关注交汇,提升能力—例谈数列与其他知识的交汇

陕西省西安市临潼区马额中学(710609)童永奇

关注交汇,提升能力—例谈数列与其他知识的交汇

陕西省西安市临潼区马额中学(710609)童永奇

本文拟通过归类举例的方式,具体说明数列与其他知识的交汇,有利于巩固所学知识在解题中的灵活、综合运用,提升解题的技能技巧.

类型一、数列与归纳推理的交汇

评注:上述求解的关键在于两点:一是要准确计算该数列的前几项;二是要按奇数项、偶数项去观察、归纳其中隐含的规律特点.若变形到位,可得如下简解:由题意知故归纳推测得:

类型二、数列与解不等式的交汇

例2已知数列{bn}的通项公式为bn=2n−1,数列{an}(n∈N∗)满足b2,ban,b2n+2成等比数列,若a1+a2+ a3+···+am≤a40,则m的最大值( )

A.7 B.14 C.15 D.21

解析:由b2,ban,b2n+2成等比数列,得

解得

因为an+1−an=(n+1)+2−(n+2)=1,所以数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列.于是,由a1+a2+a3+···+am≤a40,得

整理得

解得−12≤m≤7,所以m的最大值是7.故选A.

评注:本题具有一定的综合性,主要考查等差、等比数列与解不等式的交汇,解题关键在于根据题设理清数列{an}的特性,并加以灵活运用.

类型三、数列与基本不等式的交汇

例3若数列{an}满足=d(n∈N∗,d为常数),则称数列{an}为“调和数列”.若正项数列为“调和数列”,且b1+b2+···+b9=90,则b4b6的最大值是( )

A.10 B.100 C.200 D.400

(n∈N∗,d为常数),所以数列{bn}为等差数列.于是,由b1+b2+···+b9=90得

解得

当且仅当b4=b6=10时不等式取等号.故b4b6的最大值是100.故选B.

类型四、数列与三角函数的交汇

解析:因为f(x)=sin x,x＞0,所以由正弦曲线的对称性、周期性可知:

评注:充分利用正弦曲线的对称性和周期性,是本题顺利求解的关键所在.

类型五、数列与平面向量的交汇

例5已知数列{an}的首项为1,向量且向量与向量互相垂直,则数列{an}的前n项和为___.

所以

又由a1+1=2≠0易知an+1≠0,所以

于是,数列{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列.从而,

即

故数列{an}的前n项和

评注:本题有两个关键思路:一是根据两个向量垂直的条件得到数列的递推公式;二是利用“构造等比数列”的思想去求解数列{an}的通项公式,进而求解目标问题.

类型六、数列与函数和导数的交汇

例6已知函数fn(x)=anx3+bnx2+cnx,满足=q(q＞1,q为常数),n∈N∗,考虑如下命题: ①函数fn(x)为奇函数;②若函数f1(x)在R上单调递增,则a1＞0;③若x0是函数fn(x)的极值点,则x0也是函数fn+1(x)的极值点.以上三个命题正确的个数是( )

A.3 B.2 C.1 D.0

解析:依题意bn≠0,所以当x≠0时,

所以fn(−x)≠−fn(x),所以函数fn(x)不是奇函数,故①错误.

若函数f1(x)在R上单调递增,则

在R上恒成立,所以a1＞0,所以②是正确的.

若x0是函数fn(x)的极值点,则

所以

所以

综上,正确说法有2个.故选B.

评注:本题设计较好,对能力的考查较强,解题关键在于:分析函数fn(x)的奇偶性、单调性、极值点时,应该以x为自变量,同时将正整数n看做是相对确定的常量.

类型七、数列与函数和三角形的交汇

例7定义:如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称{an}为“三角形”数列.对于“三角形”数列{an},如果函数y=f(x)使得bn=f(an)仍为一个“三角形”数列,则称y=f(x)是数列{an}的“保三角形函数”.

(1)已知{an}是首项为2,公差为1的等差数列,若f(x)=kx(k＞1)是数列{an}的“保三角形函数”,求k的取值范围;

(2)已知数列{cn}的首项为2010,Sn是数列{cn}的前n项和,且满足4Sn+1−3Sn=8040,求证:{cn}是“三角形”数列;

(3)通过探究,请根据“保三角形函数”的定义,对函数h(x)=−x2+2x,x∈[1,A],和数列1,1+d,1+2d(d＞0)提出一个正确的命题.

解析:(1)显然an=n+1单调递增,又an+an+1＞an+2对任意正整数n都成立,所以{an}是“三角形”数列.因为k＞1,所以显然有

于是,要保证f(x)=kx(k＞1)是数列{an}的“保三角形函数”,则只需

两式相减得

又由4S2−3S1=8040,得

(3)探究:函数h(x)=−x2+2x,x∈[1,A]是数列1,1+d,1+2d(d＞0)的“保三角形函数”,必须满足三个条件:

①1,1+d,1+2d(d＞0)是“三角形”数列,所以1+1+d＞1+2d,即0＜d＜1.

②数列中的各项必须在定义域内,只需1+2d≤A.

③h(1),h(1+d),h(1+2d)是“三角形”数列.

由于h(x)=−x2+2x,x∈[1,A]是单调递减函数,所以只需h(1+d)+h(1+2d)＞h(1),解得

评注:本题情景新颖,设计较好,对能力的考查较强,值得研究.解题难点主要有:一是不能快速理解新定义的内涵;二是求出数列通项公式之后,不能灵活利用数列的单调性,进而使得出的不等式很复杂,导致运算量太大思维受阻.