初中生运用不确定性和数据进行交流的素养剖析*

华南师范大学数学科学学院(510631)胡阳

初中生运用不确定性和数据进行交流的素养剖析*

华南师范大学数学科学学院(510631)胡阳

一、测评工具《BMI指数》的基本特征与测评概况

(一)测评工具及其考查要点

测评工具:BMI指数.

小雅与伟亮正在做一份体重和健康的报告.他们找到一个A市健康网站,内有关于健康和体重指数(BMI),其中一个网页载有2000年至2010年期间A市12-19岁学生在BMI指数上的分布状况如下表.

BMI指数及分类A市12-19岁学生的百分比(单位:%) 2000年2005年2010年18.5体重过轻14.1 14.8 14.3 18.5–23.9正常57.5 53.5 51.5 24–27.9超重16.3 17.1 16.1 28肥胖12.1 14.6 18.1合计100 100 100

问题1:运用上表中的信息说明,在2000年至2010年期间,A市12-19岁学生的BMI指数的一个显著变化是什么?

问题2:伟亮制作了A市的肥胖率柱形图如右,并根据图形得出2010年的肥胖率是2000年的4倍.小雅认为伟亮得出的结论不正确.

请说明(你)同意谁的结论,(请说明)理由是什么;你认为谁的结论是错的,说明导致错误的可能原因.

图1

《BMI指数》改编自PISA2003解密样题[1].题目的考查功能主要从问题情境、数学内容、数学过程、交流水平四个维度反映.

1.问题情境.本单元的问题情境属于社会类.也许并不是所有学生都能够通过观察给定的统计表识别并描述数据的变化情况,也不是所有学生都能够识别并解释统计图中存在的潜在性误导,但这种通过观察图表识别数据并描述数据变化的能力属于现代公民应具备的知识技能.

2.数学内容.解答本单元所用的数学技能仅限于通过观察统计表和统计图来识别并解释数据,故考查的内容板块均属于不确定性和数据.

3.数学过程.解答问题1需要根据给定的统计表识别并描述数据在一段时期内的变化情况,考生需要通过运用统计表中的数据信息说明BMI指数的显著变化;解答问题2需要说明同意谁的结论,并说明导致错误认知的可能原因,考生需要识别并解释统计图中存在的潜在性误导;这2个问题涉及的数学过程都属于解释.

4.交流水平.考生解答问题1不仅需要说明BMI指数的变化情况,还应结合统计表中的数据来描述变化趋势,因此,交流水平为L2;问题2需要考生通过对统计图数据的识别选择正确的观点,并解释统计图中存在的潜在性误导的特征,交流水平为L4.

(二)测评工具的编码与评分

1.编码规则.借鉴PISA理念,本单元采用编码对考生作答进行归类.问题1和问题2均采用单位数编码:0表示作答不能接受,9表示作答空白,7表示扫描缺失;1表示部分得分,2表示满分.

2.评分规则.本单元评分采用“满分”、“部分分数”和“零分”的表述.“满分”表示考生已经理解了问题且作答证实已具备解决该问题的能力,但不意味着作答完美无缺或接近完美.“部分分数”表示学生部分理解了问题且作答呈现出解决一部分问题.“零分”表示考生没有理解问题,但不意味着考生作答没有正确的地方.总体而言,部分分数的作答应都好于得零分的作答,得满分的作答应都好于部分分数的作答.当然,在每一个层级中,考生作答质量仍可能存在差异.

3.编码与评分标准.本单元的两个问题的编码与评分标准分别用表1、2加以说明,具体如下.

表1　问题1的编码与评分标准

表2　问题2的编码与评分标准

二、考生作答概况

对问题1、2考生作答情况按照编码类别、性别、年级、学校所在区域进行统计,得出数据如表3、表4和表5.下面分类逐一说明.

