关于集值映射连续性的若干反例

李 赛

（南京财经大学 应用数学系，江苏 南京 210046）

关于集值映射连续性的若干反例

李 赛

（南京财经大学 应用数学系，江苏 南京 210046）

文章给出关于集值映射的若干反例.包括Housdorff空间中下半连续但不是上半连续的例子；赋范空间中，ε上半连续但不是上半连续，下半连续但不是ε下半连续的例子.通过这些反例，能清楚地知道单值映射与集值映射连续性的差异.了解这些差异，有助于把单值映射的重要性质推广到集值映射.这些例子是首次给出的.

集值映射；上半连续；下半连续；ε上半连续；ε下半连续

0 引言

关于单值映射的连续性，有如下结果［1］：

若X，Y是Housdorff拓扑空间，f:X→Y是单值映射，则 f在x0点连续等价于以下2条陈述之一：

（1）对 f(x0)的任何邻域，存在x0的邻域，使得；

（2）对 f(x0)的任何邻域，存在x0的邻域，使对任何.

对于集值映射F:X→Y，x0∈X，上述2条陈述变成如下形式：

（3）对F(x0)的任何邻域，存在x0的邻域，使得；

（4）对任何y∈F(x0)及y的任何邻域Uy，存在x0的邻域，使对任何.

对于单值映射的情形，（1）和（2）是等价的.但是对于（多值）集值映射而言，（3）、（4）不再等价.

在文献［2-7］中，已经讨论集值映射连续性的一些性质.本文主要关注集值映射上半连续，下半连续，ε上半连续，ε下半连续的差异.首先，引用集值映射连续性的若干定义.

定义1 设 X，Y是Housdorff空间，F:X→Y是集值映射，x0∈X，如果对，对于，则称F(x)在x0点上半连续.

定义2 设X，Y是Housdorff空间，F:X→Y是集值映射，x0∈X，如果对于，使得对于∀x∈Ux0，F(x)⋂Uy≠∅，则称F(x)在x0点下半连续.

定义3 设X，Y是Housdorff空间，F:X→Y是集值映射，x0∈X，如果F在x0点既是上半连续也是下半连续，则称F在x0点连续.若F在X中的每一点连续，则称F在X中连续.

定义4 设X，Y是赋范空间，F:X→Y是集值映射，x0∈X，如果对于∀ε＞0，∃δ＞0，当‖x- x0‖＜δ时，∀y∈F(x)，∃y0∈F(x0)，使得‖y- y0‖＜ε，则称F在x0点ε上半连续.

定义5 设 X，Y是赋范空间，F:X→Y是集值映射，x0∈X，如果对于∀ε＞0，∃δ＞0，∀x，‖x- x0‖＜δ，∀y0∈F(x0)，∃y∈F(x)，使得‖y- y0‖＜ε，则称F在x0点ε下半连续.

定义 6 设X,Y是赋范空间，F:X→Y是集值映射，x0∈X，如果F在x0既是ε上半连续也是ε下半连续，则称F在x0点ε连续.如果F在X中的每一点连续，则称F在X中ε连续.

上面定义中的Uα表示的都是α的邻域.关于上半连续与ε上半连续，下半连续与ε下半连续，已知有如下关系成立：

设X，Y是赋范空间，F:X→Y是集值映射，x0∈X，有

（5）如果F在x0点上半连续，则F在x0点ε上半连续，反过来不一定成立；

（6）如果F在x0点ε下半连续，则F在x0点下半连续，反过来不一定成立；

（7）如果F(x0)是紧的，则F在x0点上半连续当且仅当F在x0点ε上半连续.

F在x0点下半连续当且仅当F在x0点ε下半连续.

1 若干反例

下面的例子中，ℤ表示的是整数的集合.

［1］张从军.集值分析与经济应用［M］.北京：科学出版社，2004:88-105.

［2］朱继生.集值映射的连续性［J］.数学年刊，1984，6：733-737.

［3］夏顺友，向淑文.锥度量半连续集值映射的连续性［J］.辽宁工程技术大学学报（自然科学版），2013，32（1）：119-122.

［4］杨卓程.集值映射的两种连续性［J］.黑龙江大学自然科学学报，1982（1）：45-48.

［5］沙秋英.集值映射的两种弱连续性［J］.黑龙江大学自然科学学报，1991（1）：30-34.

［6］林一星.集值映射的可测性与连续性［J］.数学的实践与认识，2014，44（1）：236-243.

［7］王宝玲，辛玉梅.集值映射的伪（*）连续与弱（*）连续性［J］.应用数学，2000（1）：19-22.

［8］KELLY J L.General toplogy［M］.New York：Springer，1955:84-100.

［9］熊金城.点集拓扑讲义［M］.北京：高等教育出版社，2010:42-50.

Some Counter Examples about the Continuity of Set-valued Mappings

LI Sai
（Department of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，210046，Nanjing，Jiangsu，China）

This paper gives some counter examples about set-valued mappings.Including the examples of low⁃er semi-continuous set-valued mappings that is not upper semi-continuous in Housdorff space andε-up⁃per semi-continuous set-valued mappings that is not upper semi-continuous in normed space and lower semi-continuous set-valued mappings that is notε-lower semi-continuous in normed space.We can know the difference between the single-valued mappins and the set-valued mappings through these counter exam⁃ples.It contributes to extend preperties of the single-valued mappings to the set-valued mappings.These ex⁃amples are given in this paper for the first time.

set-valued mapping；upper semi-continuity；lower semi-continuity；ε-upper semi-continuity；ε-lower semi-continuity

O 177.91

A

2095-0691（2016）04-0026-04

2016-06-01

李 赛（1992- ），男，湖南岳阳人，硕士生，研究方向：非线性分析与经济应用.