回到原点：一道压轴题的教学策略

韩新正（江苏省泰州市苏陈中学）

回到原点：一道压轴题的教学策略

韩新正（江苏省泰州市苏陈中学）

压轴题教学是数学教学中的难点.通过对压轴题教学过程的剖析，提出压轴题教学要始终坚持“回到原点”的策略，培养学生回到原点思考的习惯，回到原点就是回到曾经解决过的题目去联想，回到基本概念和基本思想去思考，回到题目条件再发现.

回到原点；教学策略；通法意识

中考压轴题形式新颖、设计精妙，初看很新、很难，解答出来后又觉得似曾相识，其实，压轴题均来源于教材，或是由以往试题改编而来，解答压轴题运用的是基础知识、基本方法和基本思想.对此，压轴题教学要始终坚持“回到原点”的策略，培养学生回到原点思考的习惯.下面笔者结合一道中考压轴题，运用“回到原点”的策略组织教学，仅供参考.

一、回到原点

如何解题？我们可以从数学家波利亚那里获得解题的策略.认真研读《怎样解题》我们不难发现，其解题过程始终贯彻着“转化思想”，其解题策略的精髓是“转化思想”的综合运用，转化的路径是“回到原点”.“回到原点”就是回到曾经解决过的题目去联想，回到基本概念和基本思想去思考，回到题目条件再发现.

策略1：回到曾经解决过的题目去联想

波利亚在《怎样解题》的第二步骤中反复指出：你以前见过它吗？或者你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗？这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过，你能利用它吗？面对新题目，波利亚首先想到是否见过相同或类似的题目，通过把未知题目转化为已知题目，以期从已经解决的问题中找到解决新问题的思路.所以，我们平时要善于总结和归纳，把类型、解法相同或相似的题目“组块”，当面对新题目时，能立即从记忆的“组块”中获取有效信息，迅速找到解题思路.

策略2：回到基本概念和基本思想去思考

当思路遇阻时，波利亚告诉我们“回到定义上去”.面对复杂的条件，无从下手的结论怎么办？我们不妨静下心来，从题目中的基本概念开始，理清概念各个要素之间的关系.例如，题目中出现“三角形面积”，我们就从“三角形面积等于底乘以高的一半”开始，分别寻找三角形的底和高，理清他们的关系，依此往下思考，可保思路不乱；也可以运用基本思想进行思考，如数形结合思想.运用基本思想解题，我们能从更大的视域去发现和分析问题，是通性、通法的具体运用，往往能迅速找到解题路径.

策略3：回到题目条件再发现

当题目中的数据、条件无法使用时，则再次回到题目条件、数据中去，看看是否有遗漏的信息.这一点很重要，一个条件可能有多元指向，如果遗失了对解题有决定作用的信息，即使获得再多的其他信息，解题也难以顺利进行.解决的办法就是“回到题目，重新审题”.

二、原题重现

题目如图1，二次函数的图象经过点与x轴交于A，B两点．

（1）求c的值.

（2）如图1，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式.

图1

（3）设点P，Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P，Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，举例验证你的猜想；如果不存在，说明理由.

三、教学流程

1．“回到基本思想”思考，利用数形结合探究第（1）小题

【教学意图】把“形”的问题转化为“数”的问题，“数形结合”是数学解题的基本思想方法.引导学生回到“基本思想”思考.

提问2：通过第（1）小题的解决，此题中的二次函数就是一个特殊的已知函数，对照图象，可求出这样的带有的数，你能想到什么？

解析：借助于坐标系的直角，可以构成含30°和60°角的直角三角形.

【教学意图】“提问1”是由“形”到“数”，“提问2”是由“数”到“形”，并顺势由联想到含30°和60°角的直角三角形，通过分析，解题的思路有了更明确的指向——含30°角的直角三角形及其基本图形的运用.运用基本思想解题，能在更大的视域发现问题和解决问题，是通性、通法的具体体现.

2．“回到基本概念”思考，运用转化思想探究第（2）小题

提问3：直线AC将四边形ABCD的面积二等分，你能想到什么？△ACD和△ACB有什么共同点？

解析：由面积二等分引导学生想到三角形的面积公式，于是想到作“三角形的高”这一辅助线，观察到△ACD和△ACB是两个同底等积的三角形，三角形的高应该作在公共边AC上，如图2所示.

图2

【教学意图】由三角形面积想到面积公式，引导学生回到“面积是什么？”这一“基本概念”进行思考；由“三角形的高”这一辅助线该如何作，引导学生观察三角形的特点，当观察到△ACD和△ACB是两个同底等积的三角形时，辅助线的作法就自然产生，这一过程思维流畅，解法自然，充分“回到基本概念”.

提问4：要求AC的解析式，若能从点A，G，H，F，C中找到两个点的坐标即可，其中点A的坐标在“提问2”中已经求出，你还能求出哪个点的坐标？逐一分析.

解析：显然点G，F，C的坐标难以求出，不妨观察点H，凭借几何直观可以感知△DHG≌△BHF，于是DH=HB，H是线段BD的中点，点D的坐标是已知的，点B的坐标可以求出，所以点H的坐标容易求出.

【教学意图】“提问4”的设计也是引导学生“回到基本概念”去思考，要求AC的解析式，就必须知道直线AC上两点的坐标，于是对直线上所有的点逐一分析，最终确定点H，这样思考可以确保思路不会偏离主线.

