如何把握新课程标准下的初中图形与几何教学

杨志坚

摘 要： 本文通过对初中几何教学内容及要求从教学大纲到义务教育数学课程标准实验稿及课程标准2011版的变化对比，结合新课标对“图形与几何”的要求，提出分别从“图形的发展”和“推理的发展”两条主线入手，组织成一个合理的教学体系，并通过准确、科学地把握相关内容教学要求进行数学课程标准下“空间与图形”的几何教学，力图对新课标2011版下的初中图形与几何教学内容及要求进行较全面地认识和把握，以便当前数学教师参考和借鉴。

关键词： 课程标准 初中图形与几何教学 图形的发展 推理的发展

随着新课程改革全面推进与深化，新课程标准下的数学教学从内容和要求上与以往相比发生了巨大的变化，其中初中几何部分尤为突出。使几何教学内容和教学要求的深广度的把握成为当前课改推进中初中数学教师实施教学的一大难题。

新课改后，原来熟悉的几何作为《标准》的四个领域之一——“空间与图形”出现了。而且不再以欧几里得几何的公理体系为主线，也不是严格按照知识的逻辑顺序呈现这个领域，而是以“图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明”四个方面展开，并根据儿童的生理和心理特征，通过各学段相应的目标逐段递进。而数学课程标准2011版第三学段则将上述课标几何部分的四个方面变成三个方面，分别是图形的性质、图形的变化、图形与坐标。首先是“图形的性质”基本涵盖原来图形的认识和图形与证明内容，除了对一些基本图形的认识之外，还包含对图形一些命题的证明，同时发展了学生的空间观念和推理能力。第二方面“图形的变化”，它的内容就比较丰富了，包含合同变换——图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转，以及图形的相似（包括位似），由于和相似关系密切，因此直角三角形的边角关系包含其中，还有一类变换是仿射变换，在标准中呈现的标题就是投影。这部分主要研究图形之间的关系，特别从运动观点和变化角度研究图形，这一方法本身十分重要。第三方面“图形与坐标”，包含坐标与图形的位置，坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形变换中熟知的轴对称，图形的平移，图形的位似等。这三个方面引领学生逐步从直观认识走向代数化，顺应学生的认识规律和学习认知特征，同时让学生认识问题的思维变得越来越深刻。

从结构形式看，大纲以扩展的欧几里得几何公理体系依知识的逻辑顺序呈现，按照图形由简到繁的顺序，呈现出几何内容的直线式逐级上升。而两个版本的课标则按四或三个方面展开，以学生的生理和心理特征为依据，把各部分内容交替螺线形呈现。

从内容看，与大纲相比，课标实验稿强调了内容的现实背景，联系学生的生活经验和活动经验，增加了图形变换、位置的确定、视图与投影等内容，加强了几何建模及探究过程，重视量与测量，重视几何直觉，加强了合情推理，削弱了演绎推理的要求。

而与实验稿相比，2011年版课标则将演绎推理的开始从四边形及相似三角形内容之后提前到三角形部分，提高了对演绎推理的要求，如在相似三角形部分，增加平行线分线段成比例公理，为证明相似三角形的判定定理提供依据，在平行线部分，把“两直线平行，同位角相等”由公理改为定理，实际上是增加了学生接触、理解反证法思想的机会。

如此巨大的变化，反复的新旧冲突，造成了初中数学教师极大的不适应，加上面对新课标数学教材中各章几何内容的增减和呈现顺序的改变，以及几何证明要求的再次调整，更觉得难以把握教学深度和广度。鉴于此，笔者结合对数学新课标2011版及新课标数学教材的理解，谈谈对“图形与几何”的具体内容和要求的粗浅认识，力图对新课标2011版下的初中几何教学内容及要求进行较全面地认识和把握，以便当前数学教师参考和借鉴。