(一)考生作答总体概况与性别统计

对广东省21所学校的2031份有效作答问卷的编码测试数据进行分析,可以得到本单元问题1、2考生作答的总体概况与性别的编码分布,用表3说明,具体如表3.

从表3看,问题1、2的满分率均比较低,问题1的满分率甚至只有4.28%,但是问题1、2的零分和空白的比率却高达30%–50%.问题1的部分得分较高,考生大多能够说明BMI指数的显著变化是什么,但没有用数据来描述变化趋势的数学意识.问题1、2男生作答卷与女生做答卷在满分率、部分得分率、零分率、空白率四个类别上基本持平,区别不明显.

表3　问题1、2考生作答总体概况与性别统计

(二)考生作答年级分布统计

对广东省21所学校的2031份有效作答问卷按照按照7,8,9三个年级进行分类,有效作答问卷中7年级学生约占34.32%,8年级学生约占32.30%,9年级学生约占33.38%.通过数据分析可以得到本单元的两个问题各年级的编码分布,用表4加以说明,具体如下.

表4　问题1、2考生作答年级分布统计

从表4看,问题1、2的得分均为8年级的满分率最高,9年级的部分得分率最高,7年级的零分率最高;对于问题1,9年级的部分得分率高达73.45%,7年级问题1、2的零分率分别达到40.6%和53.52%.按照年级对于问题1、2的得分情况进行分析可以发现,对于不确定性和数据这一数学内容,约半数学生缺乏清晰识别与描述解释变化趋势的数学能力,年级越高,学生的部分认知水平逐渐加深,但表述仍不完整,部分得分较高,但满分率较低.

(三)考生作答区域分布统计

对广东省21所学校的2031份有效作答问卷按照按照J区、N区、T区和Z市四个地区进行分类,可以得到本单元的两个问题各地区的编码分布情况,用表5加以说明,具体如下.

表5　问题1、2考生作答区域编码分布

【案例1-1】

从表5看,对于问题1,Z市的满分率明显高于其他三个区,J区、N区、T区三个区的满分和部分得分率比较均衡,部分得分率普遍较高,说明初中生普遍能意识到BMI指数的显著变化是什么,但没有用数据具体说明的意识;问题2的得分所占百分率受地区的影响并不十分明显.总体来说,Z市的初中生对于不确定性和数据的数学内容的掌握优于其余三个区.

三、《BMI指数》作答中典型错误剖析

(一)问题1作答中典型错误剖析

根据表3,问题1的满分率是4.28%,部分得分率是62.24%,零分得分率是23.29%.

1.编码0的典型作答探讨

图2

【案例1-2】

图3

错误剖析:(1)学生观察到A市12-19岁学生肥胖的百分率呈增长趋势,即认为人的体重越来越重,只观察到统计表中片面的数据信息,缺乏描述数据总体趋势的观念,如案例1-1;(2)学生阅读提取的统计表中的文字信息的时候不准确. BMI指数分为四类,体重过轻、正常、超重肥胖,描述BMI指数的趋势,要说明类别.BMI指数逐年增长说法错误,如案例1-2,例如A市12-19岁学生的BMI指数的肥胖百分比逐年增长为正确的说法.

2.编码1的典型作答探讨

【案例2-1】

图4

【案例2-2】

图5

错误剖析:(1)学生指出了变化趋势是BMI指数正常的学生越来越少,肥胖的学生越来越多,但是忽略了题目的要求是“运用上表中的信息说明”,即不仅要指出变化趋势,而且需要用数据来描述变化趋势,这种类型的作答反映了学生没有运用数据描述趋势的思维模式,如案例2-1;(2)学生指出体重过轻的人数慢慢增长,而实际上从2000年至2005年体重过轻的人数逐渐增多,从2005年至2010年体重过轻的人数逐渐减少.说明学生将部分的变化趋势作为整体的变化趋势描述,对于根据统计表识别并描述数据在一段时期内的变化情况中的“一段时期”认知模糊不清,如案例2-2;(3)学生指出体重超重的人数不固定的增长或减少,表明该学生对“变化趋势”这一概念思维不清,如案例2-2.

