中加高校“常微分方程”课程教学的比较分析

周霞

（阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

中加高校“常微分方程”课程教学的比较分析

周霞

（阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

通过对阜阳师范学院、滑铁卢大学“常微分方程”课程在课程设置、教学内容、教学方法与手段、实验环节、考核方式等五个方面的比较分析，探索该课程教改的若干新思路，为“常微分方程”教学改革提供一定的借鉴和启示。通过比较发现，两校在教学理念、具体的课程教学方面各有所长。为此，需扬长弃短，不断优化课程设置和教学模式，确立系统的教学观念，整合教学内容，重视实验环节，改进管理和考核方式，提高学生学习兴趣、培养其学习知识和运用知识的能力，从而实现该课程培养应用型、创新型人才的目标。

常微分方程；课程教学；中加高校；比较分析

“常微分方程”是高等院校数学学科的核心课程，其课程理论体系严谨、抽象程度高，在本科阶段教学中起着承前启后的作用。同时，常微分方程实际应用广泛、实践性强，是数学理论联系现实世界的一个重要触角，现实世界中很多实际问题都可以描述成适当的常微分方程。因此，“常微分方程”的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且还越来越多地应用于社会科学的一些领域。

在信息化时代，学生的生活及学习方式在不停的改变，这就要求高校的人才培养机制、培养目标、教育模式、课程教学能够适应这种变化，跟上时代步伐。如何有效解决“常微分方程”课程教学内容多而课时有限的矛盾？如何使得常微分方程课程教学与时俱进地达到教学目标？教学实践中不少教师都进行了有效的探索，包括PBL（问题导向学习）教学模式[1]、三段式分层教学模式[2]、研究性教学模式[3]、启发式教学模式[4]、案例教学模式[5,6]等等，都具有一定的借鉴意义。基于教学改革与探索的实践，结合笔者在加拿大滑铁卢大学访学期间对“常微分方程”课程的学习和思考，我们会发现这两所高校本科阶段“常微分方程”课程设置及教学等方面存在着一些明显的异同。

1 比较与分析

1.1 课程设置比较分析

根据阜阳师范学院2013版普通本科学分制人才培养方案，全校只有数学与统计学院的数学与应用数学专业、信息与计算科学专业和统计学专业开设“常微分方程”课程，均为专业核心课程；学时分别为：68学时、48学时、45学时；每个学时45分钟；开设学期分别为：第四学期、第四学期，第三学期。滑铁卢大学数学学院有School of Computer Science（CS）,Department of Applied Mathematics（AMath）,Department of Combinatorics and Optimization（SO）,Department of Pure Mathematics（PMath）,Department of Statistics and Actuarial Science（SC）,Institude for Quantum Computing (IQC)五个学部，每个学部下面有不同的研究方向。每年分为三个学期：Fall Term（F）（秋季学期），Winter Term（W）（冬季学期），Spring Term（S）（春季学期）。全校开设“常微分方程”课程的专业有：AMath（应用数学专业），Business and Economics（经济及工商管理专业）、Earth and Engineering（地球专业和工程学专业）、Physics and Chemistry（物理和化学专业），均开设39学时，每学时50分钟（见表1）

表1 阜阳师范学院和滑铁卢大学“常微分方程”课程设置一览表

从课程设置上看，阜阳师范学院只有数学学院开设，而物理与电子工程学院、计算机与信息工程学院、商学院、经济学院、生物与食品工程学院、化学与材料工程学院等均未开设此课程。其实，微分方程在物理、化学、生物、经济和金融等领域的自然科学和社会科学也有很多应用，它是数学理论联系现实世界的一个重要纽带和工具。比如：牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律,能量守恒定律、化学元素的衰变规律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析都可以归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。基于“常微分方程”课程的性质及其应用价值，滑铁卢大学根据学科的性质及现有学科发展要求、针对不同专业均开设了该门课程。

1.2 教学内容比较分析

阜阳师范学院目前使用的教材为《常微分方程（第三版）》（王高雄、周之铭等编著），主要内容有七章。在课时有限的情况下，教师一般能够讲授完前五章所涵盖的内容。该教材注重逻辑性和系统性。滑铁卢大学的微分方程课程教学内容主要包括：一阶微分方程，二阶线性微分方程，Laplace变换，线性微分方程系统，级数解，非线性微分方程和稳定性，摄动法，向量微分方程和数值方法。内容注重应用性、开放性和时代性。（见表2）

