等式约束最小二乘在“北斗”姿态测量中的应用*

汪镱林,田增山

(重庆邮电大学 移动通信技术重庆市重点实验室，重庆 400065)



等式约束最小二乘在“北斗”姿态测量中的应用*

汪镱林**,田增山

(重庆邮电大学 移动通信技术重庆市重点实验室，重庆 400065)

针对传统无约束的姿态测量中整周模糊度求解成功率不高的问题，提出利用等式约束快速求解整周模糊度的算法，并将其应用于“北斗”姿态测量。该算法充分利用基线的先验信息，在整周模糊度的求解过程中加入等式约束，同时利用拉格朗日乘子法求解约束整数最小二乘问题，提高了姿态测量中整周模糊度和姿态角的求解成功率。采用静态测试和动态测试验证该算法，结果表明在“北斗”单历元条件下，整周模糊度及姿态角的求解成功率提升30%左右。

“北斗”卫星导航定位系统；姿态测量；整周模糊度；等式约束；拉格朗日乘子

1 引 言

在“北斗”卫星导航定位系统中，高精度的载波相位技术可以应用在高精度定位和姿态测量中，利用载波相位进行高精度姿态测量的核心问题是整周模糊度的求解，尤其是在单历元的实时应用方面。整周模糊度求解方法有很多种，目前应用最为广泛的是最小二乘模糊度去相关平差(Least Squares Ambiguity Decorrelation Adjustment,LAMBDA)算法[1]。LAMBDA算法高效解决了无约束的整周模糊度问题。在传统的姿态测量中，例如单历元情况下，无约束的LAMBDA算法求解成功率不高。为了提高LAMBDA算法在单历元的实时姿态测量情况下的求解成功率，文献[2]利用基线信息作为先验信息来提高浮点解的精度，文献[3]利用基线长度作为简单约束条件，在LAMBDA算法搜索部分筛选待选解，以提升整周模糊度求解的成功率。

本文提出一种利用基线长度作为先验信息的改进LAMBDA算法，将约束条件应用于LAMBDA算法的搜索部分，通过更强的等式约束整数最小二乘，优化整周模糊度的搜索空间，提升“北斗”姿态测量中整周模糊度求解成功率。实验结果显示即使单历元条件下也能有效提升整周模糊度成功率，验证了该方法的有效性。

2 “北斗”姿态测量模型

“北斗”姿态测量模型中，单历元的观测条件下，双差伪距和载波相位观测方程[4]线性化后得

E(y)=Aa+Bb,D(y)=Qy。

(1)

式中：y是观测量；a是整周模糊度；b是基线向量；A是含有载波波长的矩阵；B是单位矢量矩阵；Qy是观测量的协方差矩阵。“北斗”姿态测量模型的无约束的整数最小二乘问题：

(2)

(3)

3 等式约束的LAMBDA算法

3.1 等式约束最小二乘

“北斗”姿态测量模型中约束部分的核心算法是等式约束整数最小二乘。等式约束最小二乘描述如下：

x=argmin{xTAx-2bTx},xTx=l2。

(4)

其中约束条件为

xTx=l2。

(5)

式中：A∈n×n为对称矩阵;l≠0且为常数。

这种约束优化问题可以用Lagrange乘数法求解。令损失函数为

J(x,λ)=xTAx-2bTx+λ(c2-xTx),

(6)

(A-λI)x=b,xTx=l2,

(7)

令x=(A-λI)y，并将其代入式(7)得

(A-λI)2y=b。

(8)

利用x=(A-λI)y及A为对称矩阵的性质，于是xTx=l2可等价为

yTb=l2，

(9)

由此得

b=byTb/l2=bbTy/l2。

(10)

又由yTb=bTy,将式(10)代入式(8)，即有

[λ2I-2λA+(A2-l-2bbT)]y=0。

(11)

由矩阵A的对称特性，方程(11)为一个对称的二次特征值问题[6]。

二次特征值问题的求解步骤如下：

(1)求解二次特征值问题式(11)，得到特征值λi;

(2)确定最小的特征值λmin;