(二)问题2作答中典型错误剖析

1.编码0的典型作答探讨

【案例3-1】

图6

【案例3-2】

图7

错误剖析:(1)问题2需要说明同意谁的结论并阐述理由.学生回答伟亮是错的,导致错误的原因可能是统计选择不当,这种说法表明他根本没有识别该统计图中存在的潜在性误导,如案例3-1;(2)学生回答错误,但并没有回答清楚是小雅还是伟亮错误,原因是没看清数据,是百分比,阅卷者想问是谁没有看清数据.此作答表明该学生的数学交流能力差,用文字表达自我观点的能力相对较差,如案例3-2.

2.编码1的典型作答探讨

【案例4-1】

图8

【案例4-2】

图9

错误剖析:(1)学生指出了小雅的结论正确,伟亮的结论错误,原因是伟亮计算差错.要说明伟亮计算差错需用数据解释,2000年的肥胖率是12.1%,2010年的肥胖率是18.1%,大约是1.5倍,而不是4倍.表明学生没有运用数据解释统计图潜在性误导的数学认知,如案例4-1;(2)回答小雅,但并没有说明是同意小雅的结论还是认为小雅的结论是错的.学生解释的理由是从图中不能直接判断大小倍数,理由片面,不够完整,如案例4-2.应该清楚描述,通过计算统计图中的数据可以得到2010年的肥胖率是2000年的1.5倍,不是4倍,即可说明小雅的结论正确,伟亮的结论错误.

四、初中生运用不确定性和数据进行数学交流的主要特点与建议

(一)本次测试反映出的初中生数学交流素养的主要特点

考生在解答《BMI指数》单元时的突出特征体现在以下方面.

1.大多数初中生提取阅读材料信息的能力不强.问题1、2通过给出BMI指数的信息背景回答问题,阅读提取材料信息的准确性与完整性对于问题的回答表述非常重要.从学生的答卷及典型错误的剖析看来,学生摄取材料信息的问题主要表现在两个方面,一是问题1中题目要求运用上表中的信息说明,超过一半的学生只回答BMI指数的显著变化,而没有用数据描述变化的意识;二是背景信息中指出BMI是健康和体重指数,分为体重过轻、正常、超重和肥胖四类,但学生描述变化趋势时没有分类别描述,把BMI指数的变化趋势当作一个整体.

2.大多数初中生对于不确定性和变化趋势的概念不清.从学生答卷反映出,学生对于不确定性和数据这一数学内容掌握很差,问题1、2的满分率均比较低,问题1的满分率甚至只有4.28%,但问题1、2的零分和空白的比率却高达30%–50%.学生对于这一内容的掌握不好的主要原因在于概念不清,一方面表现在学生将部分的变化趋势作为整体的变化趋势描述,对于根据统计表识别并描述数据在一段时期内的变化情况中的“一段时期”认知模糊不清;另一方面学生指出BMI指数中某一类别的人数不固定的增长或减少,表明该学生对“变化趋势”这一概念思维不清.

3.超过一半的初中生尚未形成运用数据说理并表达观点的习惯.问题1、2的部分得分率都较高,问题1的部分得分率高达62.24%,部分得分的主要原因在于学生没有用数据说理和陈述观点的习惯.问题1表现在学生只指出了BMI指数的显著变化,但没有用表中的信息说明;问题2对导致错误的原因缺乏数据的表述,说理不充分,比较片面.

4.部分初中生陈述观点时,表达模棱两可,难以有效沟通.很多初中生口语表达和书面交流往往过于简单,句子不使用主语,不交代语义因果,让人难以理解.问题2中需说明你同意谁的结论并说明理由;你认为谁的结论是错的并说明可能导致错误的可能理由.有的考生回答小雅,是指同意小雅的结论还是认为小雅的结论是错的?有的学生回答错误,是小雅错误还是伟亮错误?原因是没看清数据,是百分比,阅卷者想问是谁没有看清数据.反映出部分初中生用文字表达自我观点的能力较差,有效交流、沟通的效率低.

