核心素养导向的高中数学考试评价探索与思考——从2016年高考数学北京卷20题谈起

王雅琪

(北京教育考试院 100083)

高中数学考试评价关注数学核心素养的形成和发展，通过这一导向，引导数学教学改革将是高中数学课程改革的主流方向.如何开发合理的评价工具，将知识技能的要求与核心素养的达成有机结合，必然成为考试评价的一个突破口.

近年来，全国高考数学(北京卷)， 注重加强对数学核心素养和关键能力的考查，特别是第20题因其背景深刻、思维灵活、知识面广，一直以来受到中学师生的广泛关注．2016年高考结束后，也有老师就理科试卷第20题的背景与我探讨．本文试图通过剖析2016年20题的学科背景，结合历年北京卷的第20题，谈谈北京卷第20题的命题意图.

1 2016年北京卷压轴题的背景——Pliss定理

【2016年全国高考北京卷理科第20题】设数列A:a1,a2, …,aN(N≥2)．如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak

(Ⅰ)对数列A:-2, 2, -1, 1, 3，写出G(A)的所有元素；

(Ⅱ)证明：若数列A中存在an>a1，则G(A)≠∅；

(Ⅲ)证明：若数列A满足an-an-1≤1 (n=2,3,…,N)，则G(A)的元素个数不小于aN-a1．

【分析】本题的背景是Pliss定理，这个定理是圣彼得堡大学(当时叫列宁格勒大学)的Pliss教授在上个世纪70年代的一篇论文中引入的，是动力系统双曲性研究中的一个常用工具．

下面对比分析北京高考题与这个定理间的关系：

设bi=ai-(λ+ε)，

(1)关于“G时刻”

从Pliss定理可以知道，1≤n1≤…≤nl≤N满足：对大于nj(j=1,2,…，l)的每一个正整数n都有Sn≤Snj，这里的nj(j=1,2,…，l)类似于北京高考题里的G时刻．

(2)G(A) 非空的条件

(3)关于G(A)的元素个数的估计

在Pliss定理中，n1,n2,…,nl类似于北京20题的G时刻，l类似于G时刻的个数，引理给出了l的一个下界估计：l≥Nδ．

我们在20题中给出了an-an-1≤1 (n=2,3,…,N)的条件，在这个条件下可以证明G(A)的元素个数不小于aN-a1．

2 北京卷的20题考什么，怎么考？

高考数学北京卷的第20题，已经成为北京卷的特色题目，对于第20题到底考查什么，是怎么考查的，我想谈谈我们的一些看法，和一线老师交流，希望在交流的过程中，问题趋向明晰．

(1)北京理科第20题一般都有深刻的数学(科学)背景或现实生活背景

近年来，第20题所涉及的数学学科背景主要有优化理论、数论、组合数学等，但并不需要中学生掌握(更不是考查)这些高等数学知识，其考查的是学生通过中学阶段数学基础知识的学习，发展数学抽象、逻辑推理和数学建模等素养.

(2)北京理科第20题分层设问，逐层递进

第一问，一般会把题干中给出的抽象的概念、问题具体化，给出一个待解决的具体的实例，考查考生是否能正确理解抽象的数学概念和理解题意．这里对抽象的概念和题意理解的能力要求不同于其他题，特别注重考查学生数学抽象素养，只有具备了这一核心素养，才能将一般问题具体化，正确解决第一问、

第二问，一般会要求证明一个结论，要求考生对相关概念或者知识有更深的理解，并且能灵活、综合地应用所学的推理论证方法，因此这一问则注重考查了学生的逻辑推理素养．第二问常常会与第三问有一定的关联．

第三问，要求证明本题给出的主要结论，要求考生有比较全面和扎实的数学基础，具有较高的综合分析问题、解决问题的能力和素养．一般情况下，考生可以在证明前面两问的基础上，用已经证明的结论进行推广，一般化，建立起通用的规律、结论或模型，帮助思考问题．

以2016年的第20题为例：

考生在陌生的语境下，要求通过阅读抽象的符号化文字，领悟新概念(G时刻)的定义．在这个题的第(Ⅰ)问要求考生对具体给出的数列写出G(A)的所有元素．考生可以通过这个实例熟悉概念，观察现象，并在处理后续问题时以它作为思考的标本．

