p-达朗贝尔判别法及其应用

张玉林， 孟 程， 赵茂先， 董晓敏， 葛晓晶

(1.山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛266590； 2.山东科技大学信息科学与工程学院，山东青岛266590)



p-达朗贝尔判别法及其应用

张玉林1， 孟 程2， 赵茂先1， 董晓敏1， 葛晓晶1

(1.山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛266590； 2.山东科技大学信息科学与工程学院，山东青岛266590)

对正项级数的达朗贝尔判别法作了推广，提出并证明了p-达朗贝尔判别法，扩大了其使用范围.进一步利用数列和子列的收敛关系，证明了其与柯西判别法之间的关系.最后通过例子对p-达朗贝尔判别法进行了验证.

正项级数； 达朗贝尔判别法； 柯西判别法； 收敛性

1 引 言

在级数理论中，研究正项级数，特别是判别其收敛性或发散性有很多方法，如达朗贝尔判别法，柯西判别法，拉贝判别法与对数判别法[1]，或将达朗贝尔判别法及柯西判别法结合起来得到新的判别法，如D-C判别法[2]和Z判别法[3].这些方法从不同角度探讨了如何判断正项级数的敛散性.本文针对达朗贝尔判别法的不足，提出了一种改进的p-达朗贝尔判别法，并证明了p-达朗贝尔判别法与柯西判别法的关系，最后给出了相关的例子进行了验证.

在判定正项级数的敛散性时，这两种方法经常要用到.但是，柯西判别法的适用范围要比达朗贝尔判别法的适用范围更广[4].即凡能用达朗贝尔判别法判定出敛散性的正项级数，用柯西判别法也一定能判定.反之，用柯西判别法能判定出敛散性的正项级数，用达朗贝尔判别法却未必能判定.

解 用柯西判别法判定,因为

这个例子启发我们，能否对达朗贝尔判别法进行推广，用来判别类似于上述例1形式的正项级数的敛散性.

2 推广的达朗贝尔判别法

3 p-达朗贝尔判法与柯西判别法的关系

当p=1时，达朗贝尔判别法与柯西判别法的关系见参考文献[4]，下面对p>1时，对p-达朗贝尔判别法与柯西判别法的关系予以证明.在证明的过程中，要用到数列和子列的收敛关系，故给出引理，利用子列的收敛性判断数列的收敛性.利用该引理，证明了p-达朗贝尔判别法与柯西判别法的关系.

定义1[5]对于非空集合S， 设S1,S2,…,Sn是其一系列非空子集，满足

则称S1,S2,…,Sn是集合S的一个n类分划.

定义2[5]设无限集合N1,N2,…,Np是自然数集合+的一个p类分划，且这些集合N1,N2,…,Np中的元素均为从小到大排列，则对于数列，以N1,N2,…,Np为下标集，构成了数列的p个子列，分别记为}，称为分数列的p类子数列.

同理，可得

UN+2p+1

同理，得

解 令p=2，则

由定理4得

这也验证了定理4的正确性.

解 令p=2，则

则由定理3，无法判断此正项级数的敛散性.事实上，用比较判别法的极限形式，可以得出该级数是发散的.因为

4 结 论

[1] 李亚兰. 正项级数拉阿贝判别法等价形式及其应用[J]. 大学数学, 2011, 27(4):192-195.

[2] 张永明. 正项级数的D—C判别法[J].大学数学,2002,18(2):95-96.

[3] 张国铭.“正项级数收敛性的一种新的判别法”的注记[J].大学数学, 2010,26(4):200-201.

[4] 曹学锋,孙幸荣.D′Alembert判别法与Cauchy判别法的强弱比较[J].长春理工大学学报(高教版).2008,3(1):173-174.

[5] 钱云.“数列的子列及其分类”[J].高等数学研究，1999,2(3):7-8.

Thep-D’Alembert Method and its Application

ZHANGYu-lin1,MENGCheng2,ZHAOMao-xian1,DONGXiao-min1,GEXiao-jing1

(1. College of Mathematics and System Science, Shandong University of Science and Technology, Qingdao Shandong 266590, China;2. College of Information Science and Engineering, University of Science and Technology Qingdao Shandong 266590, China)

D′Alembert discriminance is promoted to thep-D′Alembert discrimination for positive series, and then the correspondingp-D′Alembert discrimination is proved. Further convergence relation of sequence and its sub-sequence is used to discuss the relationship between the discrimination and Cauchy discrimination. Finally, some examples of this method are verified.

positive series; D’Alembert Discrimination; Cauchy discrimination; convergence

2015-10-19； [修改日期]2016-06-02

山东科技大学人才引进科研启动基金(2014RCJJ033);国家自然科学基金(61572128)

张玉林(1979-),男，博士，讲师，从事机器学习方面的研究.Email:zhangyulin@sdust.edu.cn

O174

C

1672-1454(2016)05-0071-05