三角形“四心”的向量形式再探索

内蒙古赤峰市宁城县教育教学指导中心(024200)赵国义

三角形“四心”的向量形式再探索

内蒙古赤峰市宁城县教育教学指导中心(024200)赵国义

文[1]给出了三角形“四心”的向量形式,表达非常优美.受其启发,笔者对三角形“四心”的向量形式进行了再探索,利用平面向量基本定理,得到三角形“四心”的另一种向量表示形式.

图1

设a,b,c是角A,B,C的对边,因为O是三边垂直平分线的交点,则

图2

设a,b,c是角A,B,C的对边,内切圆半径为r,因为I是三内角平分线的交点,则

问题3.如图3,已知点H是△ABC的垂心,存在实数s,t,使得

图3

解:由平面向量基本定理,知存在实数s,t使得

同理得s=cotA·cotC.

问题4.如图4,已知点G是△ABC的重心,存在实数s,t,使得

解:设M为BC的中点,

图4

一般地,若P为△ABC所在平面内任意一点,由文[2]结论,则有:

图5

【定理】一般地,若P为△ABC所在平面内任意一点,则

(其中S△PBC,S△PAC,S△PAB分别表示△PBC,△PAC,△PAB的面积)特别地

①若P是△ABC的外心,则

②若P是△ABC的内心,则

[1]李金聪.三角形“五心”优美的向量形式.福建中学数学.2010.3.

[2]张乃贵.关于三角形内一个向量命题的证明.中学数学杂志.2004. 4