第(Ⅱ)问要求考生在“存在an>a1”的条件下证明G时刻的存在性．与解方程那样的数学问题不同，数学中很多存在性问题往往没有明确具体的答案，在逻辑推理方面有一定难度．这需要善于发现主要矛盾，比如从数列首次取得最大值的项或首次大于首项的项等不同的角度思考问题．在解答中呈现的逻辑推理以及用抽象的数学语言表述，反映了不同考生在能力上的差别．从中挖掘对象的数学性质，并用精练的语言呈现推理过程，这需要考生具有良好的逻辑推理素养和学习能力．

第(Ⅲ)问要求考生对G时刻的个数做出下界估计．这在第(Ⅱ)问的基础上对考生提出了更高的要求，往往两个问题的解法和思路是一脉相承的，但需要学生能够具备较强的从具体到一般，进行抽象概括、数学建模的能力.

(3)北京理科第20题对考生的数学能力和数学核心素养提出了更高的要求

所涉及的知识和能力要求都属于考试说明的范围，但它不是中学数学教学中的常见问题，所以没有“模式”或者“套路”可循．我们在阅卷过程中，发现了“用特殊情况代替一般”进行问题的证明是常见的典型错误．例如，在第二问中部分同学选择了满足“an>a1”的数列中的一种特殊情况进行证明就以为完成了第二问．具体如下：

典型错解1：由题意可知，存在n∈N*，满足an>an-1>......>a2>a1，此时，n是数列A的一个“G时刻”，故G(A)≠∅，结论得证．

典型错解2：存在n∈N*，满足an-1=an-2=…=a2=a1，且an>a1，此时，n是数列A的一个“G时刻”，故G(A)≠∅，结论得证．

把问题特殊化，可以帮助我们思考问题，但是不能代替对一般情形的证明．在第三问中存在同样的问题：

部分同学把题设条件an-an-1≤1 (n=2,3,…,N)分为以下两个情形分别讨论：

情形1：an-an-1≤0 (n=2,3,…,N) ；情形2 ：0

这把题设条件简单化了，与题目要求也是不相符的．

3北京压轴题考查的落脚点：抽象、逻辑推理与数学模型

以2011年高考北京卷理科20题为例：

【2011年全国高考北京卷理科第20题】若数列An:a1,a2,…,ann≥2)满足|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1)，则称An为E数列. 记S(An)=a1+a2+…+an.

(Ⅰ)写出一个满足a1=a5=0，且S(A5)>0的E数列A5；

(Ⅱ)若a1=12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011；

(Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2)，是否存在首项为0的E数列An，使得S(An)=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由.

【分析】这个题的现实背景可以归结为下面的问题：

有100人排队买票(票价50)，其中40人手持百元大钞，其余人有零钱．如果收款台没有准备零钱，那么售票员“一直都能找开”的概率有多大？

定义“富余度”an：(1)a0=0(因为没有准备零钱)；(2)若第k个人拿的是零钱，则ak=ak-1+1，若第k个人拿的是100元的，则ak=ak-1-1.

显然a100=20．解决上面的问题，核心就是求：满足条件“对∀k≤100，都有ak≥0”的数列{an}的个数．

把问题一般化，设数列{an}共m项(m≥2)，满足：a0=0，对∀k(1≤k≤m)，有|ak-ak-1|=1．设m=10p(p∈N*)(p=10时就是上题)，am=2p，求：满足条件“对∀k≤m，都有ak≥0”的数列{an}的个数．

则序列{xi}中有6p项为1，4p项为

-1．x1+x2+x3+…+xm=2p，

下面要考虑的是：有多少种排列方式使得

∀k≤m，Tk=x1+x2+x3+…+xk≥0.

我们考虑相反的问题：有多少种排列方式使得序列存在一个部分和小于0.

可以证明：A等于“从0出发，以每步1或者-1，到达-(2p+2)的路线数”．

总步数为10p，设x步为1，y步为-1，则

得

∀k≤m，Tk=x2+x3+…+xk≥0.

