轮换对称不等式的证明方法

汕头澄海苏北中学(515829)郝良

轮换对称不等式的证明方法

汕头澄海苏北中学(515829)郝良

轮换对称不等式的证明是高中数学中很有趣味的一个知识点,虽然证明的方法技巧繁多,但是其中大部分的证明方法是有一定规律性的.本文选择具有代表性的四个方法,希望这些易操作的方法可以对读者朋友有所帮助.

轮换对称不等式 配凑 变换 切线 基本不等式

轮换对称不等式涉及的方法是多种多样的,对常见的解法归纳一下发现它们主要有四种,下面针对这些方法举例说明:

一、配凑法

对于左右次数不等的不等式,可以利用重要不等式或者基本不等式“凑”一些项来辅助证明.

二、变换法

变换是一种十分有用的方法,通常可以起到化繁为简的目的,针对题目的特点选择合适的变换是使用变换法的要点.

例题:已知:a,b,c为三角形三边,求证:

分析:设三角形的三边长度为a,b,c,则存在三个正数x,y,z,使得

这个方程有唯一解

利用代换(∗),可以简洁的证明有关三角形三边长的不等式.形如f(a,b,c)≠g(a,b,c)的不等式在(∗)变换后转化为φ(x,y,z)≠ψ(x,y,z),相应的条件则由较难的

变为比较容易的

从而达到化简题目的作用.

证明:作变换(∗),则(1)等价于

三、切线法

切线法是解答一类特定问题的有利工具,这个方法体现了不等式和函数之间巧妙的联系,把不等式问题转换为函数问题是这个解法的核心.

证明:设f(x)=6x3−x2,(0＜x＜1).原不等式即化为

四、利用基本不等式

利用基本不等式是解答轮换对称不等式的主要方法,这个方法的使用首先是要对题目结构有所了解,利用结构的特点解题,所以这类题目也比较灵活.

解:由a2+b2≥2ab,得

这里例举了四个解答轮换对称不等式的方法,虽然这些方法未必面面俱到,但这些方法都是针对一些有类似特点的问题提出的,同类型的题目可以参照使用.

[1]蒋明斌.通过构造“零件不等式”证明不等式[J].中学数学研究. 2008,7.

[2]张祖寅.轮换对称不等式的证明技巧[J].中学数学参考.2003,4.

[3]姚勇.用Schur分拆方法证明不等式竞赛题[J].中等数学.2008,1.