数学教学的“点赞”“点化”策略

☉淮北师范大学数学科学学院 张昆

☉江苏省扬州中学张乃达

数学教学的“点赞”“点化”策略

☉淮北师范大学数学科学学院 张昆

☉江苏省扬州中学张乃达

众所周知，课堂教学活动过程就是当教师完成了创设问题情境（其实是关于新授课的内容，教师设计了一个合适的初始问题，由此作为展开的课堂活动的起点）之后，通过师生、生生之间不断地分析问题，寻求解答；萌生新问题，分析新问题，再寻求解答；如此循环往复，直到问题的最终解决，即形成阶段性的数学知识结论为止［1］的一个完整的活动过程.这种循环往复的活动过程，内在地规定了一节数学课堂教学中的师生行为的内容与环节.如果我们舍弃课堂教学活动中这种非本质性因素，抽象地从生成课堂活动的内在心理动力方向上考察，一节数学课堂教学中的学与教的活动过程就是师生、生生之间的一种以“点赞”“点化”作为环节“节点”的接力推进过程.师生（生生）之间的合适的“点赞”“点化”的行为，可以对营造情感氛围，创生思维场域，诱发学习动机，激发学习热情都具有极其重要的作用，是成功的数学教学的首要保证，是实现数学教学目标的有效途径.

一、“点赞”“点化”的教学涵义及应用举例

“点赞”是指教师针对某个数学教学内容，在启发学生经过思考与理解活动时，积极鼓励学生有所认识、有所发现、有所创新，从而感受到问题所在、提出问题、分析问题与解决问题，并且促使学生选择出相应的语言加以表达，或者激励学生对某些要义加以解释.如此，达到的结果是：其一，学生的表达、解释与教师的理解、想法不谋而合，从而使教师感同身受；其二，学生道出了教师在备课时还没有理解的深度解读，通过学生的解释，教师从中受到启发，从而恍然大悟，加深了对这个知识点的理解.于是，教师从内心对学生的思考与表达发出由衰的佩服，令教师不得不为学生“点赞”.

“点化”是指当学生对某个所要学习掌握的数学教学内容，经由它们自己开动脑筋，通过认真的思考之后，却还是不能从中得到自我启发，也找不到方法或已知的知识形式将这种信息组织成像样的数学结构轮廓，不能得到理想的结果，即学生不能独立地顺利完成数学认知过程，此时，学生的思维处于“偾”“悱”之际，教师及时地对学生循循善诱的启发（当然，这种启发也可以由其他学生来完成），这种课堂上的启发活动，就是教师在数学教学中的“点化”行为，它促使学生完成对面临的学习内容的理解、认识与掌握.

在长期的教学实践中，研究者认识到，在课堂教学活动中，“点赞”与“点化”具有辩证的关系，它们不只是教师自己对学生的独自行为，也是学生对教师的行为.两者之间相辅相成，互相仿效、互相促进，长此以往，师生之间就会达成默契，变成了师生之间的自觉行为.这是因为，从某种程度上说，教师对学生学习活动的“点赞”，就萌生出教师对学生的佩服，实际上就是由于教师受到学生思想的“点化”.反之，教师对学生的“点化”，真正起到教学的作用、达到教学的效果时，学生必然会产生对教师的敬佩之情，学生毕竟至少会在内心中为教师的施教活动“点赞”（只是在课堂上，学生可能没有表达出来的机会罢了）.循此类推，我们不难知道，在很多情况下，学生与学生之间也可以产生“点赞”与“点化”行为.

因此，有效课堂教学活动的重要标志之一就是教师（或学生）与学生之间的“点赞”与“点化”的合适行为.这种“点赞”与“点化”环节的实现，更是通过课堂上师生活动实现情感教学目标的基础.因为，学生与老师之间不只是授业解惑，师生之间的互动生乎于意、达乎于意：学生从老师的一动眉眼、一举手足，都能感受到学问的实在、生动与真诚；由此可以改变课堂中师生之间直白的教学互动，直白的教学，首先割断了师生的气息相通、禀性相投、情感相依、心灵相应，整个教与学变成了只是资料的提供接受而已［2］.合适的“点赞”与“点化”的“节点”充满了师生之间的理解、关切之情.为此，不失一般性，我们举一个高中数学解题的例子加以说明（其中的省略号表示学生现场思维的中断）．

例题：已知a＞0，a≠1，0＜x＜1，比较|loga（1-x）|与|loga（1+x）|的大小．

师：大家有什么想法？

生1：通过讨论底数a，去绝对值符号，将绝对值大小比较转化为普通数大小比较．

生2：由于两个对数的底相同，可以对两数求商后与1的大小比较，直接去掉参数a．

生3：两者作差，形成一个新函数的形式，运用导数知识解决问题．

生4：运用比较这两个数的平方的大小进行试探．

生5：“异号两数相加，和取绝对值较大的加数符号”，运用这个加法法则解决问题．

师：从经验上看，前四位同学提出的活动行为，应该可以达到目的，同学们在课下试一试；这些方法有一个共同特点，都是将这两个数转化为其他形式．

师：生5同学想采用直接手段解决问题、独出心裁，老师没有想到（研究者对生5“点赞”）．如果生5同学的想法可以实现目的，那我们将收获巨大，大家怎么看？

生6：这里出现“绝对值较大”的结论，似乎有点关系，但是它可以解决这道题吗？我有点怀疑．

师：为什么不试一试？

生7：因为loga（1+x）+loga（1+x）=loga（1-x2），①

生：……（此时，学生需要研究者的“点化”）

师：那么，要比较|loga（1-x）|与|loga（1+x）|两数大小，等式①起作用吗？（研究者具体“点化”学生）

生8：由0＜x＜1知，0＜1-x＜1，0＜x2＜1，0＜1-x2＜1，故不论底数a在限定范围内取何值，都有loga（1-x）与loga（1-x）异号，loga（1-x）与loga（1-x2）同号的结论，由“异号两数加法法则”知，|loga（1-x）|较大．

师：好！（研究者对生8的“点赞”）有同学还不理解吗？

生9：老师，我还是没有理解这是什么意思．

生10：我来给你举个例子：-3+（+2）=-1，由于“和”（-1）的符号与加数（-3）的符号相同，所以，|-3|＞|+2|．①式中的“和”的loga（1-x2）的符号与第一个加数loga（1-x）的符号相同，就说明了loga（1-x）绝对值较大．（生10对生9的“点化”）

生：我理解了，谢谢生10．（生9对生10的“点赞”）

师：这道题经由生5的独到想法，生8的具体演算说明，生10的具体说明的协作过程，达到了全体同学都理解生5的方法的目的．给我们的启示是对问题具有独到的想法时，要细心地加以检验，不要轻易放过，这些独到的想法中可能隐藏着黄金般的价值［3］！（研究者在此对有贡献的学生“点赞”“点化”，总结解题活动）

从这个例子可以明显地看到，概括地说，有效数学课堂教学活动中的师生行为的主要“节点”，就在于“点赞”“点化”环节的交替过程策略的应用．虽然我们在这里所举的例子是一道数学习题课的教学，但是它具有一般性．因为，数学概念教学、原理教学都可以这样设计．从这个例子的教学活动过程中，我们发现，师生、生生课堂行为的本质因素就是形成了一系列的“点赞”“点化”作为“节点”的活动链条，学生就是在这一思维活动链条中，获得了数学知识，生成了数学观念，开拓了数学方法，形成了情感的皈依，激活了创新的本能，并且使得师生、生生之间心心相印，息息相通．由这个例子，我们可以总结出萌生合适的“点赞”“点化”行为对教师的要求．

二、数学课堂教学“点赞”“点化”的策略

我们知道，作为学生经验中（学生已经通过学习掌握了，相对于登记在案的书本上）的数学知识，具有非常强的结构性特点，它是由学生已经掌握的数学概念、数学命题及其某种心理联结的中介（包括处理问题的经验、观念、惯用的数学方法与兴趣、倾向、动机等）所组成紧密的或松散的体系［4］，其中的概念与命题构成了结构化数学知识的各个“节点”，就是说，作为经验的数学知识就是由这些“节点”与心理中介构成的，弗赖登塔尔称之为“数学现实”［5］．当拥有这些“数学现实”的学生面临作为学习内容的新的数学化信息时，他们就会辨别新信息中的相关元素及其所生成的脉络轮廓与经验中相应的数学概念、命题（通过选择）的明显的联系和可能的联系［6］．

