有的放矢地消元——浅谈二元一次方程组解法的优化

江苏省常州外国语学校 周 琦

有的放矢地消元
——浅谈二元一次方程组解法的优化

江苏省常州外国语学校 周 琦

解二元一次方程组常用的方法有代入消元法和加减消元法，这两种方法都是通过先消去方程中的一个未知数将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题。那么，选择消去哪个未知数，用什么方法消元，直接消元还是间接消元，这些问题都影响着解题的速度和准确率。现通过举例的方式分类说明如何更有效地解二元一次方程组。

一、直接消元

解析：不要急于解题，先观察题目特征，我们发现：方程①中x的系数为1，y的系数为4，方程②中x的系数为2，y的系数为－3。方程①中x的系数最简单，我们可以首先选择变形方程①，用含有y的代数式表示x，再将这个代数式代入方程②，采用代入消元法。同时，我们也发现方程②中x的系数是方程①中x的系数的2倍，我们可以将方程①乘以2减去方程②，消去未知数x，采用加减消元法。

法一：代入消元法

解：由①得：x=-4y-1 ③

将③代入②得：2（-4y-1）-3y=9

解得：y=-1

将y=-1代入③得：x=3

法二：加减消元法

解：①×2得：2x+8y=-2 ③

③－②得： 11y=-11

解得：y=-1

将y=-1 代入①得：x=3

点评：代入消元法和加减消元法在解决例1的过程中都显得灵巧便捷，都是不错的选择。

二、间接消元

解析：当你看到例3有没有觉得心跳加速，血压升高？选择代入消元法，那巨大的分母，可怕！选择加减消元法，若先统一y前的系数，面对23×17、63×23、57×17，再进行加减计算，我们那薄弱的计算能力面临严峻考验。一遍算对也罢，若检验出错，从何找错，简直不堪回首。一个字“烦”！有没有简单有效的方法呢，请耐心仔细再审题。x，y的系数虽然大但是非常有规律，方程①中的系数等于方程②中的系数，方程②中的系数等于方程①中的系数。将方程①－②，方程①＋②，是不是出现了很神奇的效果？

解：①－②得：6x-6y=6

即：x-y=1 ③

①＋②得：40x+40y=120

即：x+y=3 ④

③＋④得：2x=4

解得：x=2

④－③得：2y=2

解得：y=1

点评：例2中虽然x，y的系数比较大，但是经过观察分析，很有规律.我们不急着使用代入法或者加减法消去其中一个未知数，而是通过方程①－②，方程①＋②，将原方程转化为x，y的系数简单的同解方程，这种方法称之为间接消元。通过间接消元，方程组的计算量大大减少，错误率也随之降低。

解析：例3中未知数的系数比例2更大，若采用常规的代入法或者加减法，计算更复杂。但我们有了解决例3的经验，分析例3的角度随之发生变化，我们不再脸红心跳，而是淡定从容。我们尝试方程①－②，方程①＋②，又会有怎样新的发现呢？

点评：我们尝试沿用例3的方法：方程①－②，方程①＋②。发现①－②得：x+y=1③，①＋②得：4037x+4033y=4029④。方程④的系数更复杂没有达到简化方程的效果，但①－②得到x,y之间的简单关系，我们再用x表示y，或者y表示x，代入消元；也可以变形方程③加减消元，这个系数复杂的二元一次方程组就迎刃而解了。

如何有的放矢地消元？要解决这个问题的关键是分析二元一次方程组的特点，恰当地选择突破口。当二元一次方程组中有一个未知数的系数为1或－1时，常用代入消元法；当二元一次方程组中有一个未知数的系数相等、互为相反数、倍数关系或不存在任何特殊化简关系时，不妨使用加减消元法；当二元一次方程组中的两个未知数的系数复杂貌似毫无规律，但两个方程通过调整未知数的系数整体加减，化简得到未知数之间的简单关系，就不直接消元，采用间接消元的方法先化简得到未知数之间的简单特殊关系，再应用代入法或加减法消元。消元法体现了数学中常用且重要的思想方法——转化思想，将未知转化为已知，将二元一次方程组的问题转化为一元一次方程的问题。间接消元则将看似无规律且复杂的二元一次方程组问题转化为有规律且简单的同解二元一次方程组问题。只要准确把握二元一次方程组的特点，一定可以优化二元一次方程组的解法！