3．“回到题目条件再发现”，提取有效信息探究第（3）小题

提问5：从△AQP≌△ABP中，你能获得什么信息？

【教学意图】利用三角形全等的性质（对应边相等）解题，是学生最容易想到的思路，但按照所谓的正常思路却无法进行到底，这时倒逼学生“回到题目，重新审题”，看看是否有遗漏的信息，或者遗失了条件多元指向中的决定要素.这一点很重要，一个条件可能有多元指向，如果遗失了对解题有决定作用的信息，即使获得再多的其他信息，解题也难以顺利进行.解决的办法就是“回到题目，重新审题”.

提问6：既然利用△AQP≌△ABP无法解题，回到第（3）小题，重新审题，看看有什么信息被我们忽视了？（1）条件“如果存在，举例验证你的猜想”，是否告诉我们此题只要找到一个点Q使AQ=AB即可；（2）条件中的P，Q是抛物线上的动点，不妨先找抛物线上的几个特殊点试一试，如抛物线与x轴、y轴的交点；（3）在“提问2”中出现这样的带有的数，是否可以借助于坐标系的直角，构成含30°和60°角的直角三角形或者利用勾股定理呢？

解析：引导学生重新审题，“如果存在，举例验证你的猜想”这句话的核心词是“举例验证”，其意味着“如果存在，举一例说明符合要求即可”.这和“如果存在，求出……”是有很大的区别的，后者指求出符合要求的所有可能情况.显然本例“特殊位置”优先考虑.如图3，对照提问6的（2）（3），易求所以AE=AB.这是一个重要的突破口，作∠BAE的平分线AP交抛物线于点P，连接PE，PB，易证△AEP≌△ABP.

图3

【教学意图】当我们的思路受阻时怎么办？回到原点！在这里就是“回到题目，重新审题”.在重新审题中发现“举例验证”就是举个特例，于是自然想到“特例”是否对应“特殊位置”，所以关注图形中的特殊位置，想到点E就很自然了.

4．从新“原点”出发，拓展提高，积累解题经验

（1）对第（2）小题的变式.

变式1：设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD分为两个三角形，且S△ACD∶S△ACB=1∶2，试求：DH∶BH的值，并求此时直线AC的函数解析式.

变式2：设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD分为两个三角形，且S△ACD∶S△ACB=m∶n，试求：DH∶BH的值，并求此时直线AC的函数解析式.

（2）对第（3）小题的拓展.

对第（3）小题只需要求出一种情况就符合题意了，但学生中出现的一元四次方程，是否可以根据“数形结合”给出解答呢？

四、教学思考

1．贯穿压轴题教学的主线：回到原点

压轴题的呈现形式新颖，对学生的综合能力要求较高，但解题却是运用的基本概念和基本方法，所以在教学压轴题时，要引导学生“回到原点”，养成“从原点出发”思考问题的习惯，通过化归，把未知的问题转化为已经解决的问题来思考.本例的第（1）小题运用基本思想（数形结合和转化思想）解题，把图形的问题（抛物线经过点）转化为代数（解一元一次方程）的问题；第（2）小题运用“回到概念”解题，要解决二等分面积，就必须用到三角形面积公式，面积公式中必须有“高”，于是辅助线自然产生；第（3）小题在根据△AQP≌△ABP后得出AE=AB，通过设点的坐标，列出一元四次方程而无法解答的情况下，迫使我们“回到条件，重新审题”，审题后发现，“举例验证”，其意味着“如果存在，举一例说明符合要求即可”，于是放弃原来的思路，找到特殊位置即可.

2．突破压轴题教学的难点：通法意识

进行压轴题教学，宏观策略上应该有“通法”意识.压轴题通常会设计三个问题，三个问题就是三个台阶，每个问题不仅难度梯次增加，而且思维要求不断递进，相互关联，第（1）小题、第（2）小题是为第（3）小题做铺垫的，其解法是相通的，把通法意识贯穿教学过程，对后面难点的突破就比较容易.本例中对第（1）小题的解答完成后，顺势提出两个问题，抛物线和坐标轴的交点坐标，坐标系中出现的数，借助于坐标系的直角，可以构成含30°和60°角的直角三角形，就是借助这一节点扩大知识和思维的范围，对第（1）小题的充分思考和挖掘为后来的第（3）小题的顺利解决（借助联想到含30°角的直角三角形，求出提供了先行组织者.所以对于压轴题中的小问题，不能就题论题，应充分扩大视域，让思维在节点上拉长和发散.为后续顺利解题提供更多有效信息.

3．优化压轴题教学的效果：适当拓展

常用的拓展方法有变式教学和深度思考两种.恰当、适量的变式练习不但能巩固知识和技能，还对培养学生思维的深刻性、灵活性具有十分重要的作用.本例的第（2）小题通过作三角形的高，利用全等三角形解决二等分面积的问题，接着通过对S△ACD∶S△ACB=1∶2和S△ACD∶S△ACB=m∶n的变式，进一步强化辅助线的作法，以及利用相似三角形解决问题的本质.第（3）小题的第一种思路列一元四次方程，初看无法解决，于是教师要引导学生“回到题目，重新审题”，但从提升学生思维能力的角度来研究，可以引导学生借助“数形结合”来思考，一般一元四次方程有四个解（也有少于四个解的），结合图形可以知道是其两个根，可以通过设参数的方法求出m的四个解.通过这样的深度思考，不仅使学生获得解题技能，更在解题中获得思维的提升.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］G·波利亚.怎样解题：数学思维的新方法［M］.涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.

［3］章建跃．中学数学课改的十个论题［J］．中学数学教学参考（中旬），2010（1/2）：2-5.

2016—09—14

韩新正（1968—），男，中学高级教师，江苏省泰州市苏陈中学校长，泰州市学科带头人，海陵区名教师，主要从事课堂教学、教法和试题研究.