表2 阜阳师范学院和滑铁卢大学“常微分方程”课程主要内容一览表

从课程内容上看，如果按照文献[3]中作者所述，将微分方程课程内容分为基础模块（方程的基本概念、解法、解的理论）、应用模块（方程的实际应用举例并用计算机实现）和拓展模块（常微分方程知识延拓以及对学科发展动态趋势的介绍）的话，阜阳师范学院常微分方程课程主要讲授了基础模块，而应用模块和拓展模块的内容讲授较少。比如，用三大数学软件Mathematica，Matlab，Maple来处理方程中的问题几乎不涉及；Laplace变换的应用这一内容也仅仅安排了1小节并作为选学内容；定性理论与稳定性理论、微分方程最新研究方向和成果介绍也几乎不涉及。而滑铁卢大学开设的常微分方程课程内容则涵盖了基础模块、应用模块和拓展模块。应用模块方面，安排了计算机和实际应用相结合的内容。给出现实生活中问题，比如，质点振动、第二宇宙速度计算、2003年的非典事件、各种传染病事件、股票价格预测等等，通过对实际问题进行分析，建立常微分方程模型，根据这些模型的解析解、近似解的性质，解释这些现象，预测未来的发展，进行优化或控制，从而科学地指导社会生活和生产实践。另外，从上表2中可以看到，滑铁卢大学对“Laplace变换的应用、级数解、质点振动”这三个内容很重视，至少用这门课程总课时的三分之一时间来学习。然而，这三个内容在国内的常微分方程教学中很少讲解，通常作为自学内容。拓展模块方面，滑铁卢大学讲授有定性与稳定性理论、种群竞争生物系统、微分方程在控制论和动力系统中最新研究问题等等内容，而这些内容又是现代科学技术发展过程中探索理论新问题所必须要掌握和使用的。

1.3 教学方法与手段比较分析

1.3.1 教学方法比较分析

阜阳师范学院的常微分方程课程是按照自然班开设，班级人数较多，学生的基础参差不齐。由于课程内容的逻辑性强，课堂教学基本上以“讲授式”和“填鸭式”教学方法为主，以“互动式”、“讨论式”和“探究式”方法为辅，并根据内容的差异灵活选择不同的教学方法。比如讲解“常微分方程基本概念、一阶（高阶）微分方程解的基本定理时多采用“讲授式”，而讲解“方程求解”则采用“讲授式、讨论式、探究式”相结合的教学方法。一般地，教师先讲解其中一种解法，然后再和学生共同探讨其他解法，一起探讨这种解法还能用于哪些类型的方程？由于人数多、学生基础不同、兴趣爱好不同、学习积极性不高等因素导致“互动式、讨论式、探究式”教学效果较差。

滑铁卢大学的微分方程课程，Amath 250一年三学期均开设，Amath 350、Amath 351、Math 218、Math 228一年开设两个学期，Amath 251在秋季学期开设。由于课程开设频次多，所以选课的学生数并不多。学生根据自己的实际情况选择合适的时间来上课（修学分），所以上课班级的人数也不固定。由于上课班级人数少，互动方便，选择了这一课程的学生数学基础都差不多，接受知识程度快慢相差不大，课程又是学生根据个人兴趣和前期基础选择的，所以学习兴趣高，这为“互动式”、“讨论式”和“探究式”教学提供了可行性条件；加上国外多数学生具备良好的文献查阅和课下阅读材料的习惯，所以综合采用多种教学方法效果较好。

1.3.2 教学方式比较分析

根据阜阳师范学院常微分方程课程所使用教材的内容和知识体系编排情况，采用递进式的演绎方法[7]较多。比如：在讲解“一阶微分方程的初等解法”时，通常遵循“变量分离方程→齐次微分方程→一阶线性微分方程→Bernoulli方程→恰当方程→隐式方程”这一顺序。先讲最特殊的变量分离方程的直接积分法，再讲可化为变量分离方程的齐次方程和一阶线性微分方程，接着是可化为一阶线性微分方程的Bernoulli方程，然后讲恰当方程和积分因子法。前者是后者的特例，后者是前者的推广。齐次方程令u=x-1y化成变量分离方程，一阶线性微分方程令y=c(x)e∫p(x)dx化成变量分离方程，Bernoulli方程令z=y1-n化成线性方程，恰当方程可用直接积分法，非恰当方程通过寻找积分因子转化成恰当方程。讲授这些内容一般需要8个课时。

