一类随机离散动力系统的分岔分析

杨茂松 汤 卫

(贵州广播电视大学 贵阳 550004)



一类随机离散动力系统的分岔分析

杨茂松 汤 卫

(贵州广播电视大学 贵阳 550004)

非线性动力学广泛应用于生物、物理、化学和经济领域中。文章基于正交逼近和离散分岔理论，通过数学分析的方法，对一类随机离散动力系统的动力学行为进行分析，得出随机参数能够诱发系统发生Fild分岔和Fold分岔，随着随机强度的增大，系统拓扑结构会发生变化，分岔点由随机强度和随机变量标准差决定的结果，并通过数值模拟验证了分岔分析。

随机离散系统；正交逼近；随机强度；分岔

一、引言

Logistic 映射是1976年数学生态学家May在《自然》杂志上发表的一篇文章中提出的[1]，后来在离散动力系统中有着广泛的影响，是最早的一个由倍周期分岔通向混沌的经典例子。随后著名学者Feigenbaum研究发现，非线性系统一旦发生倍周期分岔必然导致混沌[2] [3]。对于确定性一维 Logistic 系统及其推广形式，研究已较为详细。它是非线性离散动力系统中最简单的模型，对它的动力学行为研究及其数学生态学、社会科学、电子信息以及经济学等领域的应用都已经相对成熟。但是，在自然界中，动力系统难免受到周围环境等众多因素的干扰，如各种噪声、随机激励和随机参数等随机因素。在系统响应结果精度要求较高时，如保密通信，随机因素将会对系统有着不同程度的影响。近年来，徐伟、马少娟等学者[4]- [7]对随机离散Logistic系统进行了研究，但研究的系统受到的扰动大都考虑外部环境的噪声干扰，而对带有随机参数的离散动力学系统的动力学行为分析还比较少。为了不断丰富随机动力学的理论与方法，在现实生活中怎样对这种现象进行控制，有必要对这方面的问题进行分析、探索，为系统发生相应的动力学行为进行控制提供依据。基于此，文章主要以带有随机参数的一维离散Logistic 系统为例，通过随机正交展开逼近理论，对一维随机离散动力系统进行研究，旨在探索参数的随机性对系统的动力学行为的影响，进一步揭示随机Logistic的动力学行为是否较Logistic系统的丰富，对随机动力学理论与方法的研究有着重要意义。

二、随机Logistic系统的等价确定性系统

1976年, 著名生态数学家May在《自然》上发表的一篇文章中所提出的非线性差分方程(一维离散Logistic系统)描述为

xn+1=μxn(1-xn)

(1)

文章考虑一维随机离散Logistic系统的模型为

x(n+1)=μx(n)(1-x(n))，

(2)

其中μ为系统的随机参数。由不动点定理可得系统(2)存在两个不动点，分别为x1=0和x2=1-1/μ。对于x1=0这平衡点在实际问题的应用中，不具有实际意义。所以主要是对非零平衡点x2=1-1/μ的动力学行为进行讨论。在不影响系统拓扑结构和计算方便的前提下，对系统(2)进行坐标变换y(n)=x(n)-(1-1/μ)，系统(2)转化为

y(n+1)=(2-μ)y(n)-μx2(n)，

(3)

系统(3)中的随机参数μ为

(4)

(5)

将(5)式和(4)式代入系统(3)可得

(6)

根据正交多项式中的三项递推性质有

kPn(k)=αnPn+1(k)+βnPn(k)+γnPn-1(k),

(7)

其中，γn≠0，P-1(k)=0，P0(k)=1，递推公式的系数由所选取的多项式确定。通过三项递推公式对系统(6)中的非线性项和随机项进行相应的处理得

(8)

βiyi(n)+αi-1yi-1(n))-αiyi(n)Pi+1(k))，

(9)

αi-1Si-1(n))-αiSi(n)Pi+1(k)),

(10)

利用Maple软件对非线性项计算得Si(n)与yi(n)的关系如下：

进而可将系统(6)化为

αi-1Si-1(n))-αiSi(n)Pi+1(k)),

(11)

由多项式逼近理论可知，yM+1(n)，y-1(n)，SM+1(n)，S-1(n)都为零，在方程(11)两边同时乘以均方收敛意义下的随机函数空间的正交多项式标准基Pi(k)(i=1,2,3,…,M)，对服从分布P(U=k)=Pk随机变量k取期望，并利用多项式的正交性得出一维随机离散Logistic系统的等价确定性系统。当M无限大时，所得等价确定性系统与原系统才是严格等价，希望M取得越大越好，为了数学处理和数值仿真，取M=1，一维随机离散Logistic系统的等价确定性系统就可约化为

(12)

则随机系统的集合平均响应(随机响应的均值)为

=E(y0(n)P0(k)+y1(n)P1(k))