一、组织成一个合理的教学体系是实现图形与几何教学目标的关键。

（一）把“图形的发展”作为一条主线，按图形与几何的三个方面（图形的性质、图形的变化、图形与坐标）教学内容的逻辑关系构建一个合理的内容体系。从简单图形的认识开始，通过丰富的实际例子认识有关图形的知识与实际事物的广泛联系，了解学习空间与图形知识的必要性，然后依次讨论相交线与平行线的基本性质，引入平面直角坐标系为研究与描述图形及其变化提供工具，讨论、探究三角形、全等三角形、直角三角形的基本性质及相关识别条件，再结合等腰三角形研究图形的轴对称性，进而对图形的平移、旋转、图形的相似及四边形、多边形和锐角三角函数展开学习，最后学习圆、视图与投影的知识。这样，图形与几何不仅仅是图形知识的堆砌，借助图形的直观性，组织成逻辑性较强的教学体系，有利于学生掌握图形与几何知识，提高思维能力，建立良好的空间观念。

“图形与几何”的三个方面都以图形为载体，围绕图形和空间问题展开，以培养空间观念、几何直觉、推理能力，以及更好地认识与把握生存现实空间为目标。

1.对于图形的性质，从图形的认识开始，不仅进一步提高学生对图形的感性认识，通过折纸、测量、画图等实践活动进行，还随着对图形认识的深入发展，引导学生通过推理认识图形的性质及识别条件。在实施中，要很好地完成从具体事物到图形知识的抽象过程，尤其是在一些基本图形概念的形成过程中更要注意这个问题，从学生的生活经验出发，使学生认识图形与几何知识与现实世界的密切联系，以及知识在实际中的广泛应用。对图形的性质探究，加强合情推理，控制演绎推理的难度和数量；强调“理解证明的必要性”，以及“言之有理、落笔有据”，清晰且有条理地表达、交流，合乎逻辑地讨论、质疑等。在实施中注意引导学生探索图形性质，并在与他人合作交流等活动过程中不断发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；引导学生凭借积累的数学活动经验和探索得到的图形性质，从几个基本事实出发，证明有关三角形、四边形的一些基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握演绎推理的基本格式，初步感受公理化思想。

2.对于图形的变化，要注意到变换不仅是探索图形性质，认识、描述物体形状和空间位置关系的必要手段，还是解决现实具体问题，进行交流的重要工具。但要注意《标准》并不要求从严格的几何变换定义出发研究变换的性质，从而研究图形的性质，而只要求“通过实例认识变换”，借助图形的直观探索轴对称、平移、旋转的基本性质，以及一些基本图形的性质，能够利用位似将一个图形放大或缩小，并利用图形变换设计、欣赏图案。在实施中要紧密联系学生熟悉的实例，使学生认识“生活中的图形变换”，以观察、动手操作为主要方式组织学生开展实践活动，切实把握好“图形的变化”的具体目标，以及要求的“度”。

3.对图形与坐标，以直角坐标系为工具确定点（图形）的位置，以及图形变换后点的坐标的变化，既学习刻画点和图形的位置，又讨论点的坐标的变化与图形变化之间的关系，从而把“形”与“数”紧密地联系在一起。在实施中要把握这部分内容的关键——在直角坐标系中“点”的位置的确定，在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化”，把坐标思想与图形变换的思想联系起来，并利用直角坐标系对图形进行轴对称、平移、位似等变换，使学生通过操作和计算体会数与形之间的对应关系。

