直觉的解题功能[J].数学通报，2004（02）.

[3]李苗.数学教学中加强学生非逻辑思维的训练[J].课程教育研究，2012（08）.

[4]陈忠怀.题根：高中数学[M].太原：山西教育出版社，2015.