滑铁卢大学的常微分课程基本上根据教师的Course Notes来讲授，教学方式采用总分式的递归方法[7]较多。仍以讲解“一阶微分方程的初等解法”为例，按照“实际问题引入Bernoulli方程→隐式方程→为了求解Bernoulli方程，乘以积分因子转化为方程恰当方程→变量分离方程；而变量分离方程、齐次方程、一阶线性微分方程乘以积分因子转化为恰当方程”这一顺序。先从一个特殊一阶线性微分方程Bernoulli方程出发，为了求出方程的解，研究出积分因子法，又探讨积分因子法可以用于哪些方程，比如变量分离方程、齐次方程、一阶线性微分方程。这一章整个内容看似只应用积分因子法讲了一个Bernoulli方程的求解，事实上变量分离方程、齐次方程、一阶线性微分方程、恰当方程、隐式方程的求解都随之讲解。一般用3个课时。

演绎式教学方式和递归式教学方式这两种不同的教学方式，针对同一方程产生不同的解法，最后殊途同归。

1.3.3 教学手段比较分析

阜阳师范学院“常微分方程”课程教学基本上使用“PPT+板书”，使用PPT可图文并茂地演示，需要推演数学过程的地方一般采用板书，在板书过程使得学生有时间去思考。但也会出现教师过于依赖多媒体完全使用PPT教学现象。

在滑铁卢大学的Amath 250，Amath 251，Amath 350、Amath 351、Math 218、Math 228“常微分方程”课程教学中，笔者所旁听的课堂上6位教师在讲授基础模块内容的时候均没有使用多媒体PPT辅助教学，只有在应用模块和拓展模块的讲解上使用多媒体辅助教学。应用模块使用多媒体教学的内容：用三大数学软件Mathematic、Maple、Matlab辅助求解常微分方程的数值解、绘制积分曲线及判断非线性方程稳定性问题；根据实际生活中的实例建立常微分方程模型，借助三大数学软件研究所建立的微分方程模型。拓展模块中，要求学生查阅文献，选择自己感兴趣的该门课程最新研究成果认真学习，在课堂上做presentation（陈述），为了节约时间，学生会使用PPT来演示presentation内容。

1.4 实验环节比较分析

由于该课程课时少而逻辑性和理论性都很强，在课程教学中很容易偏重理论教学而轻实际应用，再加上该课程的教学要求和教材对实验环节都没有做出明确规定，所以阜阳师院的“常微分方程”教学几乎没有设计实验内容。文献[8]作者在研究国内外工科院校高等数学教材区别时指出，国内教材的应用题选材无论是例题还是习题基本上只限于在物理、几何中的传统应用，很少反映出现代科学技术的发展，也很少涉及到其他领域。事实上，国内其他的“常微分方程”教材也有类似现象：给出的实际问题的题材少，涉及面范围窄，内容陈旧，跟不上热点问题，学生因而往往提不起学习兴趣，要么不愿意去做实验，即使做了也只是把建立起来的方程用所学的方法求解而已。文献[9]作者也指出，国内“常微分方程”课程教学重视理论教学，很少涉及实际应用问题。另一方面，国内班级学生数多，目前还做不到每人都带笔记本电脑到课堂跟着老师操作。缺少了实验环节的“常微分方程”课程，就剩下理论分析和逻辑推导，课堂枯燥乏味，学生不能主动学习，更体会不到微分方程来源于现实世界的实际问题，无法真正培养学生解决实际问题的能力和创新意识。

滑铁卢大学的“常微分方程”课程全部安排有实验环节。用Mathematic、Maple、Matlab软件求解线性方程组及绘制解曲线，判断非线性微分方程（组）的稳定性问题。在讲解完相应的理论内容后，会有相应的实验内容。另外，滑铁卢大学常微分方程课程教学主要依据Course Notes，每学期的Course Notes都会更新。上课选材内容广泛、多样、新颖，与学科发展前沿联系紧密。教师通常会选择近期发生在学生身边的生活题材作为问题，要求学生对该问题用常微分方程建模，利用所学的知识求解方程，如果有解析解，用数学软件画出解曲线，如果没有解析解，用数学软件求出近似数值解，再画出近似解曲线，然后来解释当初提出的现实问题，最后写出实验报告。如此，学生既解决了发生在自己周围的感兴趣的问题，又完成了实验报告。实验报告的成绩会纳入到课程的总成绩计算中，学生的积极性很高。