(3)约束最小二乘问题式(4)的解由x=(A-λminI)-1b给出。

3.2 等式约束的LAMBDA算法

“北斗”姿态测量模型中，无约束的LAMBDA算法只求解了使得式(2)中的第二项取得最小值的解，得到对应的基线向量的最优解。等式约束整数最小二乘式(3)将基线长度的先验信息‖b‖2=l2应用于整周模糊度解求解和搜索过程。由于增加基线约束条件，使得式(3)的第二项取得最小值的整数向量不一定同时满足使得第三项取得最小值。因此,本文提出一种判断模糊度和基线向量两个残差的和最小方法，扩展了无约束LAMBDA算法，提高了单历元条件下整周模糊度的求解成功率。

根据式(3)的正交分解，令

(12)

其中等式约束基线向量的最优解

(13)

采用拉格朗日乘子法，可得最优解

(14)

Ω(χ2)={a∈n|F(a)≤χ2}。

(15)

具体步骤如下：

(2)通过原始的LAMBDA算法[7]及MLAMBDA算法[8]，选取空间内的所有整数向量,如式(16)所示：

(16)

3.3 改进等式约束的LAMBDA搜索方法

(17)

根据式(17)中的两个上下界函数F1(a)和F2(a)，可求得对应的上下界搜索空间:

(18)

且Ω1(χ2)、Ω(χ2)和Ω2(χ2)满足关系：

Ω2(χ2)≤Ω(χ2)≤Ω1(χ2)。

(19)

则改进后的等式约束的LAMBDA的搜索方法归纳为：

(1)设定空间初值χ0，初值的选择可以根据bootstrapping算法[9]获得；

(20)

(3)如果没有找到整数向量，则增加搜索空间的值，即返回第2步直到找到满足条件的整数向量。

4 仿真结果分析

为验证等式约束最小二乘在“北斗”姿态测量算法的应用，我们采集“北斗”的原始观测数据并进行仿真分析。测试场地为重庆邮电大学逸夫科技楼顶楼(29.5316°N，106.5849°E)，测试接收机为Novatel公司的OEM617D“北斗”接收机。考虑到短基线相较于长基线有更大的应用优势，对各种载体都更适配安装，选择的单基线长度为1.01 m。测试内容包括静态测试和动态测试，前者将双“北斗”测量天线固定在不锈钢材质的基线上，基线方向向东(航向角90°)，观测多组不同历元的数据并仿真；后者将基线固定在自制转台上，顺时针旋转一周，观测并仿真。以上方法都是将数据存储到文件中，并对数据进行仿真分析。静态和动态测试都是可重复测试，以下分析选取的是部分测试结果。

4.1 静态测试分析

静态测试结果有两组数据，第一组测试数据共2 070个历元，第二组测试数据共2 102个历元。图1是静态测试仿真结果图，其中(a)、(b)为第一组仿真结果，(c)、(d)为第二组仿真结果。第一组仿真结果中,(a)是无约束原始LAMBDA算法的结果，(b)是等式约束最小二乘算法的结果。第二组仿真结果中,(c)是无约束原始LAMBDA算法的结果，(d)是等式约束最小二乘算法的结果。

(a)静态无约束“北斗”姿态角1

(b)静态约束“北斗”姿态角1

(c)静态无约束“北斗”姿态角2

(d)静态无约束“北斗”姿态角2

Fig.1 Static attitude angle

由图1中(a)、(c)可知，静态测量情况下，无约束原始LAMBDA算法求解成功率低，姿态角求解成功率不高，并且存在较大的波动。这是因为在单历元情况下，方程模型中加入伪距观测量，整周模糊度浮点解精度降低。由(b)、(d)结果可知，增加等式约束后，整周模糊度的求解过程加入了更多的先验约束信息，使姿态角的求解成功率有很大提升,且所求的姿态角的波动性较小。

