对一道程序框图题的解法探究——程序框图题下的“蛛网模型”

段广猛（江苏省高邮市赞化学校）

对一道程序框图题的解法探究
——程序框图题下的“蛛网模型”

段广猛（江苏省高邮市赞化学校）

通过对一道程序框图题的探究，让学生体会数形结合的思想方法，结合蛛网模型，让学生体会数学解题的魅力所在，在学生的心灵深处埋下一颗经济学的种子.提升学生的解题技能、创新意识、应用能力、探索精神，为课堂上的解题教学提供一个新的方向.

程序框图题；蛛网模型；数形结合；死循环

程序框图题是近年来兴起并日益广受欢迎的一类试题，它的特点是灵活多变，考查知识点丰富多彩.随着互联网的普及，计算机及信息技术也是广为流传，而这类习题也为学生今后学习编程技术打下坚实的基础.或许正是由于这些原因，程序框图题也越来越受到出题者的喜爱，成为考查学生基础与能力的一个重要载体.下面即是笔者所在学校七年级第二学期数学第二次月度质量调研中有关程序框图的一道试题.

一、原题重现

题目如图1，是一个运算流程．

图1

（1）分别计算：当x＝140时，输出值为_______，当x＝30时，输出值为_______；

（2）若需要经过两次运算，才能计算出y，求x的取值范围；

（3）试给出一个x的值，使之无论运算多少次都不能输出（直接写出一个数即可）．

二、解法初探

此题中程序框图是一个循环结构，当上一次的运算结果小于365时，程序会进入下一次运算，并且上一次的运算结果会自动成为下一次的输入值，直至运算结果不小于365，才会输出.当然这个程序也有可能会进入“死循环”，即运算结果永远都会小于365，因而才有了第（3）小题.针对第（3）小题，学校七年级数学备课组的部分教师也展开过激烈的探讨.

师1：只要满足3x-1＜0即可！

通过后面的图象解法，这种方法显然是片面的．

师2：应该满足第一个式子保证第一次不输出，第二个式子保证第二次的运算结果不大于第一次的运算结果！

师3：其实只要满足即可！

……

师2与师3解得的答案是没有问题的，但在数学推理的严密性上还存在一定的疑问！笔者经过反思思考，认为这种方法应该还需要结合“递推公式”或者“数学归纳法”才能更加严谨.不妨记第n次的运算结果为则(n=1，2，利用数学归纳法容易得出与师2或师3相同的结果．但这种解法涉及高中数学知识，那么能否利用初中数学知识解决这个问题呢？有没有更形象、更具体的解题方法呢？笔者经过尝试，将一些感悟做如下分享.

三、图象解法

此题中程序框图的运算其实对应的就是代数式3x-1，或者理解为一次函数y=3x-1，笔者突发奇想，试着通过图象法来解决这个问题.

如图2，先作出y=3x-1以及y=x的图象，记它们的交点坐标为点P，则点P的横坐标为xP=0.5.不妨记第n次的输入值为xn(n=1，2，3，…)，相应的第n次运算结果为yn(n=1，2，3，…)，即yn=3xn-1(n=1，2，3，…)，运算直至yn≥365，程序停止运行，输出最终结果；或者yn＜365，程序进入“死循环”，始终输不出结果.由图象显知，当x1=xP=0.5时，总是有yn=yP=0.5(n=1，2，3，…)；当x1＞xP时，yn(n=1，2，3，…)会逐渐递增，直至yn≥365输出最终结果；当x1＜xP时，yn(n=1，2，3，…)会逐渐递减，导致yn恒小于365，程序进入“死循环”，始终输不出结果.综上所述，当x≤xP，即x≤0.5时，此程序无论运算多少次都不能输出.

图2

四、参数调节

图3

图4

笔者还探究了对应一次函数k=1时的两种情况，如图5所示.

图5

而对于k＜0的情形，依照此法，可以同理探究，譬如当k=-1时，结果如图6所示.

