对双变量的恒成立与能成立问题的探讨

朱伙昌

函数与不等式这类问题中存在着大量的恒成立和能成立问题，这也一直是各类考试、考查的热点与重点，重在考查学生的逻辑思维能力及综合解题能力，对于含一个变量的恒成立及能成立问题，学生基本可以掌握，若是含两个变量，就会让学生不知所措，笔者将通过一道例题及其变式来探讨和归纳此类题型的解题方法.

例 已知函数f（x）=x2-x-1与g（x）=x3-x2-5x+m.

（1）x1∈[-2，2]，使得f（x1）≤g（x1） 成立，求实数的取值范围.

（2）x1，x2∈[-2，2]，使得f（x1）>g（x2）成立，求实数m的取值范围.

变式（1）对x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数m的取值范围.

变式（2）对x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，使得f（x1）>g（x2）恒成立，求实数m的取值范围.

变式（3）若x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数m的取值范围.

变式（4）若x1，x2∈[-2，2]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围.

解 （1）（分离参数法）由f（x）≤g（x），得m≥-x3+2x2+4x-1，即问题化为x∈[-2，2]，使m≥-x3+2x+4x-1成立，令h（x）=-x3+2x2+4x-1，x∈[-2，2]，则m≥h（x）min.求导易得h（x）min=h（-23）=-6727，所以m≥-6727.

（2）法1（转化化归法）：f（x）=x2-x-1，由于x∈[-2，2]，

则f（x）min=-54，f（x）max=5，g（x）=x3-x2-5x+m，由于x∈[-2，2]，

则g（x）min=g（53）=-17527+m，g（x）max=f（-1）=5+m，由题意得f（x）max>g（x）min所以m<31027.

法2（补集法）：所求可转化为对x1，x2∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2）恒成立. 只要满足f（x）max≤g（x）min，由法1可知，f（x）max=5，g（x）min=-17527+m，则5≤-17527+m，即m≥31027，最后由补集法得，若x1，x2∈[-2，2]，使f（x1）>g（x2）成立时，实数m的取值范围应为m<31027.

变式（1）分析 若x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，则f（x）值域的“顶”不超过g（x）值域的“顶”，即f（x）max≤g（x）max，由5≤5+m，则m的取值范围是m≥0.

变式（2）分析 若x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，使得f（x1）>g（x2）恒成立，则g（x）值域的“底”小于f（x）值域的“底”，即f（x）min>g（x）min，由-54>-17527+m，则m的取值范围是m<565108.

变式（3）分析：若x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，总有f（x1）=g（x2），对f（x）的值域，g（x）总有一段值域和其相等，则f（x）的值域为g（x）值域的子集.

f（x）=-54，5，g（x）=-17527+m，5+m，

则m+5≥5，-17527+m≤-54，则m的取值范围是0≤m≤565108 .

变式（4）分析 若x1，x2∈[-2，2]，使得f（x1）=g（x2）有解，即“你中有我，我中有你”.

即f（x）的值域与g（x）的值域的交集非空.

即5≥m-17527，-54≤m+5， 则m的取值范围是-254≤m≤31027.

归纳总结

（1）若x∈I，f（x）>0恒成立，则f（x）min>0；

若x∈I，f（x）<0恒成立，则f（x）max<0.

（2）若x0∈I，f（x0）>0成立，则f（x）max>0；

若x0∈I，f（x0）<0成立，则f（x）min<0

（3）设f（x）与g（x）的定义域的交集为D.

若x∈D，f（x）>g（x）恒成立，则有[f（x）-g（x）]min>0

（4）若对于x1∈I1，x2∈I2，f（x1）>g（x2）恒成立，则f（x）min>g（x）max.

若对于x1∈I1，x2∈I2，使得f（x1）>g（x2），则f（x）min>g（x）min.

若对于x1∈I1，x2∈I2，使得f（x1）g（x）max.

（5）已知函数f（x）在区间I1上的值域为A，g（x）在区间I2上的值域为B.

若x1∈I1，x2∈I2，使得f（x1）=g（x2）成立，则AB.

（6）若x1∈I1，x2∈I2，使得f（x1）=g（x2），f（x）在区间I1上的值域为A，g（x）在区区间I2上的值域为B，则A∩B≠.