分类讨论策略在高中数学解题教学中的运用

江苏省海门实验学校 成春霞

在高中的数学教学中，通过解题来锻炼学生的思维能力是非常重要的内容。分类讨论思想主要体现在数列、求解函数、立体几何、解析几何、不等式、概率等数学知识中。在高中数学解题过程中，一般都是解到一定程度，问题不断复杂，无法再用较为统一、标准的方法进行解题，这种情况就需要利用一定条件，然后列出若干个可能，根据标准进行解题，从而找到答案。这种解题方法就是由大化小、由一般化特殊的方式。

一、函数情景中分类讨论的使用

在高中数学中与函数相关的题目比较多，而且很多函数的表现形式存在不确定性，也是采取分类讨论方法进行解题的最佳项目，在解题过程中，要熟练掌握函数分类讨论的基础理论知识，根据函数的特征进行解题，根据函数题目设置的情景进行分析。

例1 已知b为实数，假设f（b）=b10-b5+b2-b+1，求b为何值，f（b）﹥0。

分析：首先，根据该问题设置的情景进行分析，这种题目属于多项求和的类型，所有参数的底数都是相同的，而指数函数本身有单调性特征，单调性和底数之间是存在关系的，学生可以在这个分析的基础上进行解题讨论：

情景1：如果b=1或b=0，这个时候解出的是固定值1，所以，b=1和b=0满足要求；

情景2：如果b＜0，这时指数的偶次幂是正数，奇次幂是负数，从而求出f（b）的值大于等于1，所以b＜0满足要求；

情景3：如果b＞1，则函数f（b）具有增函数的特征，这时求出的函数值都是大于1的，所以b＞1满足要求；

情景4：如果0＜b＜1，这时该函数具有减函数的特征，而b5＜b2，代入不等式中进行分析，求出的函数值是大于0的。

上述这四种情景分析的结果表明，b取任意实数，求出的f（b）的值都是大于零的。

解上述函数题目技巧：高中数学中的函数一般比较抽象，想要更好更加详细地分析出函数问题，首先要对高中数学分类讨论知识进行理解，同时对于多种函数类型进行总结和归纳，找出解答函数题型的规律，从而在这个基础上总结出解题的方法，这也是使用分类讨论进行解题的重要对策。

二、概念情景中分类讨论的使用

在高中数学解题中，也有很多题型是以数学概念为主的，设置相关的数学问题情景，像这类数学问题，一般也需要进行分类讨论来解决。这里选择一个有关绝对值概念的题目：

分析：在这类题型中，学生首先要对绝对值的相关概念有所了解，之后对问题给出的三个值进行分析，最后计算出所有的结果。

情况1：如果a，b，c三个数字均是负数，将其代入公式，根据绝对值的特点进行求解，得出的值是-3；

情况2：如果a，b，c三个数均是正数，然后进行公式分析，得出的结果是3；

情况3：如果a，b，c三数中有一个是负数，其他两个是正数，这时得出的结果是1；

情况4：如果这三个数中有两个是负数，剩余一个是正数，此时解出的值是-1。

解题技巧分析：根据上述的分析可以得出该式的结果，可以看出这种题目考查的就是学生对绝对值概念的掌握，另外也说明学生也要对分类讨论的相关问题进行了解。

三、概率统计中分类讨论的使用

概率统计问题是属于计数型的题目，一般也是采取分类讨论的方式进行概率情景分析。

例3 目前某校招聘了5位实习的英语老师，校长想要高一年级的三个班中均至少有一位实习教师，想要满足校长的需求，请问有几种选择？

分析：学生在解答这类题目时，要有清晰的思路，同时熟练应用分类讨论的方法进行解题。

情况1：将5个实习教师分成3组进行讨论，其中有一个组有3人，另两组分别有1人，根据这种方式分成的组有10种，之后对三组进行合理划分，采取的方式，得出结果有60种分配方式。

情况2：将2位实习教师分成三组，有两组是2个人一组，剩余一组是1个人一组，根据概率统计知识进行分析得出有15种方法，在这个基础上对3组进行合理划分，即15得出结果有90种分配方式。

根据上述的分析可知，分配方案共有150种。

解题技巧：这类问题首先要详细分组，在分组的原则上再进行讨论，根据不同的情况进行详细分析，避免遗漏，同时也不要进行重复分析，这样才能找出所有相关的答案。

综上所述，使用分类讨论的方法对高中数学题进行分析，是解决一些逻辑比较复杂的问题的最佳方法，而且分类讨论思想可以很好地锻炼学生的逻辑思维能力，而且在解各种问题时也可以总结出不同题型的规律，从而提高学生数学解题的能力，增强学生对数学学习的兴趣。

[1]赵金荣.高中数学解题教学中的分类讨论策略应用[J].理科考试研究，2016，23（11）：36-36.

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