表1给出了无约束原始LAMBDA算法和等式约束最小二乘算法成功率的对比结果。

表1 无约束LAMBDA和等式约束LAMBDA成功率

Tab.1 Unconstrained LAMBDA and equality constraints LAMBDA success rate

数据无约束的LAMBDA/%航向角俯仰角等式约束LAMBDA/%航向角俯仰角172.011.9100.053.3274.812.199.980.9

4.2 动态测试分析

动态测试过程是在步进电机转台系统条件下完成，模拟了真实应用中的低动态环境，转台在旋转过程中速度较快(约50 秒/周)，受测量条件限制，因此动态测试持续时间较短。对动态数据进行仿真，得到无约束原始LAMBDA算法和等式约束最小二乘算法仿真结果如图2所示。

(a)动态无约束“北斗”姿态角

(b)动态约束“北斗”姿态角

(c)约束基线长度

图2 动态姿态角及基线长度

Fig.2 Dynamic attitude angle and the baseline length

图2中，(a)为无约束原始LAMBDA算法仿真结果，(b)是等式约束最小二乘算法仿真结果，(c)是约束条件下测得的基线长度值结果，可见解算的基线长度值具有较小的波动。

5 结 论

本文基于拉格朗日乘子求解等式约束最小二乘方法，并将其应用在“北斗”姿态测量模型中基线约束的LAMBDA算法的搜索部分，提出了减小搜索空间计算量，快速求解整周模糊度的算法。该算法通过加入载体基线的先验信息，加入等式约束于整周模糊度的搜索中，使整周模糊度求解成功率有效提升。测试仿真结果表明，相比于无约束条件的“北斗”姿态测量，本文提出的等式约束最小二乘算法对单历元条件下的“北斗”姿态测量姿态角的求解成功率提升30%左右，可应用于实时的姿态测量中。

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汪镱林(1988—)，男，四川泸县人，硕士研究生，主要研究方向为“北斗”姿态测量;

WANG Yilin was born in Luxian,Sichuan Province,in 1988.He is now a graduate student.His research concerns BDS attitude determination.

Email：vixylin@163.com

田增山(1968—)，男，河南人，1999年于电子科技大学获博士学位，现为教授，主要研究方向为“北斗”姿态测量、个人通信、卫星导航、无线定位、信号检测与估计。

TIAN Zengshan was born in Henan Province,in 1968.He received the Ph.D. degree from University of Electronic Science and Technology of China in 2002.He is now a professor.His research concerns BDS attitude determination,personal communications,satellite navigation,wireless localization and signal detection and estimation.

Application of Equality Constrained Least Squares in BDS Attitude Determination

WANG Yilin，TIAN Zengshan

(Chongqing Key Laboratory of Mobile Communications Technology,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China)

For the low success rate problem of ambiguity resolution in traditional unconstrained attitude determination,this paper proposes an algorithm that uses quadratic equality constraint to fast determine integer ambiguity,and applies it to Beidou Navigation Satellite System(BDS) attitude determination.This algorithm makes full use of a priori information baseline,adds equality constraints in the process of solving the ambiguity,and takes advantage of the Lagrange multiplier method for solving constrained integer least squares problems,thus improving the success rates of integer ambiguity resolution and attitude angle resolution.Static tests and dynamic tests validate that the algorithm can dramatically improve the success rates of integer ambiguity resolution and BDS attitude determination by about 30% under the condition of the BDS single epoch.

Beidou navigation satellite system;attitude determination;integer ambiguity;equality constrained;Lagrange multiplier

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.07.008

汪镱林,田增山.等式约束最小二乘在“北斗”姿态测量中的应用[J].电讯技术，2016,56(7):760-764.[WANG Yilin，TIAN Zengshan.Application of equality constrained least squares in BDS attitude determination[J].Telecommunication Engineering,2016,56(7):760-764.]

2015-12-03；

2016-03-03 Received date:2015-12-03；Revised date：2016-03-03

重庆市基础与前沿研究计划项目(cstc2013jcyjA40032)

Foundation Item:The Fundamental and Frontier Research Project of Chongqing(cstc2013jcyjA40032)

TN965;P228

A

1001-893X(2016)07-0760-05

**通信作者：vixylin@163.com Corresponding author：vixylin@163.com