一道例题的“华丽转身”

陈佳佳

摘要：问题的解决是指问题的初始状态达到目标状态的思维过程，笔者从一道例题入手，逐步剖析直线斜率在解题中的应用，并在剖析过程引导学生思考，锻炼学生的数学思维能力，提升学生的思维品质.

关键词：问题；直线斜率；数形结合

笔者在高三的一堂数学习题课教学中，遇到这样一个习题：

例题 设函数 ，则 的取值范围为_____________.

本题主要考察一元一次分式函数性质，利用三角函数的有界性确定函数的值域。通常有两种方法：一是反表示法，将函数解析式整理为 ，由 可得 从而就可得 ；二是将函数解析式整理为 ，由及 在 上单调递增可得 .

美国数学家哈尔莫斯认为问题是数学的心脏，波利亚认为“掌握数学就意味着解题”，如果一堂习题课就是为了讲解习题而讲解，那么对高三复习课堂教学的有效教学无疑是背道而驰的，更不能提升学生的思维能力.为了高效地进行高三复习，合理的组织知识点和能力点，通过改造题目的题设，进一步的锻炼的思维能力，渗透学科思想.笔者套用现在比较流行的一句话“华丽的转身是一种行为，更是一种策略；是一种变化，更是一种境界；这也许是思想的成熟，也许是智慧的选择，也许是价值的体现”.因此在此题的基础上实现“华丽的转身”，引导学生这个主体的思维走的更深，走的更广.

一、提出问题

将例题作如下变式：

变式1设函数 ，则 的取值范围为_____________.

分析：将函数转化为 ，再变形为 ，利用 ，得到 解得 .

笔者通过分析，学生很快就参与到解题中来，也很自然接受了这种利用余弦函数的有界性求解.如果对于这类问题仅限这种解法，显然无论对数学思维能力的培养还是对数学思想方法的渗透都是是不利的，无法完成对学生思维的训练.因此，笔者在教学设计时采用对变式1再进一步变式，逐步实现“华丽的转身”，改变题设条件，即限制自变量的范围为 ，即

变式2设函数 ，则 的取值范围为_____________.

在变式2中，限制了自变量的范围，那么对于变式1中，由于 的值是由 来决定， 的范围就很难确定， 的范围也难以确定，所以变式2的求解带来阻碍.当思维受阻时，要对问题进行分析，寻找有利的解题，就必须理解问题.

二、理解问题

“理解问题是解题思维活动的开始.”“理解的一个重要指标就是看一个人能否用平常的语言把问题陈述出来，并通过对问题的陈述产生关于问题的内部表征.”对于变式2中的问题从式子的结构，可以发现这个分式结构为“ ”也可以改写为“ ”.如果（）中也为常数的话，就是“ ”，这样可以让学生联想到直线斜率 ，那么“ ”就表示为点 与 连线的斜率.在变式2中，点 坐标为 与点 坐标为 ，则 ，至于点 为一变化的动点，可设 ，则 .因为 ，则点 为曲线 上的动点.到这里函数 就可以理解为曲线C上的一动点M与定点 的连线斜率.求 的范围即求的范围.采用数形结合思想，如图1所示：

回顾变式1函数 的自变量 没有被限制时，动点M在圆 如图2所示，函数 ，又 所以 .

再回到例题1 函数 就可以理解为动点 到点 连线的斜率，设 则动点 在直线 ，如图3所示：

笔者在教学过程中，充分发挥学生在课堂教学的主体作用，教会学生自己发现规律，并利用自己发现的规律与方法解题，一方面能使学生享受到发现的喜悦，使他们的创造才能得以展现，这种体验能养成学生的思维习惯，有效地提高其思维能力.另一方面，学生对从未曾见或似曾相识的也必有通过发现再联想再证明的方式求解，这样对学生形成自己的思维能力，进行独立解题起着至关重要作用.

三、转换问题

虽然解决变式2问题，但是这个问题是否具有一般性呢？在“ ”结构中引导学生联系到直线的斜率，也发现了象圆、直线等曲线上的动点与定点连线的斜率，笔者再次提出这些曲线是否可以用其他的曲线代替呢？提出这样疑问将学生的思维进一步提升，使学生获取高一层次的思维品质的锻炼.将例题1再作变式：

变式3 求函数 的值域.