(二)培养初中生数学交流素养的相关建议

1.加强学生数学交流语言的训练.数学交流的载体是数学语言,数学语言是数学思维的载体,既是表达工具,又是交流工具.数学语言具有简洁、精确、严谨、概括的特点,有其严密的逻辑性和独特的句法结构.学生对于数学语言的掌握等同于对数学思维、数学表达和数学交流的掌握,学生只有理解和会运用数学语言才能有效的进行数学交流.初中生对于概念和性质的理解通常会经历从模糊(也许包含一些错误的理解)到明晰,直到能够灵活应用的过程[2],因此加强学生数学交流语言的训练至关重要.

(1)加强数学词汇意义的理解教学

当学生阅读理解数学的概念、定理及其证明时,必须准确的理解其中出现的每个数学术语和数学符号的含义,数学交流学习中准确理解数学语言词汇非常重要.数学语言教学中,要注意数学词汇内涵的揭示,尤其是数学符号语言和图表语言,强调数学语言与所表达内容的有效联系.教师在数学概念和定理之后叙述“几何意义”,将文字语言或符号语言转换成图表语言,图表语言强烈直观的表现力能够使学生更深入地理解概念和定理.

(2)加强数学语言语义转化训练

数学教师应以自然语言这一语言解释系统指导学生学习掌握数学语言,即“数学语言通俗化”,帮助学生更好的理解、内化数学知识体系,能够运用严谨简洁的数学语言与老师、同伴进行数学交流.另外,教师有意培养学生将生活情景和实际案例运用自然化的语言转化成数学语言,即“数学化”,课标中的数学建模案例和数学建模思想可谓教师可选取的非常好的练习项目.

2.培养学生数学交流阅读的习惯.数学阅读能力是数学交流的基础,是学生数学交流能力培养的必要组成部分.通过学生对数学教材、数学相关阅读材料的阅读、发现并提出问题,为数学交流中的师生、生生讨论提供了问题素材.阅读方式可采用三种形式:(1)独立阅读;独立阅读能够使学生自我钻研,有充足的思考空间和反思质疑空间.(2)小组阅读;采用小组阅读的方式可以发挥团队合作精神,对于从阅读材料中发现的问题能够加以讨论深入,阅读更加有效.(3)教师导读;对于阅读内容较为复杂或阅读过程中的疑难点较多的情况,教师可以给出阅读提纲或者围绕阅读内容提出一些思考问题,让学生研读的过程中加以体会,能够有效提高教学效率,重点突出.

3.培养学生数学交流写作能力.传统的数学书面作业及章节知识结构的归纳不是我们这里所要着力培养的数学写作能力,笔者认为这里的数学写作应是一种记录解决问题的思维过程,陈述自己一段时间对于数学的感知、数学经验与体会的日志记录、报告等各种书面的表述形式.数学写作通过对自己数学学习历程的感知和回顾总结,给学生提供了一种自由表达对于数学的各种形形色色“感受”的空间,帮助学生反思、整理、内化自己对于数学的理解,通过长期对于数学思维自我效能感的深化与内化过程,发展自己对于数学新的见解.针对不同的数学教学内容和学生年龄阶层的心理特点,有意识的培养与指导学生书面的数学交流能力刻不容缓.

[1]陆璟.PISA测评的理论与实践[M].华东师范大学出版社,2013年5月版,P216-217.

[2]张奠宙,宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社, 2009:246

广东省教育科研“十二五”规划2015年度研究重点项目,基于PISA2015数学素养测评视角培养初中生数学素养的方法研究,课题批准号2015ZQJK035.