首先，明显的联系说明新数学信息中的相关部分已经作为新“节点”纳入学生的数学经验中了，该学生扩大了数学知识结构，形成了新数学知识，这就构成了教师“点赞”的内容与时机．其次，可能的联系就是学生不能独立地将新数学化信息作为某种“节点”纳入自己的数学知识结构，他必须要得到帮助，获得运用经验中的数学知识结构作用于新数学化信息，建立经验中的数学概念或数学命题与外在的新数学化信息的联系，生成新中介的启示，这就需要学生之间的（上乘之选）、必须时教师自己还要直接对那个学生加以“点化”．要注意的是，“点赞”“点化”是个性化的，具有相对性，对一部分学生来说是“点赞”的内容，可能对另一部分学生却是需要“点化”的内容；反之亦然．

虽然错综复杂的数学课堂教学活动的师生行为被抽象出“点赞”“点化”的“节点”所组成的链条，因此，一节课的成败或效果的好坏、效率的高低就主要地取决于合适的师生“点赞”“点化”行为的有效性程度了.但是，在运用“点赞”“点化”进行教学活动时，必须注意两点：第一，“点赞”“点化”可以激发学生热爱数学、亲近教师，为实现（特别是情感、动机、意志、态度等的心理倾向性的）数学教学目标提供了有利的条件，然而，“点赞”“点化”本身不是课堂教学活动的目的，而是达到教学目标的手段；第二，“点赞”“点化”必须运用得当，否则就会有损于数学教学目标的实现.因此，我们必须要研究在课堂教学中，数学教师的“点赞”“点化”的策略.

（一）数学课堂教学中的“点赞”策略

在数学课堂教学的师生行为中，教师是对学生“点赞”的主导者，承担着主要责任，因此，教师要特别注意“点赞”的标准与时机的把握.在高中数学课堂教学中，教师必须比较准确地理解这个年龄段的学生的心理特点，不能廉价地运用“点赞”，学生在课堂活动中，萌发的数学思想、表达的数学语言、形成的数学方法、表现的数学技能等，确实具有创造性；对数学认识活动的展开、数学知识的发生、问题解决的思维活动确实具有帮助；当某同学在课堂上针对某个具体教学内容的信息，提出某个合适的问题，或者针对某个具体的问题提出有价值的解决方案，或者针对某个方案提出了简化的策略等等，这些对教师自己与其他同学都产生了某种程度上的启示、启发，那么，教师就应该为此加以“点赞”.

就是说，其一，“点赞”是具体的，与值得“点赞”的价值相匹配.否则，从学生心理角度而论，就有可能造成学生认为教师是对自己的讽刺；其二，就是教师的“点赞”要一视同仁，切不可将学生分为三六九等，这样会造成许多不良的教学后果.例如，在解决这个例题的时候，研究者只对生5同学加以“点赞”，而对其他同学只是作出了一般性的要求，这与生5同学萌生的思想价值相匹配的，其他同学也是心服口服的.

教师“点赞”时，要注意选择合适的表达.“点赞”最常用的方式是教师使用“话语”，如在例子当中的教师对生5、生8、生10的点赞都是采用了教师发自内心的言辞加以直接地表达；教师也可以通过“一个会心的微笑，一个欣慰的眼神，一个吃惊、夸张的表情”等“非话语”的途径来达到“点赞”的目的，而不是所有的“点赞”都直接使用语言.教师要善于将“话语”表达与“非话语”表达结合起来，合理选择“点赞”的形式与分量程度，力争针对学生提供的材料的价值程度相匹配，从而达到尽可能地客观与公正.对于高中生来说，教师要知道，“点赞”的过与不及，都容易使其效果适得其反.