1.5 考核方式比较分析

阜阳师范学院的“常微分方程”课程考核通常分为考试或考查两种形式。无论哪种形式，最终的总成绩均主要由两个部分组成：期末成绩占70%左右，平时成绩占30%左右。期末成绩可开卷考试也可闭卷考试，平时成绩根据平时出勤、作业、上课表现而定。

滑铁卢大学的“常微分方程”课程考核则为综合考核，期末成绩和平时成绩所占比重由任课老师自己设定，一般情况是：期末成绩占50%-60%，平时成绩占50%-40%。平时成绩包括：作业、小测验、报告（或陈述）及期中考试等成绩。不包括对学生的考勤。

2 启发与思考

2.1 确立系统的教学观念

“常微分方程”课程的教学目标，要求学生系统掌握建立常微分方程模型的方法、过程和运算技能，理解常微分方程的基本概念和理论。通过常微分方程的教学，培养学生分析问题和解决问题能力，从而实现该课程培养应用型、创新型人才的目标。因此，在课程体系的设置、课程内容组织和实验项目安排的过程中，教师应确立系统的教学观念。不仅要重视该课程的理论知识，也要将理论知识与未来的研究工作或实际运用有机结合起来，使学生能够深入了解微分方程在未来工作中的实际应用，从而激发其学习兴趣、调动其学好该课程的热情。同时，要科学论证，结合经济社会发展对专业人才培养的需要，针对不同专业不同层次的学生开设常微分方程课程，使不同专业的学生可以选择适合本专业及自身需要的常微分方程课程来学习。

2.2 优化整合教学内容

为了实现常微分方程课程的教学目标，除了要重视基础模块内容的掌握，还有注重运用模块的培养和拓展模块的了解。吸取滑铁卢大学常微分方程课程教学的优点，结合国内的常微分方程课程教学现状，我们可以整合基础模块内容、补充运用模块内容。在教学中整合一阶方程的求解、高阶方程的求解、一阶方程组的求解；优化一阶（高阶）微分方程解的存在唯一性定理、解的延拓定理、解的连续性定理等内容；加强Laplace变换方法、级数解方法、摄动法三种方法求解常微分方程方面内容的讲解；补充Mathematic、Maple、Matlab三大软件求解微分方程或者描绘微分方程解曲线，判别解的定性与稳定性问题，以及讲解实际问题、建模实例的实际应用问题。

2.3 重视实验环节

虽然不能完全参照滑铁卢大学“常微分方程”课程的实验环节安排，但从课程教学效果角度来看，应该在课程教学安排中明确规定应有的实验内容，课后作业也应适当补充些难度适中、实际生活背景强的一些实际问题，尤其是当下发生在学生身边的热点问题。因为对这些现实问题的描述、认识和分析，可以建立用常微分方程描述的数学模型，对该微分方程进行求解或定性分析，将结果用于解释现象或预测及控制未来的发展。信息化时代，随着计算机技术的发展，计算机辅助分析已深入到“常微分方程”的教学与研究中。求解线性微分方程需要用到的矩阵特征值、特征向量、行列式、指数函数计算、检验微分方程组的平衡点、微分方程解曲线的绘制、Laplace变换方法应用都要用到Mathematic、Maple、Matlab软件辅助教学，而不同的软件所用的函数命令也不相同（详细函数命令请参见文献［10］）。所以，充分发挥计算机技术在“常微分方程”课程教学中的辅助作用，也应视为该课程的一个实验环节。