分析：因为 ，设 ，则 ，

从中可知 在曲线抛物线 上，函数 表示点 与定点 连线斜率，如图4所示，因为 ，其中PC为抛物线的切线.通过计算就可得 .

笔者通过对变式3的分析，使学生对形如： 函数经过适当分离常量后变形为 （或 ）再利用构造直线斜率的方法求解函数的值域问题.在这里让学生发现动点M的轨迹不仅仅是圆、直线等曲线也可以是常见的一些曲线例如：

（1） 对应椭圆方程 ；

（2） 对应双曲线方程

（3） 对应抛物线方程

四、解决问题与反思问题

从例题到变式1、2、3这一系列从提出问题——理解问题——转换问题，让学生的思维由浅入深，从表象走向本质，从感性走向理性，逐步提升思维能力.这一系列问题本质是利用直线斜率解决类似形如 问题.当然直线斜率问题还可以在比如不等式证明，比较大小进行应用.

笔者通过这一系列问题设计目的在于培养学生的数学思维能力，通过教学让学生有目的进行思考，对一些问题展开观察、想象、联想从而收获数学能力的提升。求直线的斜率是我们高中阶段比较基础和重要的一类问题，应该说对高三学生来说处理这类问题已经是驾轻就熟了。所以，把一些我们看似难解的问题转化成简单的求直线斜率问题，就处理得非常好。利用我们熟悉而又简单的知识来解决看似难解的问题，就是我们追求的数学思维方式。教师应帮助学生构建并完善知识网络，升华数学思想，使得他们能够学以致用，更好地将这种数学思想方法，解题策略推广应用到其他的数学问题上。

子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。”我认为学生的领悟与成长离不开课后的自主反思，学生的自主反思也是教学落实最有效的途径。让学生通过反思练习进一步应用知识，实践方法，感悟思想，提升能力，才能达到教学统一。

五、教学反思

数学方法与数学思维是学习数学的两个重要途径。高中数学新课改的主导思想是让学生在学习数学的过程中，去发现数学知识的发生、发展的过程，以学生的发展为主要目标，开发学生的数学思维能力。哲学家苏格拉底说：“教育不是灌输，而是点燃火焰”。有效的数学学习不能单纯的依赖方法的模仿和记忆，数学课堂教学中方法是目标，思维是核心，思维引领方法。数学教学承载着培养思维能力的特殊任务。作为课堂教学主导者的教师在组织课堂教学中我们更应注重的是学生思维能力的发展，更多关注的是如何把学生的思维活跃起来，让学生拥有更强的数学思维能力。

课堂教学是提高能力、拓展思维的关键环节。只有当学生参与进课堂教学活动中时，学生的思维才能得以激活。教师在全面展示知识的产生、发展过程中更应注重发挥学生的主体作用，调动学生参与教学，让学生在探索中理解知识、掌握方法，发展数学思维。在课堂教学中教师可创设一些轻松、愉快的教学环境和氛围，运用科学的教学方法，充分调动和激发学生的学习兴趣和学习热情，使学生的学习由“苦学”变为“乐学”，由“要我学”变成了“我要学”，使课堂学习真正成为他们乐于参与的活动，激活学生的思维。在组织课堂教学过程中教师应当成为参与者、促进者和调控者。当学生的思维受阻时，给予启发和引导；当学生回答有偏差时，给予点拨，变传授学生方法为与学生一起探究方法，开发学生的潜能，拓展学生的数学思维能力。

总之，数学是思维的体操，数学教学是数学思维活动的教学。课堂教学中要善于激活学生的思维，能激活思维的教学、才是有效的教学；能开发潜能的教学、才是长效的教学；能唤醒灵魂的教育、才是成功的教育。只有激活学生的思维，才能使课堂教学气氛更活跃，才能使学生的探究意识更强烈，学习更主动，从而使数学方法的掌握更透彻，课堂教学更效性。

参考文献：

[1]马忠林.《数学思维论》.广西教育出版社.

[2]徐沥泉.《教学﹒研究﹒发现——MM方式演绎》.科学出版社.

[3]许卫兵.简约.数学课堂教学的理性回归[J]《课程·教材·教法》，2009（5）.

[4]王荣.关于高三数学专题复习教学的几点思考[J]《中国数学教育》.2010.1/2.

[5]余锦银.浅谈有效复习的六大途径[J]《高中数学教与学》2010.