反对称矩阵空间上保持行列式的函数

樊玉环，马艳芬，魏 喆，修 涛

(黑龙江工程学院 数学系, 哈尔滨150001)



反对称矩阵空间上保持行列式的函数

樊玉环，马艳芬，魏 喆，修 涛

(黑龙江工程学院 数学系, 哈尔滨150001)

刻画了反对称矩阵空间上的保持行列式的函数的形式，受反对称矩阵空间上行列式性质的影响，分别研究了奇数阶反对称矩阵空间及偶数阶反对称矩阵空间上保行列式的函数的形式.

保持；行列式；反对称矩阵；函数

自2011年文献[1]研究了保持矩阵的一些性质的函数，给出了保持中的一个新方向，在文献[2]中研究了域上上三角矩阵空间的保持幂等的函数的形式；文献[3]刻画了了域上保持对合矩阵的函数的形式，分别刻画了全矩阵空间及上三角矩阵空间上保持对合矩阵的函数的形式；文献[4]研究了域上矩阵空间的保持正交性的函数，分别刻画了全矩阵空间、上三角矩阵空间及对称矩阵空间上保持正交性的函数的形式；文献[5]研究了特殊矩阵空间上保持行列式的函数，分别刻画了上三角矩阵空间及对称矩阵空间上保行列式的函数的形式；本文在文献[5]的基础上，继续研究保持行列式的函数，即反对称矩阵空间上保行列式的函数的形式，对这一函数保持中的新方向进行了补充及完善.

1 预备知识

设F是特征不为2的域，F*表示F{0}，SKn(F)为F上所有n阶反对称矩阵的全体，AT为A的转置矩阵，detA为A的行列式，Af=(f(aij)).

定义1[6]称函数f∶F→F是SKn(F)上保持行列式的函数,如果f满足detAf=f(detA),∀A∈SKn(F).

定义2[7]称f∶F→F是域同态，如果f满足

f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)

定义3[8]设A是一个n阶方阵，若满足AT=-A，则称A为反对称矩阵.

性质1[8]若A是反对称矩阵，则其主对角线上的元素全为零.

性质2[8]若A是奇数阶反对称矩阵，则其行列式为零.

2 反对称矩阵空间上保持行列式的函数

定理1f∶F→F是奇数阶反对称矩阵空间上的保持行列式的函数充要条件为f是F上的奇函数.

证明 由定义1.3及性质1.1可设任意的，

SKn(F),

由Af的定义知Af=(f(aij))∈SKn(F)可得

f(0)=0

(1)

f(aij)=-f(-aij)

(2)

由aij的任意性可知f是F上的奇函数.即f∶F→F是奇数阶反对称矩阵空间上的保持行列式的函数，则f是F上的奇函数.

若f是F上的奇函数，则

Af=

SKn(F),

由性质2知detAf=0，再由若f是F上的奇函数可知f(0)=0，得

detAf=f(detA)

即f是F上的奇函数,则f∶F→F是奇数阶反对称矩阵空间上的保持行列式的函数.

定理2f∶F→F是偶数阶反对称矩阵空间上的保持行列式的函数的充要条件是下列之一成立：

1)f≡0

2)f=cδ，其中cn-1=1,满足δ(xy)=δ(x)δ(y).

证明 充分性显然，下面证明必要性.由定理1的证明可知对∀x∈F，有

f(-x)=-f(x)

(3)

由Bf的定义及式(3)知

若f(d)=-f(d)，即f(d)=0且detBf=f(detB).再由d的任意性可得f=0.

若f(d)≠-f(d)，由性质3得detBf=fn(d)，由f的定义可得

f(dn)=fn(d)

(4)

在上式中令d=1可得

fn-1(1)=1

(5)

由Cf的定义及式(3)知

且由性质3可得

(f(1)f(xy)-f(x)f(y))2

由f的定义知

fn-4(1)(f(x)f(y)-f(1)f(xy))2=0

(6)

由式(5)知f(1)≠0，再由式(6)得

f(x)f(y)-f(1)f(xy)=0

(7)

对于∀x，y∈F,取

由Df的定义及式(3)知

fn-4(1)≠0,故

通过计算可得

f(x)+f(y)=f(x+y)

(8)

取δ=f-1(1)f，下面证明δ是域F上的一个单的自同态. 应用式(7)可得

δ(ab)=f-1f(ab)=

f-1f-1(1)f(a)f(b)=

f-1(1)f(a)f-1(1)f(b)=

δ(a)δ(b)

即

δ(ab)=δ(a)δ(b)

(9)

应用式(8)可得

δ(a+b)=f-1(1)f(a+b)=

f-1(1)(f(a)+f(b))=

f-1(1)f(a)+f-1(1)f(b)=δ(a)+δ(b)

δ(a+b)=δ(a)+δ(b)

(10)

在式(7)中令b=a-1，则有

f(a)f(a-1)=f2(1)

再由式(5)可知

f(a)≠0,∀x∈F*

(11)

若δ(a)=δ(b)， 由式(3)、(10)得

δ(a)=δ(b)⟹δ(a)-δ(b)=0⟹δ(a-b)=0⟹f-1(1)f(a-b)=0、

应用式(11)得a=b，即

δ(a)=δ(b)⟹a=b

(12)

由式(9)、(10)及式(12)可得δ是域F上的一个单的自同态.

[1] YAO H, SONG X, WANG G. A note on functions preserving some properties of matrices[C]//Proceeding of the Sixth International Conference of Matrices and Operators, 2011. 77-80.

[2] 樊玉环,王佩臣. 域上上三角矩阵空间的保持幂等的函数[J]. 河北科技大学学报, 2013, 34(003): 200-203.

[3] 樊玉环, 马艳芬, 蒋超凡. 域上保持对合矩阵的函数[J].河北科技大学学报, 2014, 35(006): 538-542.

[4] 樊玉环, 马晓峰, 谭丽娟. 域上矩阵空间的保持正交性的函数[J]. 黑龙江大学自然科学学报, 2015, 32(1): 54-57.

[5] 樊玉环, 魏 喆, 修 涛. 域上特殊矩阵空间的保持行列式的函数[J]. 齐齐哈尔大学学报, 2016, 32(2): 81-83.

[6] 华罗庚, 万哲先. 典型群[M].上海: 上海科技出版社, 1962.

[7] 张海山. 反对称矩阵的若干性质[J]. 甘肃教育学院学报, 2003(3): 14-17.

[8] 樊正华, 徐新萍. 浅谈行列式的计算方法[J].江苏教育学院学报, 2011, 27(1): 61-64

Determinant preserving function on anti-symmetric matrix space

FAN Yu-huan, MA Yan-fen, WEI Zhe, XIU Tao

(Department of Mathematics, Heilongjiang Institute of Technology, Harbin 150001)

In this paper, the forms of determinant preserving function on anti-symmetric matrix space were described. Under the influence of the properties of determinant on anti-symmetric matrix spaces, the forms of determinant preserving function on odd and even order anti-symmetric matrices space were studied.

preserve; determinant; anti-symmetric matrix; function

2015-12-23.

黑龙江省教育厅科学技术研究项目(12541668)

樊玉环(1981-)，女，硕士，讲师，研究方向：矩阵代数.

O153.3

A

1672-0946(2016)06-0703-03