Lebesgue积分的应用及其注记

崔方达，杨 婷，严 萍，姚云飞，吴士林

（1.阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037；2.宿松九成学校，安徽 安庆 246220）

Lebesgue积分的应用及其注记

崔方达1，杨 婷1，严 萍1，姚云飞1，吴士林2

（1.阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037；2.宿松九成学校，安徽 安庆 246220）

Riemann积分问题的处理往往都很困难，事实上，可以借助实变函数的Lebesgue积分的理论与方法对数学分析中有关问题的处理是非常有效的。因此本文将研究实变函数的思想方法在数学分析中若干应用，给出Lebesgue积分在Riemann积分中等系统问题的应用，从而获得一系列Riemann积分及其困难的问题简单处理及其证明。

实变函数；思想方法；数学分析；Riemann积分；Lebesgue积分

现行的有关实变函数的文献[1-8]关于Riemann积分定理与问题的处理往往都很困难。特别是有些较难的Riemann积分问题，从Riemann积分自身去看，很难理解，形如诗句“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。而现行的实变函数的文献，基本上只给出Lebesgue积分和Riemann积分一个关系的命题，并没有给出其在Riemann积分中系统的系列的应用。事实上，可以借助实变函数的Lebesgue积分的理论与方法对数学分析中有关问题的处理是有效的。因此，本文将研究实变函数的思想方法在数学分析中若干应用，给出Lebesgue积分在Riemann积分中等系统问题的应用，从而获得一系列Riemann积分及其困难的问题简洁的处理和新的证明。为了简单，本文仅考虑有限维欧氏空间。

1 预备知识

1.1 记号

RK：表示K维欧式空间；

R积分：Riemann积分；

L积分：Lebesgue积分；

C(E)：集合E(E⊂RK)的全体连续函数；

B(E)：定义在集合E上的有界函数全体；

L(E)：定义在可测集E上的Lebesgue可积的全体函数；

R[a,b]：在[a,b]的全体正常的R可积函数；

m(E)：Lebesgue可测集E的测度；

M(E)：定义在Lebesgue可测集E上的可测函数的全体；

M+(E)：定义在Lebesgue可测集E上的非负的可测函数的全体；

Card(E)：集合E之基数；

ℵ0：可列集E之基数；

Lip[a,b]：在[a,b]的满足李普希兹条件的函数的全体；

BV[a,b]：[a,b]的有界变差函数全体；

f=g a.e于E：在E的f(x)和g(x)几乎处处相等的两个函数。

1.2引理

引理1[1]设f∈B[a,b],则f∈R[a,b]⇔m(Ef)=0。

注1 由引理1知当f∈R[a,b]时，则（i）[a,b]-Ef有ℵ个点（不可列），f∈C([a,b]-Ef)，其中m([a,b]-Ef)=m([a,b])-m(Ef)=b-a＞0；（ii）在[a,b]的任一邻域都有f之连续点[9-13]；（iii）f在[a,b]必有无穷多个点连续存在[9,12]；（iv）f在[a,b]必有无限多个处处稠密的连续点[9]；（v）f∈R[a,b]⇒f在[a,b]几乎处处连续[7]，即f在[a,b]不连续点可用长度任意小开区间集覆盖[12]。

注2 注1中的命题（i）、（ii）、（iii）、（iv）、（v）在文献[9]、[11]、[12]、[13]中处理得都较难，此处有了引理1，这类问题的处理就成了推论，简洁易懂。

注3（i）设f∈B[a,b]，若Card(Ef)=ℵ0，则f∈R[a,b]；

（ii）设f∈B[a,b]，只有有限个聚点，则f∈R[a,b]

此处（i）、（ii）是文献[12]173-174的问题，在本文系统下成为引理1的特例。

引理2[1-3]设f∈B[a,b],若f∈R[a,b]，则

2 L积分在R可积性中的应用及其注记

例1[9，13，14]f∈C[a,b]⇒f∈R[a,b]。

证由f∈C[a,b]知Ef=∅，据[9]P78的引理组知f∈B[a,b],于是由引理1得f∈R[a,b]。

注4该例1是文献[9]P211的定理9.4，[13]P80的可积函数类I的命题，[14]的定理7.1.2的推论1。但这些文献中的证明都较本文例1引用引理1之法繁，没有此处简单。

例2[9，13,14]

证明由Card(Ef)=n0∈N⇒m(Ef)=0，又已知f∈B[a,b]，于是由引理1知f∈R[a,b]。

注5该例2是文献[9]的定理9.5，[13]的P80的可积函数类II的命题，[14]的定理7.1.3的推论3.但这些文献中的证明都较本文例2引用引理1之法难，没有此处简易。

注6在Reimann积分系统中获得了例3的结果，但是若从本文的引理1的思想出发，在f∈B[a,b]的条件下，为f在[a,b]的间断点}的基数可以是ℵ0，甚至可以是 ℵ，但只要其m(Ef)=0，就有f∈R[a,b]。

