初中数学“课后思考题”的设计和思考

朱建明（江苏省南京市教学研究室）

初中数学“课后思考题”的设计和思考

朱建明（江苏省南京市教学研究室）

初中数学“课后思考题”作为一种特殊的课后作业，是常规作业的有益补充．设计“课后思考题”不必囿于教材，可以适度拓展教学内容，也可以开展实践、纠错、查阅资料等活动，还可以设置微型探究课题等.设计好“课后思考题”，对培养学生学习数学的积极性、主动性，提高学生的数学学习能力具有重要作用.

课后思考题；数学学习；活动经验

初中数学“课后思考题”是教师在课堂教学结束时布置的一种特殊作业，它既与教学内容结合，又具有一定的数学思维价值，在形式、内容等方面也有别于常规的课后书面作业，并且学生也有自主选择权．“课后思考题”对拓宽学生视野，培养学生积极主动、勇于探索的精神，提高学生的数学学习能力具有重要意义．

一、设计“课后思考题”的原则

1.多样性与趣味性相结合

“课后思考题”的教学目标不囿于教学内容的完成度，而常常从学生的探索精神、求知欲望、研究兴趣、课外实践等出发，内容组织多元、形式多样．因此设计“课后思考题”需要将多样性与趣味性结合起来，积极面向学生丰富的生活世界，使得设计的“课后思考题”富有趣味性，或内容新颖，或悬念叠生，以激发学生求知、求解的热情．

2.适切性与挑战性相结合

要从学生的年龄特征和认知水平出发，设计难度适宜、内容适当的“课后思考题”，同时，要兼顾适切性与挑战性，强调数学的思维价值，置学生于“跳一跳，够得着”的境地，培养学生不怕困难、勇攀高峰的勇气和毅力，使学生在解决问题的过程中实现知识和经验的同步增长．

3.差异性与独特性相结合

设计的“课后思考题”要关注学生的差异，关注学生之间不同的解题路径和方法，以及不同层次的独特结果，以体现个性化的学习方式，使差异性与独特性结合起来.同时要倡导合作探究，丰富学生的学习方式，提高学生的学习效能．

二、设计“课后思考题”的策略和方法

在初中数学新课程教学中，出现了许多精彩的“课后思考题”，下面以江苏省南京市正在使用的苏科版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）中的教学内容为例，谈谈初中数学课堂教学中设置“课后思考题”的策略和方法．

1.挖掘内涵，延伸拓展

教师在设计“课后思考题”时，可以从学生实际的知识水平、认知能力出发，以问题或探究课题的形式适度延伸，拓展数学教学内容，挖掘内涵，以帮助学生深化对所学知识的理解和掌握．

例1 你能用直尺和圆规作一个菱形吗？说说你的理由．

这是“9.4矩形、菱形、正方形（四）”（教材八年级下册）的课后思考题，延伸拓展了教学内容，实际上是将菱形拆解成了两个全等的等腰三角形，用圆规和直尺作出底边重合的两个全等的等腰三角形，这是菱形判定定理的拓展，学生探索这个全新的操作课题，提升了认知水平，可以有效激发学生的探究兴趣．

例2 如图1，在一条笔直的公路上有三个小镇A，B，C，甲车从点A出发匀速开往点C，乙车从点B出发匀速开往点A．现两车同时出发，当甲车到达点B时，乙车离点A还有40 km；当乙车到达点A时，甲车到达点C.已知BC=50 km，求A，B两镇的距离．

图1

这是“4.3用一元一次方程解决问题（四）”（教材七年级上册）的课后思考题，延伸拓展了解决问题的方法，因为在行程问题中，通常根据行程、速度、时间的某一个量来寻找相等关系，而此题则需要根据行程、速度、时间中两个量的关系来列出方程，这是解决这类问题的一种新方法．

2.适当迁移，应用提高

这类“课后思考题”主要涉及数学知识和方法的迁移和应用，包括用数学知识解决数学问题和实际问题，设置迁移应用类型的“课后思考题”不仅可以提高学生解决问题的能力和水平，还能培养学生的应用意识和创新意识．

例3 设直线l1是一次函数y＝2x－4的图象，将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l2，求l2表示的一次函数的关系式．

这是“6.3一次函数的图象及其性质（二）”（教材八年级上册）的课后思考题，实际上是将研究一次函数的方法进行了迁移，也就是将一次函数的图象旋转后再研究所得图象的一次函数关系式.这里涉及如何将一次函数图象旋转转化为两个特殊点的旋转，便可利用直线上两点求一次函数关系式，于是问题迎刃而解．

例4 某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分）之间的关系如折线图如图2所示.

图2

根据图象解答下列问题.

（1）洗衣机的进水时间是多少？清洗时洗衣机中的水量是多少？

（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升．

①求排水时y与x之间的关系式；

②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量．

此题是“6.4用一次函数解决问题（三）”（教材八年级上册）的课后思考题，取之于生活素材，以洗衣机在洗涤衣服时的进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程为载体，呈现了一个具有相当梯度和难度的问题．这个问题实际上可以不通过待定系数法来求解函数关系式，而直接利用变化率求解，即利用洗衣机的排水速度求出y＝40－19（x－15）．此题作为课后思考题是解决问题的方法迁移，能有效帮助学生深度认识变化率k．