另外，“图形与几何”还把平面几何和立体几何的内容采用直观和非形式化的手段进行整合，使教学内容更紧密联系学生生活和社会发展，让学生通过直接感受理解和把握空间关系。

（二）把“推理的发展”作为一条主线，按“合情推理—学会说理—感受证明的必要性—演绎推理—综合运用”的线索，从教学内容上呈现出推理发展的这五个层次。在图形由简到繁的发展过程中，加强合情推理，让学生通过直观感知、操作确认、归纳类比等方式认识几何图形的特征与性质，学会识别方法。在合情推理贯穿始终的同时，注意逐步学习数学说理与演绎推理。从对顶角相等，平行线中一些结论开始就渗透简单的数学说理。在学习图形的全等时开始出现较为简单的三段论演绎推理格式，在学生积累了一定的形式化推理经验后，单独开展几何证明的内容，体会证明的必要性，让学生体验公理体系的思想，发展初步的演绎推理能力，最后，在四边形和相似三角形学习中，把两者有机结合起来，在每个内容开始部分运用合情推理得出数学结论，再用严格的演绎推理证明结论，并将所得结论作为进一步解决数学问题的依据。在教学实施中注意把握图形的观察—发现—说理；图形的操作—发现—说理；图形的变化—发现—说理，使合情推理与说理及初步演绎推理有机结合起来，把推理能力的培养建立在可操作的序列上。自然地、有意识地培养学生有条理地思考、表达和交流，逐步训练学生相对严格的说理过程和初步的推理能力，使学生逐步掌握简单几何推理的基本步骤，了解推理的各种表示（包括不严格的语言表示）。特别地，有意识地引导学生自觉用一定的活动表达对有关概念、结论的理解，自觉地用自己的语言（即使是不规范的语言）说明操作过程，并利用说理和简单的推理印证结论的真实性.从而在“图形的证明”学习中达到义务教育阶段对证明——演绎推理的教学要求。

可以看出，“图形的发展”与“推理的发展”这两条主线各成一脉，又紧密联系、相辅相成、相互交融，它们在图形认识中逐步学会推理，在推理发展过程中深化对图形的认识。

二、准确、科学把握相关内容的教学要求是实现图形与几何教学目标的保证。

在具体教学实践中，教学要求的把握直接影响学生负担的轻与重，从而直接影响学生是否能够全面发展。要注意到《标准（2011版）》继承了我国数学教学的优良传统，关注基础知识学习和基本技能训练，但控制了教学内容范围和教学要求。我们应注意到新课标（2011版）削弱了单纯的平面图形面积、体积、周长等计算，把这类计算融于几何直观和反映空间观念的问题之中。用九条“基本事实”证明数十条结论；与大纲相比在一定程度上淡化几何证明的技巧，降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。我们还应在关注削弱演绎推理的同时，关注加强合情推理。尤其2011版课标在重视直观实验的同时，不降低对逻辑推理的要求，使学生逐步形成从感性到理性的思维习惯和严谨科学的方法。强调“空间和图形”内容紧密联系学生的生活经验和活动经验，拓宽几何学习的背景。

（一）循序渐进地培养推理能力，做好由实验几何到论证几何的过渡。

直观与推理的结合。使推理成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，逐步养成严谨的思维习惯。同时，推理论证不仅是证明或推翻猜想，还是发现新结论的重要手段。教学中，不仅要求学生通过观察、实验、探究得出一些有关图形的结论，还要求学生对这些结论进行证明，使推理证明成为学生探究得出结论的自然延续，进一步体会证明的必要性。

（二）逐步提升，落实好推理与证明的关键部分内容。

在“相交线与平行线”中，结合实例从“说理”到“简单推理”，并正式出现“证明”（让学生看到完整的证明，不要求学生完整证明，要求学生会填空完成一些关键步骤和填理由），注意循序渐进，推理的步骤控制好长度。正式出现“证明”之前，循序渐进给出严格的推理符号语言。教学中可以具体的问题为载体，先引导学生分析由已知推出结论的思路，由教师示范证明的格式，再逐步要求学生独立分析、写出完整的证明过程。同时注意根据教学内容及时安排相应训练，让学生切实提高推理论证能力。突出图形性质定理和判定定理的探索与发现过程，通过合情推理发现结论，形成猜想，运用演绎推理证明猜想。强调从数学本身提出问题，通过图形性质定理的逆命题，提出判定图形是否成立的命题，运用演绎推理证明这些命题的真伪，给出图形的判定定理，进一步明确图形的性质定理与判定定理之间的关系。

