几何图形中常见最值问题的解法

江苏省南通市第一初级中学(226006)

吴玉红●



几何图形中常见最值问题的解法

江苏省南通市第一初级中学(226006)

吴玉红●

本文从轴对称变换——最短路径问题；垂线段最短——最短路径问题；三角形三边关系——最短路径问题；平面展开图——最短路径问题阐述了平面几何图形的最短路径问题的解法．

平面几何图形；最短路径问题

平面几何图形中的最值问题是近几年中考常见的题型，此类问题常让学生无从下手，特别是新市民子女，由于他们数学知识的短缺、题目信息采集不够、综合应用能力弱、数学思维紊乱，课本知识理解不到位等原因造成错误．为此我在平时教学中注重对这类问题的归类整理，在教学中对他们进行必要的专题拓展训练，引导他们归纳、总结、获得解决这类问题的基本技能，培养他们的思维习惯．

一、轴对称变换——最短路径问题

1．书本原型：

(1)点A、点B在直线l两侧，在直线l找一点P，使PA+PB值最小．

分析 根据两点之间线段最短．点P既在直线l上，又在线段AB上，PA+PB值最小．

解 连接AB，交直线l于点P，点P就是所要求作的点．

(2)点A、点B在直线l同侧，在直线l找一点P，使PA+PB最小

分析 利用轴对称的性质找一个点B1，使得PB1=PB，因而 PA+PB=PA+PB1，要使PA+PB最小，只要PA+PB1最小，只要，A、P、B1三点共线．

解 作点B关于l的对称点B1，连接AB1交l于点，点P就是所要求作的点．(也可以作点A关于l的对称点A1，连接A1B交l于点P，点P就是所要求作的点).

2．应用

例1 在右图中，以直线l为x轴，以O为坐标原点建立平面直角坐标系，点A(1,2)、B(4,1)．

(1)在x轴上找一点P，使PA+PB最小，请在图中画出点P，并求出点PA+PB的最小值．

分析 作A、B 两点中的一点关于x轴的对称点，连接这个对称点与另一点的线段交x轴于点P. PA+PB的最小值实际上就是线段AB1的长3 . ∴PA+PB的最小值是3.

(2)在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使四边形ACDB的周长最小，则点C的坐标为____,点D的坐标为____.

分析 本题两个动点C、D，要使四边形ACDB的周长最小，只要AC+CD+BD+AB的值最小,而AB是一个定值，只要AC+CD+BD最小．作点A关于y轴的对称点A1，作点B关于x轴的对称点B1，则AC=A1C，BD=B1D，AC+CD+BD=A1C+B1D+CD，只要A1、C、D、B1共线，则A1C+B1D+CD最小，从而AC+CD+BD最小．

二、垂线段最短——最短路径问题

1．书本原型

在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠使渠道最短．

分析 根据垂线段最短， P到直线l最短的距离是点P到直线l的垂线段的长．

解 过点P作直线河岸l的垂线段，垂足为点A，线段PA就是最短的渠道．

2．应用

例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(-4，0)、B(0，4)，⊙O的半径为1(O为坐标原点)，点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为____．

四、平面展开图——最短路径问题

我们常常遇到蚂蚁从一个几何体的一个侧面上一个点，绕过侧面走到另一个点，怎样走最近的问题．通常将曲面展平，转化为两点之间线段最短、垂线段最短问题，从而将曲面的最短路径问题转化为平面最短路径问题．

例5 如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是____.

分析 这是一个蚂蚁爬行的最短路径问题，将圆柱的侧面展平，得到一个矩形．蚂蚁从容器外壁爬到容器内壁最短，就是蚂蚁沿圆柱侧面爬到容器顶经过某一点P，再爬到点A的最短路径，实际上就是在一边DE上找一点P，使PA1+PB最小.根据轴对称——最短路径问题的作图步骤得蚂蚁沿线段BA2最短，根据勾股定理可得BA2的长．

解 在Rt△A2B1B中,

∵A2B1=12cm，BB1=5cm

由勾股定理得,

∴A2B=13cm.

所以蚂蚁爬行的最短路线长是13cm.

学生觉得难以解决的几何最值问题，我在平时的教学中注重把书本原型跟学生讲透；让学生理解书本上的原理：两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，让学生感受到数学中的化归思想、数形结合思想，让学生有章可循，有法可用.授人以鱼不如授人以渔，对于新市民子女的数学学习，主要是提高他们数学学习兴趣，学会解题技能，让他们感受到学习数学乐趣，让他们想学数学、能学数学、学好数学，从而爱上数学，真正实现《新课程标准》所倡导的理念：“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展．”

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