例3[9]设。若f∈[a,b]上只有an为其间断点，则f∈R[a,b]。

证明由题设知，m(Ef)=0，又已知f∈B[a,b]，于是由引理 1知f∈R[a,b]。

注7该例即文献[9]P15的问题4，一般文献中在处理这个问题时都较此处难。

则f∈R[0,1]。

注8例4是文献[10]问题2194，是文献[14]问题5(4)，此处较文献[11]的证明简单。

例5[9-10]设

证明由f(x)知 0≤f(x)＜1,0≤x≤1即f∈B[0,1]，，其中。而Card(Ef)=ℵ0,，m(Ef)=0，于是由例3或据引理1知f∈R[0,1]。

注9是文献[9]P219问题6，文献[10]问题2196，较文献[11]的证明简洁。是文献[15]问题110，此处较文献[15]说清楚了，事实上，在Riemann积分中很难解决。

例6[9]设f,g∈B[a,b]，若仅在[a,b]中有限个点{x1,x2,…,xk}处f(x)≠g(x),f∈R[a,b],则（i）

证明(i)由题设知Eg⊆Ef⋃{x1,x2,…,xk}，据f∈R[a,b]与引理1及其有限点集的测度为零的性质知

所以m(Eg)=0。已知g∈B[a,b]，故g∈R[a,b]。

(ii)因为m({x1,x2,…,xk})=0，所以f(x)=g(x),a.e于[a,b]，于是由引理1，引理2与[2]定理1（iv)得

注10此例是[9]P215问题3。

例7[9]设f在[a,b]有定义，且 ∀ε＞0,∃g∈R[a,b]使得

今证，凡g之连续点，一定是f的连续点。

设x0为g(x)在[a,b]的连续点，于是由连续性之定义知：∀ε＞0,∃δ＞0,当x∈[a,b]且|x-x0|＜δ时，恒有，从而据（*）式知：

故x0为f在[a,b]的连续点。

由此可知，Ef⊂Eg，由于g∈R[a,b]故由引理1知m(Eg)=0，所以0≤m*(Ef)≤m(Eg)=0，

故m(Ef)=0。由引理1知f∈R[a,b]。

注11此例是[9]的P215的问题7。

例8[9]狄利克雷函数

证明因为f∈B[0,1]且Ef=[0,1]，而m(Ef)=1-0=1＞0，所以由引理1知f∉R[0,1]。

注12此例8为[9]P210例1，在此简洁证之。

证明因为f∈B[0,1]，而Ef∈[0,1]，m(Ef)=1＞0，所以由引理1知f∉R[0,1]。

注13此例9为[9]P219的例题在此简洁之证之。

证明由f(x)之状得f(x)=xD(x)，其中D(x)为定义在[0,1]的狄利克雷函数，于是由[9]P72的例1知Ef=(0,1]，而m(Ef)=m(0,1]=1≠0，故由引理1知f∉R[0,1]。

注14此例10是[9]P240问题3，在此获得简单的证明。

例11【9】f,g∈R[a,b]，则f+g∈R[a,b]，f-g∈R[a,b]。

证明由f,g∈R[a,b]知f,g∈B[a,b],据此知f+g,f-g∈B[a,b]，由f,g∈R[a,b]与连续函数的运算 性 质 知Ef+g⊆Ef⋃Eg，Ef-g⊆Ef⋃Eg，m(Ef)=0,m(Eg)=0。于是据[2]P67的定理1的零测度集的性质知m(Ef+g)=0，m(Ef-g)=0，故由引理1知f+g∈R[a,b]，f-g∈R[a,b]。

注15[9]P216性质2在此给出了新证明。

例 12[9]若f∈R[α,β]，a≤f(t)≤b,t∈[α,β]，且φ∈C[a,b]，则φ∘f∈R[α,β]，即φ(f(t))∈R[α,β]。

证明因为a≤f(t)≤b，φ∈C[a,b]，所以φ∈B[a,b]，φ∘f∈B[α,β]。

由f∈R[α,β]与引理1知m(Ef)=0，由复合函数的连续性知当t0为f之连续点，由φ∈C[a,b]知其也一定为φ(f(t))在[α,β]的连续点。故知Eφ∘f⊂Ef，由m(Ef)=0，据[2]P67定理 1知m(Eφ∘f)=0,由引理1知φ∘f∈R[α,β]。

注16较文献[9]P239例2、[11]P370-371的问题2202、[13]P174例4.1.3等文献的解法简洁。

注17本例为文献[9]的第9章的最后一个例子，特别有用，但可惜很多文献只述证而很少在理论上用于定理的证明。

[1]程其襄，张奠宙，魏国强，等.实变函数与泛函分析基础[M]．2版.北京：高等教育出版社，2004：111-112.

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On some applications of Lebesgue integral and their notes

CUI Fang-da1,YANG Ting1,YAN Ping1,YAO Yun-fei1,WU Shi-lin2
(1.School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037,China;2.Jiucheng School of Susong,Anqing Anhui246220,China）

The existing literatures on mathematical analysis are often hard to deal with several problems of Riemann integral.In fact,with the help of the theory and method of Lebesgue integral in real variable function,mathematical analysis issues related to treatment is very effective.So this article will study some applications of the thinking method of real variable function in mathematical analysis,and especially give the application of Lebesgue integral in some problems related to Riemann integral. As a result,some simple processing and proofs of difficult problems on Riemann integral are given．

real variable function;thinking method;mathematical analysis;Riemann integral;Lebesgue integral

O17，O174.1

：A

：1004-4329（2016）04-015-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2016)04-015-04

2016-09-25

国家级大学生创新训练项目（AH201410371005）资助。

崔方达（1979- ），男，硕士，讲师，研究方向：应用数学。