2.4 改进管理和考核方式

国内的课程教学，从准备上课材料、备课、上课、答疑、作业设置、批改作业、讲解作业、期中测试、期末测试、成绩的录入都是由任课教师负责。由于所有学生的作业内容一致、答案唯一，所以学生作业答案雷同现象严重，导致老师花了很多时间却在做“无用功”。相比之下，滑铁卢大学的常微分方程课程，其上课材料准备、备课、上课、成绩录入这些是由任课教师完成，作业设置和期中期末测试由任课教师主导，TA（助教）协助完成；作业批改和讲解及平时的Quize（小测验）有专门的一个TA负责，课程答疑有另一个专门的TA负责。而常微分方程课外学习作业则分为：assignment（作业）、quize（小测验）、report（报告）及presentation（陈述）。因其形式多样、答案不唯一，学生抄作业现象很少；而且，作业成绩占最后总成绩比重很大。考察滑铁卢大学采取的“多方式、取总评”考核评价方式及其实施结果，笔者认为课程考核分为平时出勤、作业完成、期中测试、小论文写作、实验报告、期末闭卷考试6个部分更合理。每个部分可以根据专业性质不同设置不同的相应比重，得到最后的总评。这样的考核，其效果是既让学生掌握了基本的理论知识，又注重培养学生解决实际问题的能力，因此值得借鉴。

3 小结

通过对阜阳师范学院和滑铁卢大学“常微分方程”的课程设置、教学内容、教学方法与手段、实验环节、考核方式等五个方面的对比分析，我们能够得到关于“常微分方程”课程教学和改革方面的若干借鉴和启示，在辩证分析两者特点和优点的基础上，取长补短，实现优势互补，不断优化课程教学目标。一方面，借鉴国外课程教学方面的经验做法，可使“常微分方程”的课程教学基于本科培养方案的前提下不断提升课程效果和质量，优化本科“常微分方程”课程的教学目标。另一方面，教师应该与时俱进，针对“常微分方程”课程的特点，用科学发展的思维构建系统的教学观念、革新和优化教学内容，丰富和创新教学方法、重视和增加实验环节，引导学生积极主动学习。如此，“常微分方程”课程方能适应信息化时代的教育教学理念和要求，彰显学科功能，培养出有创新意识和实践能力的专门应用人才。

[1]罗 丹，王光秀.中外大学PBL教学模式比较研究[J].桂林师范高等专科学校学报，2016，30（1）：110-112．

[2]岳宗敏．“常微分方程”课程的三段式分层教学模式探析[J].中国电力教育，2009，128（1）：47-48．

[3]冯艳青．“常微分方程”课程教学中研究性教学模式的探索[J].科技信息，2011，（9）：118,89．

[4]崔仁浩，刘 萍．“常微分方程”课程启发式教学初探[J].继续教育研究，2016，（3）：119-121．

[5]宋旭霞.常微分方程范例教学的研究[J].呼伦贝尔学院学报，2016，24（1）：100-103,45．

[6]汪 凯.问题驱动的常微分方程案例教学设计[J].宁夏师范学院学报，2015，36（3）：86-89,101．

[7]程亚焕，崔红雨.数学文化在常微分方程教学中的渗透[J].通化师范学院学报，2015，36（2）：78-80．

[8]陈文彦，马红铝.国内外工科院校高等数学教材比较研究[J].大学数学，2015，31（3）：42-45．

[9]王振国.本科院校《常微分方程》课程的教学改革与实践[J].教育理论与实践，2015，21（35）：56-57．

[10]容志新，李艳会.计算机数学软件在常微分方程中的应用[J].现代计算机(专业版)，2008，（4）：7-9．

Analysis of course teaching on“Ordinary Differential Equations”between Chinese and Canadian colleges and universities

ZHOU Xia
(School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037,China)

By comparing and analyzing the five aspects of“Ordinary Differential Equations”course teaching in curriculum provision,content of course,teaching methods and media,experimental sections,evaluation mode between Fuyang Normal University and University of Waterloo,exploring the new thinking,some experience and advice are provided for teaching reform of“Ordinary Differential Equation”.Thus,we should adopt its good points and avoid its shortcomings,optimizing course arrangement and teaching mode,establishing systemic teaching idea,integrating content of course,paying attention to experiment part, ameliorating management style and evaluation mode,improving student’s interest in learning,training the ability to learn and use knowledge,to realize the application-oriented and innovative-oriented training goal.

Ordinary Differential Equations;course teaching;Chinese and Canadian colleges and universities

G642

：A

：1004-4329（2016）04-118-06

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2016)04-118-06

2016-09-30

安徽省高校优秀青年人才支持计划项目（皖教秘人［2014］181号）；阜阳师范学院中青年骨干教师项目(校人职[2016]2号)；阜阳师范学院质量工程项目（2014JXTD01）资助。

周 霞（1981- ），女，博士，副教授，研究方向：随机微分方程稳定性。