一道解析几何题的变式拓展

浙江省金华市第六中学 (321000)

虞 懿

浙江省丽水中学 (323000)

曹 斌

一道解析几何题的变式拓展

浙江省金华市第六中学 (321000)

虞 懿

浙江省丽水中学 (323000)

曹 斌

每年高考都会留下一份十分宝贵的资源——数学高考试卷，其中许多试题内涵丰富、立意新颖、视角独特，彰显着数学永恒的魅力，也为我们的学习和探究提供了广阔的平台.2013年高考江西理科第20题就是难得的优质高考试题，文[1]对此题进行了探究和拓广，本文在此基础上进行变式拓展，得到了几个好的结果，与诸位分享.

图1

一道好的试题往往是命题者研究成果的结晶，在一个背景下，交换部分条件和结论，或给出某个问题一般结论的特例，便生成出一道新题，又能挑战你的思维.笔者结合对相关题目的研究，又做了如下探究：

2ma4k2x+a6k2-a2b2m2=0.其中

其中Δ=4m2a4k4-4(a2k2+b2)(a2m2k2-a2b2)=4a2b2(a2k2+b2-k2m2)>0.

=2k+[k(x0-m)-y0]

=2k+[k(x0-m)-y0]·

由PA、PM、PB的斜率成等差数列，则

2k+[k(x0-m)-y0]·

若k(x0-m)-y0≠0,有

=m(a2k2+b2-m2k2).

而a2k2+b2-m2k2=k2(a2-m2)+b2>0,所以x0=m,即点P在直线x=m上.

综上，点P必在直线AB或直线x=m上.

由于直线AB不过点P，则有km+t-y0≠0,

由于直线PA、PM、PB的斜率成等差数列，且

y0≠0,则

满足直线AB的方程y=k(x-m),从而A﹑B、M三点共线.

上述结论对双曲线、抛物线是否成立呢？留给有兴趣的读者去探究.

[1]张国良.圆锥曲线的一个完美性质—一道2013年江西高考试题的推广[J].中学数学，2014(6).