图6

五、蛛网理论

以上的探究过程其实就是经济学中所谓的“蛛网模型”.“蛛网模型”是1934年由英国经济学家卡尔多命名，是用弹性理论考察价格波动对下一周期生产的影响及由此产生的均衡变动的理论.按照这种理论绘制出来的供求曲线图，形状近似蛛网.这个理论之所以在20世纪30年代盛行，与上世纪30年代的大危机相关.大危机使经济产生了剧烈波动，通过自由竞争自行调节和维持均衡的理论，已不能解释现实问题.蛛网理论就是在这种背景下提出来用以解释价格的剧烈波动及其所产生的影响.蛛网模型可以分为三种不同的类型：收敛型蛛网、发散型蛛网以及循环型蛛网.上面探讨的几种结果其实就对应着这几种类型的蛛网模型.

六、函数探讨

初中阶段主要学习三大函数：一次函数、反比例函数以及二次函数.当此程序框图的运算对应的是反比例函数或者二次函数，又会有怎样的结果呢？笔者对此，做了进一步的探究，现将结果呈现如下：当程序运算对应的是反比例函数时，无论输入何值，结果都会与图6类似，进入一个“环形式”的死循环，即对应循环型蛛网，如图7所示.

图7

而当程序运算对应的是二次函数时，结果最为复杂，这里二次函数取y=x2-2.笔者首先针对可能出现的如图6及图7所示的循环型蛛网结果做了理论上的分析，如图8所示.

图8

设A(x，x2-2)，

则B(x2-2，x2-2)，C(x2-2，(x2-2)2-2)，

D((x2-2)2-2，(x2-2)2-2).

令(x2-2)2-2=x，

则x4-4x2-x+2=0,

即(x-2)(x3+2x2-1)=0，(x-2)(x+1)(x2+x-1)=0.

即当点A横坐标取以上四个值时，此程序会进入“死循环”.事实上，当点A横坐标取以上四个值的相反数时，程序也会进入“死循环”，这一点可以通过二次函数图象关于y轴的对称性看出.图9给出了几种“死循环”的结果(xA=2或-1的情况未作)，形象地说，当取xA这四个临界值或者其相反数时，该程序会“收敛”到某个点处或某个“环”上，从而进入死循环.

图9

事实上，只要当程序运行到这些点处或者“环”上，程序就会进入“死循环”.例如，图10给出了当xA=0时的结果.

图10

当xA＜-2或者xA＞2时，结果如图11所示，程序会“发散到正无穷远处”.事实上，还有一种情形，程序也会“发散到正无穷远处”，如图12所示，此时二次函数取y=x2-4.

图11

图12

当-2＜xA＜2且xA不等于以上几个临界值时，结果是最复杂的，图13给出了两种情形.

图13

七、反思与展望

图11中的结果最终能否“收敛”到某个点处或某个“环”上呢？这值得我们进一步地研究.此外，关于这里的动态结果能否经过理论分析来解释，也值得我们去探索.而这些反思与展望也正是数学的无穷魅力所在！这道程序框图题背景下的“蛛网模型”，既能激发学生今后学习编程的兴趣，又能为学生学习经济学埋下一颗希望的种子，实属难能可贵！而这也符合我们为人师的初衷：教书育人，播下种子，等待花开烂漫，硕果累累！

入职恰逢一年，本文的探究过程让笔者仿佛又回到了读研期间那孜孜不倦地努力探索之路上.而这种执着的探索精神应该也正是我们培养和传递给学生的一种最重要的品质.前辈们在前沿无悔地探索，后辈们在后方不停地接棒，相信我们的研究之路会走得很长很长！

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，1997.

［3］卞少云．关于数学问题评析有效性的思考［J］.中国数学数育（初中版），2015（9）：41-44.

2016—09—10

段广猛（1989—），男，新聘教师，理学硕士，主要从事数学教育与中学教学研究.