高阶中立型泛函微分方程周期解的存在性

2017-01-12 01:12汪代明倪前月
关键词:变元阜阳高阶

汪代明,倪前月

(1.阜阳师范学院 数学与统计学院,安徽 阜阳 236037;2.阜阳市第二中学,安徽 阜阳 236000)

高阶中立型泛函微分方程周期解的存在性

汪代明1,倪前月2

(1.阜阳师范学院 数学与统计学院,安徽 阜阳 236037;2.阜阳市第二中学,安徽 阜阳 236000)

运用相关文献的引理与 Mawhin重合度拓展理论,对一类高阶中立型方程(x(t)-cx(t-r))(n)+h(x′(t))+f(x(t))x′(t)+g(t,x(t-τ(t)))=p(t)进行了研究,得到了该方程至少存在一个T周期解的一组新条件。

周期解;重合度;高阶中立型泛函微分方程

由于在经济学、生物学和人口动力系统等实际问题中广泛应用,微分方程周期解存在性一直是众多研究者所关注问题[1-9]。杜波,鲁世平在文献[8]中讨论了二阶方程

周期解存在性条件,本人也在文献[9]中讨论了高阶方程

周期解存在的充分条件。考虑到中立型方程比非中立型微分方程更具一般性,研究结果也更有实际意义,当然其周期解存在性研究难度自然会大大增加。本文研究高阶中立型微分方程

的周期解,使用Mawhin重合度理论,得到了方程(3)在n≥2的情况下周期解存在的一组新条件,文献[8-9]的主要定理得到了推广。本文假设c,r为常数且|c|≠1,τ(t),p(t)为T周期函数,h,f,τ,p:R→R与g:R×R→R是连续函数,g(t,x)是t的T周期函数。

1 主要引理

引理1(Mawhin重合度拓展定理[10])设X,Y是Banach空间,L:Dom(L)⊂X↦Y是指标为零Fredholm的算子,Ω⊂X为有界开集,N:X↦Y在上是L-紧的.若下列条件:

满足,则方程Lx=Nx在⋂Dom(L)上至少存在一个解。

引理2[11]如果|c|≠1,那么算子A存在唯一有界连续逆,且满足下列条件:

引理3[11]设x(t)∈Cm(R,R),m≥2,并且存在常数T>0,使得t∈R有x(t+T)=x(t),则存在与x(t)无关的Mi>0,使得

其中,当m为偶数时,

当m为奇数时,

其中,诸Bm-2s,B2m-4s,Bm-2s-1,B2m-4s-2是伯努数,可由如下递推公式求得

显然,Mi(m)<Tm-(i+1)。

2 主要结果

定理1若以下条件

成立,其中常数r1≥0,r2≥0,K1,K2,D为正常数,则方程(3)至少有1个T周期解存在。

证明考虑方程

设上述方程(5)的任一T周期解为x(t),由,并对该方程两边同在[0,T]积分,有

由中值定理知∃ξ∈[0,T],使得

下面先证存在t∗∈[0,T],使得

第一种情形:r1=0。若|x(η-τ(η))|>D,则由式(7)和定理1条件得显然矛盾,故

第二种情形:r1>0。若|x(ξ-τ(ξ))|>D,则同样由式(7)和定理1条件,得

所以

总之,根据(9)(10)式,不管r1=0还是r1>0,都有

又因ξ-τ(ξ)∈R,所以一定存在整数k和t∗∈[0,T],使得ξ-τ(ξ)=kT+t∗,从而由(11)式,得

可见(8)式成立,因此有

不妨令

对上述ε>0,由定理条件(IV)知,一定存在与λ和x无关的常数ρ≥D,使得当x<-ρ时,有

由(7)式得,

由引理3,知

令(23)式中k=n-2,并结合引理2的条件,知

由引理3,可知

又考虑(12)式,有

显然ω0,ω1,…,ωn-1都是与λ和x无关的常数。取M=max{ω0,ω1,…,ωn-1}.令

显然KerL=R。定义投影算子P和Q分别为:

则 KerL=ImP,KerQ=ImL。L是指标为零Fredholm 的算子,且N在上L-紧。∀x∈∂Ω⋂Dom(L)和∀λ∈(0,1)有Lx≠λNx。显然,引理1条件满足。又对 ∀x∈∂Ω⋂KerL,则当x=M+1(>D)或者x=-(M+1)(<-D),于是由定理1条件得

故F(x,u)是同伦映射,所以

显然,引理1三条件皆满足,所以本文所研究方程(3)至少有一个T周期解存在得证。

推论1用下列条件代替定理1中条件,则定理1的结论仍成立:

与定理1证明类似,也可得以下定理:

定理2若以下条件成立:

则方程(3)至少有1个T周期解存在,其中,常数r1≥0,r2≥0,K1,K2,D为正常数。

3 实例

考虑方程

其中

进而由引理3知

因此,定理1的推论的五个条件均满足。根据推论1,方程(24)式至少有1个T周期解存在。显然上述结论并不能由文献[8]或[9]得出,况且文献[9]和文献[8]分别为本文研究方程(3)的c=0及c=0,n=2的特殊情形,因此本文的讨论推广和改进了文献[8-9]的主要定理。

[1]Liu X Y.Existence of three positive solutions of neutral functionl difference[J].Chinese Quarterly Journal of Mathematics,2015,30(2):172-183.

[2]武跃祥,武 钢.二阶中立型泛函微分方程的周期解[J].数学的实践与认识,2014,44(24):311-315.

[3]罗芳琼,姚晓洁,秦发金.一类具多个偏差变元的二阶中立型泛函微分方程的周期解[J].数学的实践与认识,2012,42(20):167-175.

[4]罗芳琼,姚晓洁,秦发金.一类具有偏差变元的高阶中立型Rayleigh方程周期解的存在性[J].数学的实践与认识,2012,42(22):189-197.

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[7]汪小明,孙杨剑.一类具偏差变元的高阶泛函微分方程周期解[J].西北师范大学学报,2013,49(3):16-19.

[8]杜 波,鲁世平.一类具有偏差变元的二阶微分方程的周期解[J].数学研究,2007,40(1):16-21.

[9]汪代明.一类具有偏差变元的高阶泛函微分方程的周期解[J].阜阳师范学院学报(自然科学版),2015,32(4):25-28.

[10]Gains R E,Mawhin J L.Coincidence degree and nonlinear differential equations[M].Heidelberg:Springer-Verlag,1977.

[11]李晓静.具偏差变元的高阶中立型泛函微分方程的周期解存在性问题[J].纯粹数学与应用数学,2007,23(3):394-401.

Existence of periodic solutions for higher order functional differential equations

WANG Dai-ming1,NI Qian-yue2
(1.School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037,China;2.The Second Middle School of Fuyang,Fuyang Anhui236000,China)

By using the lemma of related documents and the Mawhin coincidence degree theory,a kind of higher order functional differential equations as follows (x(t)-cx(t-r))(n)+h(x′(t))+f(x(t))x′(t)+g(t,x(t-τ(t)))=p(t) is studied,some new conditions on the existence of periodic solutions were given.

periodic solution;coincidence degree;high order neutral functional differential equation

O175.12

:A

:1004-4329(2016)04-001-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2016)04-001-05

2016-08-19

安徽省高校自然科学研究项目(KJ2011Z290)资助。

汪代明(1979- ),女,硕士,副教授,研究方向:微分方程。

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