深入探究把握本质——《四边形的分类》教学

王伟群

【教学内容】

北师大版四年级下册第29～30页。

【教学过程】

一、四边形特征

师：在第二单元《认识图形》中我们学习了图形的分类、三角形的分类，并且找到了三角形的分类方法。今天我们继续学习新的分类，并研究它的分类方法。

师：这八个图形是老师剪下来的，你们观察这些图形有什么样的特点？

生：全都是四条边。

生：因为有四条边，所以都是四边形。

师：我们将四条边首尾相连所组成的图形叫四边形，这就是我们今天要研究的图形。

二、四边形初步分类

师：这些图形有相同点和不同点，如何来找出他们的相同点和不同点呢？这就是我们今天要研究的四边形分类。

师：现在请拿出剪好的八个四边形，你们来分分类。想想你要按照什么样的分类标准，把你的分类标准和结果写在草稿本上。

师：仔细观察这两种分类方法，它们之间有什么相同点和不同点？

生：是按有无平行边来分的。

生：按有几组平行边来分的，两组对边平行为第一组，一组对边平行为第二组，没有对边平行为第三组。

师：数学上将这种没有对边平行的四边形称为一般四边形，就是普通的四边形，除了四个角、四条边、内角和是360°之外没有什么其他的特点。

三、进一步分类，探讨特殊四边形

师：相对于一般的四边形来说，这类图形在数学上又称为特殊的四边形。

师：这类四边形特殊在哪里？

生：特殊在对边平行。

师：谁来指一指这些对边平行在哪里？

生：1号图形有两组对边平行，分别是上下两组，左右两组；2号图形只有一组上下对边平行，3号有两组对边平行，4号只有一组对边平行，6号有两组对边平行，7号也只有一组对边平行。（学生上台边指边说）

师：特殊四边形是特殊在对边平行，对边平行又分为两种，一种是只有一组对边平行，另一种是两组对边平行。

师：请将这些图形移到相应的类别中。

师：老师在台下就已经看到有的同学已经知道这类图形叫什么了？叫什么？

生：梯形。

师：那这一类呢？

生：平行四边形。

师：什么样的四边形叫梯形？什么样的四边形叫平行四边形？

生：有一组对边平行的四边形叫梯形，有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。

师：能不能将“只有一组对边平行的四边形叫梯形”这句话中的“只”去掉？

生：不能，去掉“只”的话，平行四边形也可以叫梯形了，因为平行四边形有两组对边平行，其中就包括一组对边平行了。

师：所以这个“只”还是非常关键的，不能去掉。

师：梯形和平行四边形又可以按照一般和特殊进行再分类，梯形可以分为一般梯形和特殊梯形、平行四边形可以分为一般平行四边形和特殊平行四边形。能不能按照这个标准对这些图形进行再分类？

生：我是将①、⑥归为一般四边形，③归为特殊四边形，因为①、⑥除了两组对边分别平行之外，没有其他特殊的特征，而③除了两组对边分别平行之外，还有四条边都相等。

生：你是怎么知道这四条边都相等的？

生：通过对折可以得到这四条边相等（边说边对折）。

生：老师，我还发现③特殊在它是轴对称图形，它有两条对称轴，而其他两个一般四边形是没有对称轴的。

师：他说的对吗？怎么来验证他的说法？

生：可以对折，对折后重合的说明就是轴对称图形。

师：通过刚刚同学们的分析，我们可以知道③号图形是特殊平行四边形，它特殊在不仅四条边相等，而且还有两条对称轴，是轴对称图形。

师：你们知道这个图形叫什么吗？

生：菱形。

师：谁来讲一讲梯形的分类？

生：我是将②归为一般梯形，④和⑦归为特殊梯形。

师：你的分类依据是什么？

生：②号梯形很普通，除了一组对边平行之外，没有其他特征了，而④号梯形有两个直角，⑦号梯形有两腰相等。

师：数学上将④号这样的梯形叫直角梯形，它特殊在角上；将⑦号梯形叫等腰梯形。

师：我们已经讲了这么多图形，如果将长方形、正方形加入到分类体系中，你会把它们放在哪？小组里面讨论。

师：你是放在哪里的？理由是什么？

生：我把它们放在特殊的平行四边形里面。因为这两种图形都是有两组对边相互平行，所以都是属于平行四边形。

师：为什么放在特殊的平行四边形这个类别中呢？长方形特殊在哪里？

生：特殊在它是轴对称图形。

生：特殊在它有四个直角。

师：我们以前就学过正方形是特殊的长方形，所以正方形肯定也是属于特殊的平行四边形了。

生：我发现正方形如果斜着看就像是③号图形——菱形了，它和菱形一样四条边都相等。

师：看来正方形和菱形之间也存在某种关系。其实菱形和长方形都可以按照一般和特殊进行再分类。现在你会对正方形的分类位置做调整吗？

生：正方形是特殊的菱形。

师：为什么？它特殊在哪里？

生：因为它四条边都相等，所以是菱形，但它又有四个角是直角，所以它又是特殊的菱形，就特殊在四个角上。

师：正方形又是特殊的长方形，特殊在哪儿？

生：特殊在四条边上，因为它四条边都相等。

生：它还有四条对称轴，而长方形只有两条对称轴，它比长方形多出了两条对称轴。

师：我们现在来一起回顾一下四边形的分类，通过分类我们知道了平行四边形和梯形是特殊的四边形，等腰梯形和直角梯形属于特殊的梯形，菱形、长方形是属于特殊的平行四边形。正方形又是属于特殊的菱形或特殊的长方形。这些图形之间可以用更简单的方式来表示。（如下图）