待定系数法在高中数学解题中的应用

张雨嫣

摘要：高中数学题目逻辑性较强，在解题过程中一些常用的方法往往计算量过大或难以奏效。因而需要针对不同的题型选用合适的解题方法，待定系数法是高中数学中一项常用的解题方法。待定系数法在因式分解、求解函数解析式及数列的通项公式的求解等问题中应用广泛，通过待定系数法可以将复杂的问题简单化。本文结合具体的例题就待定系数法的应用技巧进行了详细的论述。

关键词：待定系数法；高中数学；应用

待定系数法师在高中数学阶段一种常用的解题手段，待定系数法是将一些具有某种特殊形式的数学问题，通过引入待定的系数，利用命题恒成立的条件得到一系列的方程组。通过对这些方程组的求解得到待定系数的数值，从而解决相应的数学问题。待定系数法在许多数学问题中都有运用，例如因式分解、曲线方程、数列及函数解析式等。

一、待定系数法在因式分解中的应用

待定系数在因式分解中应用广泛，对一元三次、四次等较为复杂的多项式，用常规的因式分解方法往往难以解决，此时就可以选择用待定系数法进行求解。对其它类型的多项式，在分解过程中也可以尝试用待定系数法解决。下面结合实例对待定系数法在因式分解中的应用进行讨论。

例题1.对多项式x3+5x2+2x-8进行因式分解。

对例题进行分析：该多项式的最高次幂为3次方，该项的系数为1，因此可以假定该多项式可以分解为（x+A）（x2+Bx+C）的形式。将该式子展开可得，（x+A）（x2+Bx+C）--x3+（A+B）x2+（AB+C）x+AC。如果假设成立，则有：

对该方程组进行求解，得：A=2；B=3；C=-4

二、待定系数法在函数解析式

待定系数法在函数解析式的求解中也有很多运用。在解题过程中可以先设出函数解析式的一般形式，再根据已知条件利用待定系数法求得函数解析式。对复杂函数解析式的求解这一过程可以综合函数的性质，选择合适的待定系数。将函数解析式的求解化成对方程组的求解。下面结合例题进行求解：

例题2.已知一个一次函数的图像经过两点（1，-1）和（3，1）。求该函数的函数解析式。

解析：根据待定系数法，可以设函数的解析式为y=kx+b，根据题目的已知条件列出方程组。由于函数图像经过点（1，0）和点（2，1），将这两点带入函数解析式有：

对这个方程组进行求解得：k=1；b=-2

将这两个系数带人方程，得到函数的解析式为y=x-2。

三、待定系数法在数列中的应用

在对数列的通项公式进行求解时会遇到一些特殊数列的通项公式求解问题。尤其是对数列相邻两项是线性关系的类型，我们可以利用待定系数法构造出常见的等比等差数列，进而求出函数的通项公式。下面结合具体实例进行分析：

例3.已知数列{an}满足a1=3，an=3an-1+2，求an的通项公式。

解析：根据已知关系式an=3an-1+2可有构造一个等比数列：an+λ=3（an-1+λ），展开此数列有an=3an-1+2λ。与方程相比较可得λ=1。因此，构造新数列{an+1}为首项是4，公比为3的等比数列。由等比数列的通项公式可以得到构造数列的通项公式为an+1=4·3An-1，因此an的同乡公式为an=4·3^n-l-1。

四、待定系数法在解析几何中的应用

待定系数法在解析几何中应用广泛，尤其是在椭圆、双曲线、圆等曲线方程中应用较多。例如用待定系数法对椭圆的标准方程进行求解时，要充分考虑“定位”和“定量”两个方面。下面结合实例进行分析讨论：

例4.已知椭圆经过两点（2，0）和（0，1），求该椭圆的方程。

解析：根据已知条件，椭圆中心为原点，焦点位于x轴上，因此可以设椭圆曲线为：

ax2+by2=1，（0

将已知条件带入到方程中得：a=0.25，b=1；因此该椭圆的曲线方程为：

0.25x2+y2=1

同理，运用待定系数法也可以应用到双曲线、圆等解析几何问题的求解。

五、待定系数法在不等式求解中的应用

不等式问题是高中数学中的一类重要问题，不等式的求解确定系数。利用待定系数法可以将不等式的取值范围等问题进行求解，下面将结合例题对这一问题进行解决：

例5.已知二次函数f（x）经过原点（0，0），且有1

解析：根据已知条件，可以设该函数f（x）=ax2+bx+c。

由f（x）经过点（0，0）知c=0；f（-1）=a-b，f（1）=a+b，f（-21=4a-2b

设f（-2）=mf（-1）+nf（1），经过计算得到m=3，n=1。因而可以知道6

六、结语

高中数学难度较大，抽象性和逻辑性较强，许多同学感到学习吃力。在高中数学题目的求解过程中要注意运用恰当的解题技巧，对一些非常规的题目进行求解。待定系数法就是一种常用的解题方法，该方法是通过预设未知的系数构造方程，根据已知的条件列出关于这些待定系数的方程组，求解出各个待定系数。结合例题，本文就待定系数法在因式分解、函数解析式和 函数解析等五大类问题中的运用进行分析，就待定系数法的应用条件和技巧讲行和阐述。