这个题的难度较大，作为高考题属高难度的题目． 在2016年全国卷命题中，选取了上面问题中的一个特例，给出了下面的问题：

【题目】(2016年高考全国卷Ⅲ第12题)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有

(A)18个 (B)16个 (C)14个 (D)12个

北京卷在利用这个背景命题的过程中，首先把难度降下来了，提出了这样的问题：

(1)如果初始富余度为12，卖出1999张票后，富余度为2011，则这些购票者付的都是零钱(反过来也是对的)；

(2)若富余度序列{an}的前n项和为0，求n的所有可能取值．

我们将此问题进行抽象，从数学视角提出问题, 就有了2011年全国高考北京卷理科第20题．本题来源于现实问题, 对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题, 体现了建立数学模型解决实际问题的全过程.

2011年全国高考北京卷理科第20题的第一个问题虽然难度并不大，但是否能把头脑中的想法通过严谨准确的文字表述出来，是否能把思维过程中最关键的环节表述出来，不仅可以反映出考生的文字表达能力，更可以从中看出考生的逻辑思维是否清晰，以及对主要矛盾和次要矛盾的把握．

关于数学表达的方式，一方面学生可以借助基本的推理证明方法(如综合法、分析法或反证法以及数学归纳法等)，通过数学基本运算整理加以证明；另一方面也可以用罗列穷举的方法．下面两个证明方法都是可以的：(这里只证明充分性)

方法1: 设E数列A2000满足a1=12，a2000=2011．记b为满足ak+1-ak=1(k=1,2,…,1999)的下标k的个数．

因为A2000是E数列，所以在a2-a1,a3-a2,…,a2000-a1999这1999个数中恰有b个数为1，其他1999-b个数为-1．于是：

a2000=a1+(a2-a1)+…+(a2000-a1999)

=a1+(1999-b)·(-1)+b·1

=a1-1999+2b.

所以，

由此知

ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1999)，

故A2000是递增数列．

方法2: 由于a2000-a1999≤1,

a1999-a1998≤1，

……

a2-a1≤1，

所以a2000-a1≤1999，

即a2000≤a1+1999.

又因为a1=12，a2000=2011，

所以a2000=a1+1999.

故ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1999)，

即An是递增数列.

为使得学生更容易入手，给学生搭了一个梯子(即题目中的第一问)，指导考生按特定要求构造数列，目的是引导学生通过对特例的研究，认识和学习新的概念，并从中探索和发现一般规律．

在接下来问题的论证中，关于整数的一些基本性质以及对周期性等特殊现象的感悟，可以帮助考生更好地解决问题，这不仅需要考生具有一定的数学基础知识，更需要考生具备较好的数学素养，而这些都是数学教育中的重要内容．

在解决过程中，注意到n取4k或4k+1满足题意，需要论证的是n不可能为4k+2或4k+3．考虑反证法，注意到a1是偶数，且此后奇偶交替出现，若n=4k+2，则其中2k+1个奇数，2k+1个偶数，其和不可能是偶数0．当n=4k+3时，增加的一个数是偶数，不改变和的奇偶性．

利用这个解法，学生可以进一步考虑任意首项的E数列An的相应的问题．其中有些尚未展开的讨论还是很有趣味的，感兴趣的读者可以自己尝试提出一些更进一步的问题并看看能不能解决它们．

改编后的20题以数列为背景考查学生的逻辑思维和推理能力．要求考生在新的情景下，通过阅读抽象的数学符号，理解新引入的概念的含义，从中挖掘研究对象的数学性质，并用精炼的数学语言呈现推理证明的过程，这需要考生具有良好的数学素养和学习能力．

高考北京卷的第20题所涉及的知识和方法属于中学的范围，但是对学生的能力要求较高，要求学生能够自主阅读、敢于动手尝试、积极进行探索，获得正确的解题办法，会用数学语言进行严格论证，它考查的是学生在多年数学学习中形成的数学素养，考查的是学生适应个人终身发展和社会发展需要的必备数学学科的关键能力．

我们希望能和中学师生一起来研究和探讨高考北京卷的第20题的背景和解题过程，这将有助于教考结合，加强数学学科的育人功能，提高数学学科的育人价值．