3.操作实践，深化体验

在“课后思考题”设置一些数学实践活动，使学生在活动中加深对知识、方法的理解和感悟，以便深化认识，发展数学思维．

例5 分小组制作上学路线图：各小组可以分别进行实地测量，选用合适的比例尺，通过计算，画出上学路线图，要求标出上学路旁边的主要建筑物．

这是“6.1图上距离与实际距离”（教材九年级下册）的课后思考题，可以要求学生分小组制作上学路线图，进一步认识图上距离与实际距离之间的关系，体会数学与现实生活的紧密联系．在活动前，可以先分好小组，选择小组中学生上学路线较短的一条来制作上学路线图，通过实地测量、记录和计算，将实际距离转化为图上距离．

4.质疑纠错，积累经验

利用学生在解决问题过程中的常见错误设置“课后思考题”，能引起学生的质疑和反思，帮助学生查漏补缺，这些“常见错误”是数学教学中的重要资源．

例6 已知函数y1与y2分别由表1、表2给出，有学生认为满足y1＞y2的x的值是5．你认为正确吗？

表1

表2

本例是“6.1函数（二）”（教材八年级上册）的课后思考题，来自于学生学习函数这部分内容时最常见的错误，也就是忽视了函数中x与y的对应关系的考量．通过学生课后思考，可以使学生进一步理解和认识函数的概念

例7 下列运算正确吗？为什么？

本例是“12.3二次根式的加减（一）”（教材八年级下册）的课后思考题，也是学生学习二次根式运算时的常见错误，通过学生的质疑和纠错，可以使学生进一步理解二次根式运算的算理，逐步减少和杜绝这些错误的产生.

5.查阅资料，丰富认识

教师通过布置这类思考题，使学生利用课余时间查阅各种书刊，或网上查阅，自己寻找资料解决“课后思考题”，这有助于拓展学生视野，丰富学生的学习和探究问题的方式．

例8 无理数无理吗？无理数在现实生活中有用吗？

这是“2.2有理数与无理数”（教材七年级上册）的课后思考题，完成这道思考题，学生必须在各种书刊和网上查阅资料.在解决这道思考题的过程中，学生可以进一步了解数系扩充过程，体会现实世界的需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受数与现实世界的联系．

6.微型课题，感受过程

微型课题类“课后思考题”就是教师设计一些数学探究性问题，要求学生围绕这些数学问题，经过自主探索和合作交流，解决与数学或生活经验相联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展解决问题的能力，积累数学活动经验．

例9 探索特殊四边形有外接圆的条件.

（1）三角形都有外接圆，正方形、矩形、菱形、等腰梯形有外接圆吗？如果有，指出外接圆的圆心；如果没有，举出反例．

（2）这些有外接圆的四边形的对角有什么关系？

这是“2.4圆周角（二）”（教材九年级上册）的课后思考题，作为微型课题研究，目的是让学生加深对“不在同一直线上的三点确定一个圆”“圆的对称性”及“90°的圆周角所对的弦是直径”的认识和应用，也作为以后学习“圆的内接四边形”的内容的一个呼应和伏笔.当然，这里要防止把这一内容挖掘过深，此题只限于特殊四边形有外接圆的条件的探索．

例10 如果一个图形对于某一直线翻折后，得到的图形恰好与原来的图形重合（得到的映象恰好等同于原来的图形），那么该图形具有反射对称性．反射对称也叫直线对称，该直线叫做对称轴或对称线．

如果一个图形绕一个点旋转n°（这里的n°＜360°）后，得到的映象恰好等同于原来的图形，那么该图形具有n°的旋转对称性．180°的旋转对称性叫做点对称.

例如，正方形有四种反射对称性.

如图3，一个正方形在旋转0°，90°，180°，270°后，可以与它自己重合，所以一个正方形有四种旋转对称性．

图3

（1）等边三角形、等腰三角形、菱形具有多少种反射对称性和旋转对称性？

（2）画一个图形，使它具有旋转对称性，但不具有反射对称性.

（3）说出具有360°旋转对称性的多边形的名称．

（4）对于一个三角形来说，能否恰好有一条对称线？能否恰好有两条对称线？三条呢？用画图来阐明你的答案．

（5）对于一个四边形来说，能否恰好有一条对称线？能否恰好有两条对称线？三条呢？四条呢？用画图来阐明你的答案．

这是“9.1图形的旋转”（教材八年级下册）的课后思考题，设计“微型探究课题”作为课后思考题，就要呈现整个“具体而微”的研究过程，既要使学生经历一些特殊图形性质的渐次探究过程，又要体现研究问题的一般思维过程，如渗透特殊到一般、合情推理到逻辑推理的过程．此题可以呈现学生利用数学知识和其他相关知识分析问题和解决问题的过程．

总之，数学“课后思考题”设计方法和形式应该呈现多样化的格局，也需要在教学中进一步丰富内涵、拓展外延，使之真正成为教学的有效方式，真正为学生的发展服务．

［1］朱建明．数学教学中设置延伸拓展材料的思考［J］．中国数学教育（初中版），2008（12）：4-5．

［2］朱建明．高中数学微型探究课题的设计和思考［J］．教学与管理，2010（7）：65-66．

［3］迈克尔·塞拉．发现几何［M］.李翼忠，译.北京：人民教育出版社，2000．

［4］中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012．

［5］沈岳夫．以“本”为源巧建模 提炼规律妙解题：对一类函数视角下平行四边形顶点坐标求解的研究［J］．中国数学教育（初中版），2014（11）：43-47，64.

2016—09—21

朱建明（1966—），男，教授级中学高级教师，江苏省特级教师，主要从事数学教育与中学教学研究．