一道“模考题”最大值的探究及拓展

新疆石河子第一中学高中数学组(832000)朱友忠

一道“模考题”最大值的探究及拓展

新疆石河子第一中学高中数学组(832000)朱友忠

一次高三数学模拟试卷上有一道填空题(第16题,填空压轴题)引发的一个创新问题,最大值是“恒”为定值吗?的确值得我们去探究.

分析对错 发现问题 探究问题 归纳结论

图1

学生答题出错原因的分析:

据阅卷情况统计结果,约有3%的学生给出了正确答案填“4”;约有80%的学生是错填约有17%的人空着不填或是随便猜一个别的答案.

经事后调查,填“4”的某些学生是“瞎猫碰上了死耗子”,好运气,没有任何依据;比如,有个别学生把该椭圆的四个顶点依次连结得到一个菱形,此菱形的面积正好是正确答案“4”;还有一些学生把两边过焦点的平行四边形直接误改为椭圆内接矩形的最大面积,此矩形的的最大面积也正好是“4”,这些学生竟然将“4”填在答题卷上,歪打正着,令人啼笑皆非,只能是一个巧合的答案,依据不足;个别学生是用通解通法正常思路,化了大力气,认真细致作出了解答;大部分学生也用的此方法,觉得运算量较大,半途而废,就把该平行四边形的面积直接理解为过焦点的矩形面积是最大的,所以导致填“这个错误的答案.

经对此题的进一步探究,并整理了学生所思所想,得出一个重要的结论,又将该结论在讲评课上展示出来,供同学们参考.

将此题归纳为下述两类问题,的确值得我们细致地探究一番.

问题一、在椭圆内过焦点的任意内接平行四边形,如图2,求平行四边形面积的最大值的问题.

问题二、在椭圆内不过焦点任意的内接平行四边形,如图3,求平行四边形面积的最大值的问题.

设在椭圆内过焦点的内接矩形,如图4,面积的最大值为S0;设在椭圆内过焦点的内接平行四边形,如图5,面积的最大值为S1;设椭圆内不过焦点任意内接矩形,如图6,的最大面积为S2;设在椭圆内不过焦点任意的内接平行四边形,如图7,面积的最大值为S3;设顺次连结椭圆四个顶点的四边形,如图8,的面积为S4,则S0,S1,S2,S3,S4有着怎样的关系呢?

图2

图3

图4

图5

图6

图7

图8

对“问题一”的探究

推导一(智取)

图9

图10

图11

最大.故在椭圆内,过焦点的内接平行四边形面积最大为S1,即S1=2ab.

图12

对“问题二”的探究

图13

探究一:先考虑斜率不存在的情形,设直线AB,CD的方程分别为,x=−t和x=t,如图12所示,令A(xA,yA),B(xB,yB)所以

所以

当θ=45°时取等号,即S2=2ab.

探究二:由如图14所示,当斜率存在时,设直线AB的方程为: y=kx+m,由椭圆的对称性可设直线CD的方程为:y=kx+n;设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)

图14

因为m≠n,所以m+n=0,设两平行直线AB,CD间的距离

图15

问题二、③先考虑,当直线AB的斜率不存在时,椭圆内任意内接矩形,如图4,最大面积S2=2ab.④先考虑,当直线AB的斜率kAB存在时,椭圆内任意内接平行四边形,如图5,最大面积S3=2ab.⑤该椭圆的四个顶点顺次连结的一个菱形,如图6,的面积S4=2ab.综上,关于面积最大值之间的相互关系(注:“Si”(i=0,1,2,3,4)表示椭圆中内接平行四边形面积的最大值)有如下结论: