卫星通信中一种快速RPEM 算法

李良山，杨育红，王 兰

(信息工程大学 信息系统工程学院，河南 郑州 450001)



卫星通信中一种快速RPEM 算法

李良山，杨育红，王 兰

(信息工程大学 信息系统工程学院，河南 郑州 450001)

记忆多项式预失真能够有效地补偿卫星信道的非线性失真，但存在收敛速度慢的缺点．将RPEM算法应用于卫星记忆多项式预失真中，提出了一种快速收缩递归预测误差算法．该算法通过利用Shrinkage方法和L1范数与L2范数差值最小化公式，获得了噪声自由先验误差与噪声自由后验误差的关系，推导了一种最佳遗忘因子，有效地提高了收敛速度．仿真结果表明，收缩递归预测误差算法能够有效地抑制信号的星座扭曲和频谱再生，解决了非线性失真的问题，同时在几乎不增加计算复杂性的基础上，能够获得较快的收敛速度和较好的稳定性．

卫星通信;非线性;预失真;信道

当卫星通信链路预算足够好时，高阶幅度相移键控(Amplitude Phase Shift Keying，APSK)调制能够进一步地增加系统的频谱利用率，因而得到广泛应用．但其具有较大的包络起伏，对功率放大器的非线性比较敏感，信号通过该信道时容易引起非线性失真，产生码间串扰．随着通信带宽的提高，也会出现记忆效应．为了保证良好的通信性能，必须解决信道记忆非线性失真的问题．

星载功率放大器记忆非线性失真的补偿技术主要分为两类: 预失真技术[1-4]和非线性均衡技术[5-6]．非线性均衡技术能够有效地降低码间串扰，但不能保证频谱和功率的有效利用，因而可以在发射端进行预失真补偿[7]．Volterra模型预失真器能够很好地补偿功率放大器的非线性失真，但其具有较多的抽头系数，随着阶数的增加计算复杂度呈非线性递增[2]．文献[8]指出，可以采用记忆多项式模型代替Volterra模型，以降低运算复杂度，且能够保证系统性能．

对于预失真器的自适应算法，传统的算法主要有最小均方(Least Mean Squares，LMS)算法、递推最小二乘(Recursive Least Squares，RLS)算法和递归预测误差方法(Recursive Prediction Error Method，RPEM)算法．文献[9]研究了一种较低复杂度的RLS预失真算法，在减少计算复杂度的基础上达到传统RLS算法预失真性能．文献[10]给出了基于Wiener模型的滤波LMS算法和滤波RPEM算法．其研究表明，LMS算法具有较低的计算复杂度，但收敛速度慢，稳态误差大，而RPEM算法具有较快的收敛速度和较小的稳态误差．文献[11]提出了基于Volterra模型功率放大器的Volterra滤波LMS、RPEM预失真算法，相比而言，RPEM算法具有较快的收敛速度和较小的稳态误差．文献[12]提出了基于多项式预失真的一种变步长修正最小均方(Variable Step-Size Modified Least Mean Squares，VSSMLMS)算法，相比LMS算法和NLMS算法，有效地提高了预失真的收敛速度和稳态误差．

针对卫星信道中预失真算法收敛速度慢的问题，笔者将RPEM算法应用于卫星记忆多项式预失真中，提出了收缩递归预测误差方法(SHrinkage Recursive-Prediction Error Method，SH-RPEM)算法．该算法通过利用Shrinkage方法和L1范数与L2范数差值最小化的公式，获得了无噪声先验误差与无噪声后验误差，并用无噪声后验误差能量最小化的方法推导了一种最佳遗忘因子．仿真结果表明，SH-RPEM算法在解决非线性失真的同时，能够获得较快的收敛速度．

1 系统模型

图1为高阶APSK调制下的卫星通信系统等效模型，信源产生的信息序列分别经过APSK调制、平方根升余弦发送滤波器(Square Root Raised Cosine filter， SRRC)、预失真、高功率放大器(High Power Amplifier， HPA)和信道后到达接收端，再经过匹配滤波器和判决后得到所需的信息比特序列．

图2 间接预失真工作原理

图1 卫星通信系统模型

图2给出了卫星通信系统间接预失真工作原理，其中预失真为奇数阶记忆多项式模型[12]，且多项式训练模块与预失真的结构完全相同．HPA为Wiener模型，由无记忆Saleh模型的行波管放大器(Traveling Wave Tube Amplifier， TWTA) 非线性模块g(·)和线性滤波模块H级联组成，并分别引起卫星信道的非线性失真和记忆效应失真．预失真的目的是使信号x(n)与z(n)呈线性关系．

首先，信号x(n)经过记忆多项式预失真后形成信号y(n)，则输入输出之间满足

其中，K和M分别为记忆多项式的最高阶次与记忆深度，k为奇数，θkm为预失真参数．

进一步，预失真输出信号y(n)经过线性滤波模块H后输出为

其中，H(z-1)=h0+h1z-1+…+hkhz-hkh，hk0为线性滤波模块的权系数，k0=0，1，2，…，kh，kh为正整数．

TWTA会产生幅度-幅度(AM-AM)和幅度-相位(AM-PM)效应，使得输入信号y1(n)和输出信号z(n)之间呈非线性关系．即 z(n)= A[ρ(n)] expj(φ0(n)+ Φ[ρ(n)])，其中， A[ρ(n)]= a1ρ(n) (1+ b1ρ2(n))，Φ[ρ(n)]= a2ρ2(n) (1+ b2ρ2(n))，分别描述AM-AM和AM-PM特性; ρ(n)和φ0(n)分别为y1(n)的幅值和相位，a1，a2，b1，b2取值为 a1=2，b1=1，a2= π/3，b2=1．

再者，Wiener功率放大器输出信号z(n)分别经过加性高斯白噪声v(n)和记忆多项式训练模块后有

2 预失真算法

2.1 VSSMLMS算法

为了解决多项式预失真中LMS算法收敛速度慢和稳态误差大的缺点，文献[12]提出了一种新的收敛速度快稳态误差小的VSSMLMS算法，结合图2可知，VSSMLMS算法权系数迭代公式为

VSSMLMS算法利用输入信号瞬时能量Z(n)2和瞬时误差信号之间的关系建立了一种变步长因子，相比LMS算法，能够获得较快的收敛速度和较小的稳态误差．

2.2 RPEM算法

RPEM算法[10-11]因具有较快的收敛速度和LMS算法的相似性而被作为预失真系数更新的重要算法，其最小化代价函数为

其中，θ为式(3)中预失真权系数矢量．RPEM算法的权系数更新满足e(n)关于θ*的负梯度方向，因而多项式训练模块参数更新输入信号矢量为

由此可知，满足式(5)的最佳化的参数更新矢量θopt=P(n) pφ(n)，其中，P(n)= E[φ(n) φH(n)]-1，pφ(n)= E[y*(n) φ(n)]．根据式(4)～(6)可知，RPEM算法如下:

其中，λ0=0.99和λ(0)=0.95为最佳值[10-11]．在实际应用过程中，遗忘因子λ(n)为递推关系式，相比RLS算法具有较快的收敛速度．因而，为了提高算法的性能，有必要研究RPEM算法的一种最佳遗忘因子．

2.3 SH-RPEM算法

为了进一步提高RPEM算法的收敛速度，需要深入研究RPEM算法．令u(n)为变步长因子，代替式(7)中的u，可得变步长的递推关系为

其中，P(n)=PH(n)．将式(10)代入式(11)中，同时求取εf(n)功率可得

将εf(n)2关于u(n)求导并使导数值为0，化简可得

为了研究方便，同时将式(13)两边取期望并近似处理，可得

u(n)=Eef(n)2EφH(n) P(n) φ(n)·Eef(n)2+Ev(n)2

再次将式(7)中P(n)=P(n-1)-P(n-1) φ(n) S-1(n) φH(n) P(n-1)λ(n)两边进行求逆运算，则有

在实际应用过程中[10-11]，遗忘因子通常为0.95≤λ(n)≤1.00，故近似迭代过程中算法遗忘因子满足 λ(n)≈ λ(n-1)．令 λ(n)≈ λ(n-1)= β0，代入式(16)中，可得

式(17)两边取期望，可得

其中，Mt为预失真器参数更新矢量的维数．

令D=1，a=ef(n)，则根据代价函数可得

0.5ef(n)-e(n)2+tef(n)1=sign(e(n)) maxe(n)

若使算法具有较快的收敛速度，可以适当地调整遗忘因子变化速率，使得遗忘因子的变化与收敛速度之间处于最佳状态．根据泰勒不等式，进一步将式(22)近似处理可得

将式(23)带入RPEM算法中，可知遗忘因子表达式为

综合以上推导，可得SH-RPEM算法如下:

综上所述，为了在解决卫星通信中功率放大器非线性失真问题的同时提高RPEM算法的收敛性能，通过对传统算法的分析，建立了收敛步长和遗忘因子的近似关系，获得了一种最佳的遗忘因子表达式，推导了SH-RPEM算法．SH-RPEM算法具有收敛速度快、剩余误差小和稳定性好等特点．

3 复杂性分析

这里给出了VSSMLMS算法[12]、RPEM算法[11]、SH-RPEM算法以及RLS算法[2]的计算复杂性比较，如表1所示．算法的计算复杂性能够通过每次迭代过程中加法运算次数和乘法运算次数表示．各算法的计算复杂性与多项式预失真的参数矢量维数和输入信号矢量有关，也与算法迭代次数有关．在表1中，Mt= 0.5(K+ 1)(M+ 1)，K和M分别为记忆多项式的最高阶次与记忆深度．

表1 各算法复杂性比较

4 性能仿真

图3分别给出了预失真的输出信号星座图和功率谱仿真结果．从图3中可知，无预失真时信号出现了星座扭曲和频谱再生现象；而有预失真时，输出信号并未出现星座扭曲和频谱再生．图3(b)中说明了相比于VSSMLMS算法[12]，SH-RPEM算法可以更加有效地补偿信号的频谱再生，也就是更有效地解决高功率放大器非线性失真的问题．

图3 星座图和功率谱仿真结果

为了更好地比较预失真算法的收敛速度和稳定性，在经过800次实验过程平均后，各算法归一化均方误差[2]如图4所示．由图4(a)可知，LMS算法的稳态归一化均方误差为 -28 dB，稳定性差;VSSMLMS算法的稳态归一化均方误差为 -32 dB 左右，稳定性好; 而SH-RPEM算法的稳态归一化均方误差为 -58 dB 左右，稳定性稍差．综合比较可知，SH-RPEM算法具有更好的性能．

图4 归一化均方误差

从图4(b)可知，RLS算法在迭代 1 400 次后归一化均方误差为 -56 dB 左右; RPEM算法在迭代 1 000 次后归一化均方误差为 -55 dB 左右，并且表现出较大的毛刺幅度，稳定性较差; SH-RPEM算法在迭代110次后归一化均方误差为 -58 dB 左右，并且表现出较小的毛刺幅度，稳定性较好．相比RLS算法和RPEM算法，SH-RPEM算法具有最快的收敛速度、较小的稳态归一化误差和较好的稳定性．

5 结 论

针对卫星通信中预失真算法收敛速度慢的问题，笔者提出了一种SH-RPEM算法，获得了一种最佳的遗忘因子，有效地增强了收敛速度．仿真结果表明，在星座图和功率谱方面，SH-RPEM算法能够更有效地抑制信号的星座扭曲和频谱再生;在收敛速度和归一化均方误差方面，相比于LMS算法、VSSMLMS算法、RLS算法和RPEM算法，SH-RPEM算法具有较快的收敛速度和较小的稳态归一化均方误差．综上所述，SH-RPEM算法在更加有效地解决非线性失真的同时，具有较好的收敛性能．

[1] DELEU T, DERVIN M, KASAI K, et al. Iterative Predistortion of the Nonlinear Satellite Channel[J]. IEEE Transactions on Communications, 2014, 62(8): 2916-2926.

[2]EUN C. A New Volterra Predistorter Based on the Indirect Learning Architecture[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1997, 45(1): 223-227.

[3]唐成凯, 廉保旺, 张玲玲. 卫星星载后置非线性失真消除算法[J]. 西安电子科技大学学报, 2015, 42(1): 207-212.

TANG Chengkai, LIAN Baowang, ZHANG Lingling. Post Nonlinear Interference Cancelation Algorithm in Satellite Communication[J]. Journal of Xidian University, 2015, 42(1): 207-212.

[4]唐成凯, 廉保旺, 张玲玲. 卫星通信双循环下Volterra滤波预失真算法[J]. 西安电子科技大学学报, 2015, 42(3): 121-127.

TANG Chengkai, LIAN Baowang, ZHANG Lingling. Dual Loop Volterra Filter Predistortion in Satellite Communication[J]. Journal of Xidian University, 2015, 42(3): 121-127.

[5]张晓娟, 吴长奇. 使用变步长频域 LMS 算法的自适应Volterra均衡器[J]. 电路与系统学报, 2012, 17(4): 99-102.

ZHANG Xiaojuan, WU Changqi. Adaptive Volterra Equalizer Based on Variable Step-size Frequency Domain LMS[J]. Journal of Circuits and Systems, 2012, 17(4): 99-102.

[6]刘顺兰, 蒋树南. 非线性信道的均衡算法研究[J]. 电子学报, 2010, 38(10): 2219-2223.

LIU Shunlan, JIANG Shunan. A Study on Equalization Technique for Nonlinear Channel[J]. Acta Electronica Sinica, 2010, 38(10): 2219-2223.

[7]KARAM G, SARI H. Analysis of Predistortion, Equalization, and ISI Cancellation Techniques in Digital Radio Systems with Nonlinear Transmit Amplifiers[J]. IEEE Transactions on Communications, 1989, 37(12): 1245-1253.

[8]MORGAN D R, MA Z, KIM J, et al. A Generalized Memory Polynomial Model for Digital Predistortion of RF Power Amplifiers[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2006, 54(10): 3852-3860.

[9]QIAN H, YAO S, HUANG H, et al. A Low-complexity Digital Predistortion Algorithm for Power Amplifier Linearization[J]. IEEE Transactions on Broadcasting, 2014, 60(4): 670-678.

[10]ABD-ELRADY E, GAN L, KUBIN G. Predistortion of Hammerstein and Wiener Systems Using the Nonlinear Filtered-x Prediction Error Method Algorithm[J]. Elektrotechnik und Informationstechnik, 2010, 127(10): 285-290.

[11]ABD-ELRADY E, GAN L, KUBIN G. A Nonlinear Filtered-x Prediction Error Method Algorithm for Digital Predistortion in Digital Subscriber Line Systems[J]. International Journal of Communication Systems, 2013, 26(5): 651-661.

[12]ZHANG F, WANG Y, AI B. Variable Step-size MLMS Algorithm for Digital Predistortion in Wideband OFDM Systems[J]. IEEE Transactions on Consumer Electronics, 2015, 61(1): 10-15.

[13]ZIBULEVSKY M. L1-L2 Optimization in Signal and Image Processing[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2010, 27(3): 76-88.

[14]DAUBECHIES I, DEFRISE M, DE MOL C. An Iterative Thresholding Algorithm for Linear Inverse Problems with a Sparsity Constraint[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 2004, 57(11): 1413-1457.

(编辑：李恩科)

Fast RPEM algorithm in satellite communication

LILiangshan，YANGYuhong，WANGLan

(Institute of Information System Engineering, Information Engineering Univ.,Zhengzhou 450001, China)

The memory polynomial pre-distortion is an effective technique to compensate the nonlinearity for the satellite channel. However, its adaptive algorithm has the defect of the slow convergence speed. To counteract this problem, a fast shrinkage Recursive Prediction Error Method (SH-RPEM) algorithm is devised for the memory polynomial pre-distortion over the nonlinear satellite channel. By using a known Shrinkage method andL1-L2minimization formulation, the relationship between the noise-free posteriori and priori error signal is obtained. Furthermore, an optimal forgetting factor which can significantly enhance the convergence speed is proposed by minimizing the mean square of the noise-free posteriori error signal. Simulation results show that the SH-RPEM algorithm can effectively suppress constellation wrapping and spectrum regrowth of the signal and solve the nonlinear distortion. Moreover, the SH-RPEM algorithm can achieve a faster convergence speed and better stability without increasing the computational complexity.Key Words: satellite communication; nonlinear; pre-distortion; channel

2015-11-09

时间：2016-04-01

国家自然科学基金资助项目(61379006，61171108)

李良山(1989-)，男，信息工程大学硕士研究生，E-mail: liliangshan168@126.com．

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.tn.20160401.1622.042.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.06.021

TN927

A

1001-2400(2016)06-0122-07