（二）数学课堂教学中的“点化”策略

实现“点化”的目的是非常困难的，因为，合适的“点化”不只是依据于教师对教学内容的认识与把握，而是教师必须就某个数学教学内容，充分理解与估计学生思维活动的“节点”所达到的位置，即对于那个具体的学习内容的某个“节点”处，学生存有过不去的“坎”.这些太特殊了，不同的学生对这个“节点”所构成的“坎”大多数情况下可能是不同的，更有甚者，对于同一个学生在不同的时间上（比如，昨天与今天，甚至同一天的上午第一节课与上午第四节课）也可能是不同的.因此，数学教学中的“点化”正如中医中的诊断与用药，是辩证的，因时因地因人而改变，不可能固守某种教条或原则，从而实现毕其功于一役.这正是教学的艺术性表现，它是数学教学大师可以雕活朽木，而拙劣的教师可能毁掉英才的原因之所在［7］.

归根结底，“点化”就是“启发法”或“苏格拉底法”，“苏格拉底法”的特点是：“（一）他一有机会就引导人去思索自己的责任，不管这个机会是自然产生的，还是苏格拉底故意编造成的，他与各种公民们谈话，谈话总是从他们感兴趣的东西开始，或者是家务，或者是儿童的教育，或者是知识、真理……接着（二）苏格拉底就会引导他们离开这种特殊事例去思索普遍的原则，引导他们思索、确信并认识什么是正当的东西，什么是普遍的原则，什么是自在自为的真与美”［8］（55-56）.“苏格拉底法”的主要特点也可以表达为：其一，所有的有价值的观念都来自于学生（被谈话的对象）自身；其二，启发学生（被谈话的对象）通过自己的思辨性活动，摒弃错误的观念，生成正确的观念.

因此，“点化”的策略的实现，可以概括为一句话：一切依靠学生.它有两层含义：其一，教师尽可能地向学生提供信息，而不展示组织信息的方式方法，由此鼓励学生从组织信息成脉络轮廓的活动过程中体悟出具体的方法；其二，充分利用学生之间互相“点化”，由于多数情况下，同一个班级的年龄相仿、学习背景情况相同，他们相互之间的交流与合作更优于教师与学生之间的交流，因此，对于同一个问题从某个学生的理解传达到其他学生的理解，可能更具有启发性；其三，教师的“点化”，应该选择更远的背景，而不要进行具体的指导，让学生发生认识具有一个体悟的时间与过程，如形同摄影的长镜头，一步一步拉近，只有当需要，才给特写镜头.教师只有如此，“点化”才能获得理想的效果.

三、结束语

数学课堂教学活动中的师生行为看上去景象万千，错综复杂，但通过对数学课堂教学活动实践的分析、思考，抽象地考察，只是以“点赞”“点化”作为“节点”所形成的链条.这一发现，对教师离析数学教学设计的关键环节，在面对学生时，做好“点赞”“点化”及其用之所当（这是非常灵活，随着学生的不同、班级的不同，需要具体问题具体对待，随时都需要调整，才能产生针对性，提高课堂教学效率）的心理准备.据此，驾驭课堂上出现的纷繁现象，具有重要作用.对于经验不多的教师而言，如果他们就每一个教学知识点，都细心揣摩“点化”的关键点，那么对提高教学效率与教学设计水平也具有重要作用.

1.张昆.整合数学教学设计的取向——基于知识发生的逻辑取向与心理取向研究［J］.中国教育学刊，2011（6）.

2.张昆.潜心教学研究实现专业成长——例析提升数学教师教学水平的心路历程［J］.中学数学（上），2016（4）.

3.张乃达.思维·观念·文化——张乃达数学教育文选［M］.南京：凤凰出版社，2012.

4.张昆，张乃达.集中条件：数学解题的关键——教学设计的视角［J］.中学数学（上），2016（2）.

5.张奠宙，宋乃庆.数学教育概论［M］.北京：高等教育出版社，2009年1月第2版（2010年12月第4次印刷）：43-44.

6.张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径［J］.数学教育学报，2015，24（1）：33-37.

7.张昆.论数学教学设计的心理取向［M］.中学数学教学（合肥），2016（2）：5-10.

8.［德］黑格尔.哲学史讲演录（第二卷）［M］.贺麟，王太庆，译.北京：商务印书馆，1960年5月第1版（2014年7月北京第10印刷）：55-56.