=y0(n)+y1(n),

当k=0时的均值参数系统的样本响应

在文章中随机强度的取值是非常小的，因此一维随机离散系统中的初始条件和随机离散系统的等价扩阶确定系统初始条件相同，即

y0=y0(0)=0.2, y1=y1(0)=0.1,

所以需要

X(0)=(0.2, 0.1)T，

进而在一定的初始条件下来讨论随机参数及其强度对一维离散Logistic系统的动力学行为的影响。

三、随机Logistic系统的分岔分析

文章将分析非零平衡点的动力学行为，对于随机离散动力系统的正交基函数的选择，确定随机变量的概率分布。由于泊松分布为离散动力系统中最为常见的分布，选择此随机变量服从泊松分布，然而泊松分布所对应的正交多项式为Charlier多项式，进而可知三项递推公式中的系数分别为αi=1，βi=i+λ，γi=λi，其中λ为随机变量的期望或标准差，则求得系统在(0,0)处的雅可比矩阵J为

(13)

Jacobi 矩阵J的特征多项式为

f(z)=a0z2+a1z+a2，

(14)

其中

a0=1，

由于服从泊松分布的随机变量的标准差或期望λ>0，随机强度δ>0，则有δ2+4δ2λ>0恒成立，可知非零不动点的乘子不可能成为一对共轭复数，即不可能出现Hopf分岔。从而也再次验证了发生Hopf分岔的离散动力系统其维数n≥2。接下来分析系统(12)在非零平衡点的Fild分岔和Fold分岔情况。根据离散系统的分岔理论可得以下几个结论：

四、数值模拟及分析

图1 随机强度为0，系统的分岔图

图2 初始系统李雅普诺夫指数图

图3 随机强度为0.5时，系统的分岔图 图4 随机强度为0.5时，系统的局部分岔图

图5 随机强度为0.5时，系统的局部分岔图 图6 随机强度增加，系统发生切分岔

图7 系统发生切分岔的局部放大图

图6为系统受到随机干扰切分岔分岔图，图7为图6上部的局部放大图，从图中很明显看出随机因素对系统的影响，不仅出现了拓扑结构的跳跃，而且还出现了倍周期分岔。综上可知，随机参数会诱发系统发生分岔，诱发不同分岔的发生，使系统动力学行为更为丰富、复杂，难以预测系统的发展趋势。

五、结论

文章主要研究了带有随机参数的一维Logistic系统在非零不动点的动力学行为。利用确定性离散动力系统分岔理论和随机离散动力系统的正交逼近理论，对一维随机离散Logistic系统的非零不动点的动力学行为进行了分析讨论，得出了随着随机强度的增大，系统拓扑结构会发生变化，分岔点由随机强度和随机变量标准差决定。并通过数值模拟与分析验证了文中的分岔分析，同时发现随机参数会诱发系统发生分岔，诱发不同分岔的发生，使系统动力学行为更为丰富、复杂。

[1] R.M. May. Simple mathematical models with very complicated dynamies [J]. Nature,1976(261).

[2] A.V. Feigenbaum.Quantitative universality for a class of nonlinear transformations[J]. J Stat Phys，1978(19).

[3] A.V. Feigenbaum.The universal metric properties of nolineartransformations [J]. J Stat Phys,1979(21).

[4] Y.-F.Guo,W.Xu,D.-X.Li. Stochastic resonance in a time-delayed logistic system [J]. Chinese Journal of Physics, 2010(48).

[5] M. Liu,K. Wang,Q. Hong.Stability of a stochastic logistic model with distributed delay[J].Mathematical and Computer Modelling,2013(57).

[6] 徐伟.非线性随机动力学的若干数值方法及应用[M].北京:科学出版社, 2013.

[7] 马少娟.一类非线性参数随机系统的稳定性、动力学行为及控制研究[D].西安:西北工业大学, 2009.

(责任编辑：王 丽)

Bifurcation Analysis of a Random Discrete Dynamic System

YANG Maosong TANG Wei

(Guizhou Radio & TV University Guiyang 550004)

Nonlinear dynamics is widely used in biology, physics, chemistry and economic fields. In this paper, based on the orthogonal approximation and discrete bifurcation theory, dynamic behavior of a stochastic discrete system is analyzed by means of mathematical analysis. Analysis of Random parameters can offer inducement to Fild bifurcation and the Fold bifurcation of the system; Random intensity increases lead to topology change of the system; the points of bifurcation are determined by the stochastic intensity and standard deviation random variables and bifurcation analysis is verified by numerical simulation.

Random Discrete System; Orthogonal Approximation; Random strength; Bifurcation

2016-07-04

杨茂松(1986—)，男，贵州盘县人，助教。

1008—2573(2016)03—0053—05