一类四阶两点边值问题解的存在性

刘红玉，姚晓斌

（陇南师范高等专科学校 数信学院，甘肃 成县 742500)

一类四阶两点边值问题解的存在性

刘红玉，姚晓斌

（陇南师范高等专科学校 数信学院，甘肃 成县 742500)

本文研究了一类四阶隐式微分方程两点边值问题解的存在性，运用上下解方法和迭代技巧得到了存在性结果。

隐式常微分方程；上下解方法；迭代

隐式微分方程边值问题不仅在理论研究方面有着重要的作用，而且在突变论和奇异论方面有着深刻的应用背景，也是常微分方程研究中的一个热门话题[1-4]。对于带有各种边值条件的显式四阶微分方程，已有很多的解的存在唯一性结果，且在这些问题研究中有着很多的研究方法[5-9]。马如云等人[7]运用上下解方法和迭代技巧研究了四阶两点边值问题

可解性，并获得了相应的结果。但是，如考虑如下四阶隐式微分方程两点边值问题

那么该方程是否仍具有可解性？

1 预备知识

（H1）f:[0,1]×R×R→R是连续的；

（H2）存在M＞0，使得对任意的u1,v1,u2,v2∈R（u1≤u2,v1≤v2），有

定义1如果α，β∈C4[0，1]满足

则分别称α，β是(1)的下解和上解。

2 主要结果及证明

本文的主要结果如下：

定理2设（H1）和（H2）成立，满足

证明由于

可得

下面分五步来证明：

第一步，将边值问题（1）转化为积分方程。

问题（1）首先可改写为

设v(t)=u(IV)(t)。

注意到u(0)=u(1)=u″(0)=u″(1)=0，因此v是如下积分方程

的解，这表明

是问题(1)的解，其中

第二步，设x(t)=α(IV)(t),y(t)=β(IV)(t)，结合条件（H2），有

由于x0,y0∈C[0,1]，因此，于是存在x∗,y∗∈C[0,1]，使得和分别收敛于x∗,y∗。

此外，有

第四步，证明x∗,y∗是（2）的解。

因f连续且

故

，

3 举例

设f(t,u,v)=eu-(2v+e-v-2),容易验证（H1）成立。

进一步地，可证明对对任意的u1,v1,u2,v2∈R（u1≤u2,v1≤v2），有

因此（H2）成立。

考查如下问题

因此，应用定理2可知所考察的问题至少有一个解。

[1]Marano S A.On a boundary value problem for the differential equation[J].Mathematics Analysis Application，1994，82：309-319.

[2]Kelevedjiev P,Popivanov N.Existence of solutions of boundary value problems for the equation with fully nonlinear boundary conditions[J].Annuaire de l′Universite de sofia，2000，94：65-77.

[3]Grammatikopoulos M K,Kelevedjiev P,Popivanov N. On the solvability of a singular boundary value problem for the equation[C].Proceedings of the Fourth International Conference of Differential and Functional Differential Equations and Workshop,Moscow,Russia, 2005：14-21.

[4]Carl S,Heikkila S.On second order discontinuous implicit boundary value problems with discontinuous implicit boundary conditions[J].Nonlinear Analysis, 1998，33(3)：261-279.

[5]Ma R Y.Existence for an equation associated with the static equilibrium of an elastic beam supported by sliding clamps[J].Pure and Applied Mathematics，1995，11：1-4.

[6]Ma R Y.On the solvability of a fourth-order two-point boundary valve problem[J].Mathematical Applicable，1997，10：60-62.

[7]Ma R Y,Zhang J H,Fu S M.The method of lower and upper solutions for fourth-order two-point boundary value problems[J].Mathematical Analysis and Applications，1997，215：415-422.

[8]Maria do R G,Luis S,Stepan A T.On the solvability of a boundary value problem for a fourth-order ordinary differential equation[J].Applied Mathematics Letters，2005，18(4)：439-444.

[9]Bai C Z,Yang D D,Zhu H B.Existence of solutions for fourth order differential equation four-point boundary conditions[J].Applied Mathematics Letters，2007，20(11)：1131-1136.

Existence and uniqueness of solution to a fourth-order and two-point boundary value problem

LIU Hong-yu,YAO Xiao-bin
(Department of Mathematics and Information Science,Longnan Teachers College,Chengxian Gansu742500,China)

In this paper the author discussed the existence of solutions to two-point boundary value problem of fourth order implicit ordinary dierential equations,employed lower and upper solutions method and iterative technique to obtain existence result.

implicit ordinary differential equations;lower and upper solutions method;iterative

O175.8

：A

：1004-4329（2016）04-006-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2016)04-006-03

2016-07-08

刘红玉（1980- ），女，硕士，讲师,研究方向为数学分析和常微分方程边值问题。