（三）从感性到理性，从静态到动态地提高对图形的认识能力。

实验与推理结合，适当运用坐标与图形的变化，加强“图形的性质”和“图形的变化”“图形与坐标”等之间的联系，从多种角度认识图形的性质。教学中，充分利用图形的轴对称、旋转、平移不改变图形的形状和大小，借助此性质可以探索线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆的一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念。而几何图形的直观为运用图形运动的方法研究图形性质提供了有利条件，再跟图形的性质、图形与坐标相结合。通过建立平面直角坐标系，在直角坐标系中确定图形的位置，如用坐标描述点的位置、刻画一个简单图形的位置等。进而在直角坐标系中进行图形的运动，并描述运动后图形的位置及其对应顶点坐标之间的关系，让学生逐步体会研究图形性质可以有不同方法。如通过操作、观察、实验等活动，对现象进行归纳类比，运用合情推理发现图形的性质；通过图形的运动过程中变与不变的关系发现图形的性质；通过演绎推理发现图形的性质。

（四）灵活运用数形结合，体现研究方法的联系。

除了借助平面直角坐标系研究图形位置、用坐标研究图形的运动变化之外，还可对图形的一些性质进行数量刻画展开研究。比如，对“与圆有关的位置关系”的处理：实验探究——点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；研究的对象——两个图形间的位置关系；研究的方法——将两个图形间的位置关系分类，从几何、代数两方面分析特性。①几何特性：交点个数及区域分布；②代数特性：“两图形间的距离”与半径的比较。从数形结合两个方面讨论。

重视渗透数学思想方法。如转化的思想，正多边形的有关计算→直角三角形；正多边形的画图→等分圆周。分类的方法，对圆周角定理的讨论，点与圆、直线与圆的位置关系。

数学课程标准2011版还强调内容呈现方式的多样化，突出数学活动的过程，提倡个性化学习方式和策略，以及问题的开放性，这都为学生富有个性地发展提供了充分的时间和空间。另外，还加强了“图形变化”和“位置的确定”的有关内容。强调从不同角度观察、认识方向和描述物体的位置、绘制图案和制作模型等活动，增强学生用坐标、变换、推理等多种方式认识现实空间和处理几何问题的感受，体会并掌握刻画现实世界空间关系和认识图形特征的工具。加强几何建模及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念。突出“图形与几何”的文化价值，重视量与测量，并把它融合在有关内容中，加强测量的实践性。

特别注意的是，在推理教学的深广度把握上，既不能像大纲时期那样过分追求逻辑严谨和体系形式化，束缚学生思维活力；又不能像实验稿时期某些教师理解的那样，将合情推理泛化，对学生思维的条理性和严谨性丝毫不作要求，致使大量学生缺乏应有的分析能力和洞察力，不能剖析表象下掩盖的问题实质，养成看到即是、思维肤浅的不良习惯。而应该贴合学生实际，采取多样化的活动，让学生多经历“猜想—证明”及“猜想—推翻”的过程，发展学生的合情推理和演绎推理能力。

在数学新课程改革推进的过程中，前面的路还很长，需要数学教育工作者不断实践、反思和完善，在解决诸多问题和困难的过程中前行。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）.北京师范大学出版社，2001.7，（1）.

[2]刘兼，孙晓天，主编.数学课程标准研制组编写.全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）解读.北京师范大学出版社，2002.5，（1）.

[3]中华人民共和国教育部制订.义务教育数学课程标准（2011年版），北京师范大学出版社，2012.1，（1）.

[4]史宁中，主编.教育部基础教育课程教材专家工作委员会组织编写.义务教育《数学课程标准》（2011版）解读.北京师范大学出版社，2012.2，（1）.